2023高考数学复习专项训练《线面平行的判定》

这是一份2023高考数学复习专项训练《线面平行的判定》，共17页。试卷主要包含了、单选题，、多选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）直线x+y+2=0的倾斜角为()
A、π4
B、3π4
C、π
D、π2
A. π4B. 3π4C. πD. π2
2.（5分）关于空间向量，以下说法正确的是()
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量不一定共面
B. 已知向量{a→,b→,c→}组是空间的一个基底，则{a→-c→,a→-b→,b→-c→}也是空间的一个基底
C. 若对空间中任意一点O，有AP→=-23OA→+16OB→+12OC→，则P，A，B，C四点共面
D. 若a→⋅b→<0，则a→,b→的夹角是钝角
3.（5分）下列四个命题中，正确的是()
A. 直线3x+y+2=0在y轴上的截距为2
B. 直线y=0的倾斜角和斜率均存在
C. 若两直线的斜率k1，k2满足k1=k2，则两直线互相平行
D. 若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等
4.（5分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E为BC的中点，点P在平面BDD1B1内运动，则PE+PC1的最小值为()
A. 3B. 23C. 32D. 5
5.（5分）已知直线l1：x+2y+a=0，l2：2x+4y+1=0相互平行，且l1，l2间的距离为5，则a的值为()
A. 112B. 6C. 112或-92D. 6或-4
6.（5分）已知直线l过点P(1,2,1)，且方向向量为m→=(1,0,-1)，则点A(1,-1,-1)到l的距离为()
A. 22B. 11C. 23D. 3
7.（5分）不论m为何值，直线mx-2y-3m+1=0恒过定点( )
A. (-3,12)B. (1,-12)
C. (3,-12)D. (3,12)
8.（5分）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，A1D1的中点，O为正方形A1B1C1D1的中心，则()
A. 直线EF，AO是异面直线B. 直线EF，BB1是相交直线
C. 直线EF与BC1所成的角为30°D. 直线EF，BB1所成角的余弦值为33
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(-1,3,1)，则()
A. AB→与AC→是共线向量
B. AB→的一个方向向量是(2,1,0)
C. AB→与BC→夹角的余弦值是-5511
D. 平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)
10.（5分）已知直线l的倾斜角等于120°，且l经过点(-1,2)，则下列结论中正确的是()
A. l的一个方向向量为u→=(-36,12)B. l在x轴上的截距等于233
C. l与直线3x-3y+2=0垂直D. l与直线3x+y+2=0平行
11.（5分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则下面结论中正确的是()
A. 点P到平面A1BC1的距离为定值
B. 三棱锥D-BPC1的体积为定值
C. 异面直线C1P与直线CB1所成的角为定值
D. 直线C1P与平面BDC1所成线面角为定值
12.（5分）下列说法正确的是( )
A. 直线y=ax-2a(a∈R)必过定点(2,0)
B. 直线y+1=3x在y轴上的截距为1
C. 直线x+3y+1=0的倾斜角为120°
D. 过点(-2,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为2x+y+1=0
13.（5分）如图，在正四棱锥S-ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P线段MN上运动时，下列四个结论中恒成立的为()
A. EP⊥ACB. EP//PDC. EP//面SBDD. EP⊥面SAC
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1,2,3)和点B关于坐标平面Oxz对称，则点B的坐标为 ______.
15.（5分）已知直线l：kx+y+1=0(k∈R)，则原点到这条直线距离的最大值为______．
16.（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别是边AB，CD的中点，沿EF将四边形AEFD折起，使二面角A-EF-B的大小为60°，则A，C两点间的距离为 ______.
17.（5分）已知，空间直角坐标系xOy中，过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为n→=(a,b,c)的平面α的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0.经过点P(x0,y0,z0)且方向向量为n→=(A,B,C)的直线方程为x-x0A=y-y0B=z-z0C.用以上知识解决下面问题：已知平面α的方程为x-2y+2z+1=0，直线l的方程为x-12=y3=z-2-1，则直线l与平面α所成角的正弦值为 ______.
18.（5分）点B在x轴上运动，点C在直线l：x-y+2=0上运动，若A(1,2)，则△ABC的周长的最小值为 ______.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知直线l过定点A(2,1).
(1)若直线l与直线x+2y-5=0垂直，求直线l的方程；
(2)若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线l的方程．
20.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，E､F分别是PB､AC的中点.
(1)证明：EF//平面PCD；
(2)求三棱锥E-ABF的体积.
21.（12分）已知直线l1的方程为x+2y-4=0，若l2在x轴上的截距为32，且l1⊥l2.
(1)求直线l1与l2的交点坐标；
(2)已知直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求l3的方程.
22.（12分）已知圆锥的顶点为S，底面圆心为O，母线SA的长为22.
(1)若圆锥的侧面积为22π，求圆锥的体积；
(2)A、B是底面圆周上的两个点，∠AOB=90°，M为线段AB的中点，若圆锥的底面半径为2，求直线SM与平面SOA所成角的大小．
23.（12分）如图，在空间四面体ABCD中，AD⊥平面ABC，AB=BC=22AC，且AD+BC=6.

(1)证明：平面ABD⊥平面BCD；
(2)求四面体ABCD体积的最大值，并求此时二面角B-CD-A的余弦值．
答案和解析
1.【答案】null;
【解析】解：直线x+y+2=0，即y=-x-2的斜率为-1，
则所求倾斜角为3π4.
故选：B.
根据已知条件，结合直线斜率与倾斜角的关系，即可求解．
此题主要考查直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
2.【答案】C;
【解析】解：对于A：若有两个向量共线，由于空间中任意两个向量一定共面，则这三个向量一定共面，故A错误；
对于B：根据空间向量的基本定理，(a→-c→)-(a→-b→)=b→-c→，
由选项A可知，a→-c→、a→-b→、b→-c→一定共面，则不能构成基底，故B错误；
对于C：根据空间向量的基本定理有OP→=xOA→+yOB→+zOC→(x+y+z=1)，
AP→=-23OA→+16OB→+12OC→，则OP→=OA→+AP→=OA→-23OA→+16OB→+12OC→=13OA→+16OB→+12OC→，
又13+16+12=1，
∴P，A，B，C四点共面，故C正确；
对于D：a→⋅b→=|a→|⋅|b→|⋅cs，且∈[0,π]，
∴当=π时，a→⋅b→<0，故D错误，
故选：C.
根据向量的定义和空间向量的基本定理，逐一分析选项，即可得出答案．
此题主要考查空间向量的基本定理和平面向量的数量积，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
3.【答案】B;
【解析】解：A选项，对于直线3x+y+2=0，令x=0得y=-2，所以直线3x+y+2=0在y轴上的截距为-2，故A错误；
B选项，直线y=0的倾斜角为0，斜率为0，存在，故B正确；
C选项，若两直线的斜率k1，k2满足k1=k2，则两直线互相平行或重合，所以C错误；
D选项，若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，所以D错误．
故选：B.
根据方程直接求解可判断A；由倾斜角和斜率的定义可判断B；根据直线平行与斜率的关系可判断C；由倾斜角为90°时斜率不存在可判断D.
此题主要考查了直线截距的求法，考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题．
4.【答案】A;
【解析】解：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E为BC的中点，点P在平面BDD1B1内运动，
取AB的中点F，连接EF，

因为E为BC的中点，所以点E，F也关于平面BDD1B1对称，
所以PE+PC1=PF+PC1的最小值为FC1=12+22+22=3.
故选：A.
利用点面对称关系，找到点E关于平面BDD1B1的对称点为F，则PE+PC1=PF+PC1，再根据两点之间线段最短，可得答案．
此题主要考查了几何体中的最短距离问题，属于中档题．
5.【答案】C;
【解析】
此题主要考查两平行直线间的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
把直线方程转化为系数一致，再代入两平行直线间的距离公式求解即可．
解：∵直线l1：x+2y+a=0即2x+4y+2a=0，
与直线l2：2x+4y+1=0相互平行，
∴l1，l2间的距离为：|2a-1|22+42=5，
∴a=112或-92.
故选C.
6.【答案】B;
【解析】解：∵直线l的一个方向向量为m→=(1,0,-1)，取直线l一个单位方向向量为μ→=m→|m→|=(22,0,-22)，
又A(1,-1,-1)为直线外一点，且直线l过点P(1,2,1)，∴PA→=(0,-3,-2)，
∴PA→·μ→=(0,-3,2)·(22,0,-22)=2，|AP→|=13，
∴点A到直线l的距离为d=PA→2-(AP→·μ→)2=13-2=11.
故选：B.
根据直线l一个方向向量为m→，取直线l的一个单位方向向量为μ→=m→|m→|，计算PA→，代入点到直线的距离公式d=PA→2-(AP→·μ→)2计算即可．
此题主要考查空间中点到直线的距离，属于中档题．
7.【答案】D;
【解析】解：因为直线方程为mx-2y-3m+1=0，
所以m(x-3)+(1-2y)=0，
令x-3=0，且1-2y=0，
得x=3，且y=12，
所以直线恒过定点(3,12).
故选：D.
把直线方程化为m(x-3)+(1-2y)=0，令x-3=0，且1-2y=0，求出直线所过的定点坐标．
此题主要考查了直线恒过定点的应用问题，是基础题．
8.【答案】C;
【解析】解：对于选项A，因为OF//AE，即O、A、E、F四点共面，即直线EF，AO不是异面直线，即选项A错误；
对于选项B，假设直线EF，BB1是相交直线，则直线EF与BB1确定平面α，又α∩平面A1C1=FB1，α∩平面AC=BE，又平面A1C1//平面AC，则FB1//BE，显然假设不成立，即选项B错误；
对于选项C，取AA1的中点G，连接FG，GE，由FG//BC1，则∠GFE为直线EF与BC1所成的角，设AB=2，则GE=GF=2，EF=6，则cs∠GFE=GF2+FE2-GE22×GF×FE=32，即∠GFE=30°，即选项C正确；
对于选项D，取A1B1的中点H，连接HE、FH，由HE//BB1，则∠FEH为直线EF，BB1所成的角，设AB=2，则EH=2，EF=6，即cs∠FEH=HEEF=63，即直线EF，BB1所成角的余弦值为63，即选项D错误，
故选：C.
由异面直线所成角的求法，结合异面直线所成角的作法求解即可．
此题主要考查了异面直线所成角的求法，重点考查了异面直线所成角的作法，属基础题．
9.【答案】BCD;
【解析】解：空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(-1,3,1)，
对于A，AB→=(2,1,0)，AC→=(-1,2,1)，∵2-1≠12，∴AB→与AC→不是共线向量，故A错误；
对于B，∵AB→=(2,1,0)，则直线AB的一个方向向量是(2,1,0)，故B正确；
对于C，BC→=(-3,1,1)，则cs=AB→·BC→|AB→|·|BC→|=2×(-3)+1×1+0×111×5=-5511，故C正确；
对于D，由选项A知，向量AB→=(2,1,0)，AC→=(-1,2,1)不共线，令n→=(1,-2,5)，
则n→·AB→=2×1+1×(-2)=0，n→·AC→=-1×1+2×(-2)+1×5=0，∴n→⊥AB→,n→⊥AC→，
∴n→=(1,-2,5)是平面ABC的一个法向量，故D正确．
故选：BCD.
根据给定的空间点的坐标，结合空间向量运算逐项分析、计算，能求出结果．
此题主要考查向量坐标运算法则、向量垂直的性质、向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】null;
【解析】解：直线l的倾斜角等于120°，则n→=(cs120°,sin120°)=(-12,32)是直线l的方向向量，斜率为tan120°=-3，
由于l经过点(-1,2)，于是l：y-2=-3(x+1)，即3x+y+3-2=0.
对于A：由于u→=3n→，所以A正确；
对于B：3x+y+3-2=0中由y=0得：x=2-33=23-33，B错误；
对于C：直线3x-3y+2=0的斜率为33，由于-3×33=-1，则l与直线3x-3y+2=0垂直，C正确；
对于D：l与直线3x+y+2=0斜率相同，纵截距不同，因此两者平行，D正确．
故选：ACD.
根据条件写出直线l的方程，根据直线间位置关系的等价条件进行判断即可．
此题主要考查直线的方程以及平行垂直的等价条件，属于基础题．
11.【答案】ABC;
【解析】解：对于A，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
直线AD1//BC1，AD1⊄平面A1BC1，BC1⊂平面A1BC1，所以直线AD1//平面A1BC1，
所以点P到平面A1BC1的距离，即为直线AD1与平面A1BC1的距离，为定值．故A正确；
对于B，由于VD-BPC1=VP-DBC1，而S△DBC1为定值，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
AD1//BC1，BC1⊂平面BDC1，AD1⊄平面BDC1，所以AD1//平面BDC1，
又P∈AD1，所以点P到该平面BDC1的距离即为直线AD1与平面BDC1的距离，为定值，
所以三棱锥D-BPC1的体积为定值，故B正确；
对于C，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C⊥BC1，B1C⊥AB，BC1∩AB=B，
所以B1C⊥平面ABC1D1，而C1P⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥C1P，
故这两条异面直线所成的角为90°，故C正确；
对于D，由B选项的分析可知，点P到平面BDC1的距离d不变，
所以直线C1P与平面BDC1所成线面角，设为θ，由C1P的长度确定，
即sinθ=dC1P，因为C1P的长度是变化的，故线面角θ的大小不确定，故D错误．
故选：ABC.
利用线面平行、等体积法、异面直线所成角、线面角的知识进行判断求解．
此题主要考查了线面平行的判定以及空间角和空间距离的问题，属于中档题．
12.【答案】AD;
【解析】解：由于直线y=ax-2a(a∈R)，即 y=a(x-2)，
令x=2，可得y=0，故该直线必过定点(2,0)，故A正确；
由于直线y+1=3x，即 y=3x-1，故它在y轴上的截距为-1，故B错误；
由于直线x+3y+1=0，即y=-33x-33，故它的斜率为-33，
故它的倾斜角为150°，故C错误；
由于直线x-2y+3=0的斜率为12，故要求直线的斜率为-2，
故过点(-2,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为y-3=-2(x+2)，即 2x+y+1=0，故D正确，
故选：AD.
由题意根据直线的斜率和倾斜角，经过定点的直线，求直线的方程的方法，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
此题主要考查直线的斜率和倾斜角，经过定点的直线，求直线的方程，属于基础题．
13.【答案】AC;
【解析】解：如图，O为正方形ABCD中心，∵AC⊥BD，AC⊥SO，∴AC⊥面SBD，
又E、M、N为分别是BC，CD，SC的中点，∴EN//SB，MN//SD，∴面EMN//面SBD，
∴AC⊥面EMN，而EP⊂面EMN，∴AC⊥EP，EP//面SBD，
故选：AC.
根据直四棱锥的性质，判断线面平行、垂直，面面平行，得到求解．
此题主要考查了直四棱锥的性质，线面平行、垂直的判断，是基础题．
14.【答案】（1，-2，3）;
【解析】解：∵关于xOz平面对称，x，z值不变，y值变为相反数，
∴点A(1,2,3)关于xOz平面对称点的坐标B为(1,-2,3).
故答案为：(1,-2,3).
根据关于xOz平面对称，y值变为相反数，x，y值不变，求解即可．
此题主要考查空间点的对称点的坐标的求法，属于基础题．
15.【答案】1;
【解析】解：直线l：kx+y+1=0，恒过定点(0,-1)，
原点(0,0)到直线距离的最大值，即为原点(0,0)到点(0,-1)的距离d=1．
∴原点O到直线l距离的最大值为1．
故答案为1．
由题意可知原点到已知直线的距离的最大值即为原点到直线恒过的定点间的距离，所以利用两点间的距离公式求出原点到定点间的距离即为距离的最大值．
该题考查学生会根据两直线的方程求出两直线的交点坐标，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．
16.【答案】5;
【解析】解：如图，取BE的中点G，连接AG，CG，由题意EF⊥AE，EF⊥BE，
则∠AEB是二面角A-EF-B的平面角，则∠AEB=60°，又AE=BE=1，
则ΔABE是正三角形，于是AG⊥BE,AG=32.

根据EF⊥AE，EF⊥BE，AE∩BE=E可得：EF⊥平面ABE，
而AG⊂平面ABE，所以EF⊥AG，
而AG⊥BE，BE∩EF=E，则AG⊥平面BCFE，
又GC⊂平面BCFE，于是，AG⊥GC，
又GC2=BC2+BG2=174，所以AC=AG2+GC2=34=5.
故答案为：5.
取BE的中点G，然后证明∠AEB是二面角A-EF-B的平面角，进而证明AG⊥GC，最后通过勾股定理求得答案．
此题主要考查二面角的相关计算，空间中两点之间距离才计算等知识，属于中等题．
17.【答案】null;
【解析】解：由题意知：平面α的一个法向量n→=(1,-2,2)，直线l的一个方向向量m→=(2,3,-1)，
设直线l与平面α所成角为θ，
所以sinθ=|cs〈m→,n→〉|=|m→⋅n→||m→|⋅|n→|=6314=147，
即直线l与平面α所成角的正弦值为147，
故答案为：147.
由已知定义可确定平面α的法向量和直线l的方向向量，由线面角的向量求法即可求得．
此题主要考查了直线与平面所成的角，读懂题意是解题关键，属于基础题．
18.【答案】26;
【解析】解：设点A(1,2)关于x轴的对称点为D，则点D的坐标为(1,-2)，
设点A(1,2)关于l：x-y+2=0的对称点为E(x,y)，
则{y-2x-1=-1x+12-y+22+2=0，解得{x=0y=3，即点E的坐标为(0,3)，
由对称性可知|AC|=|CE|，|AB|=|BD|，
所以△ABC的周长为|AB|+|AC|+|BC|=|BD|+|CE|+|BC|⩾|DE|=(1-0)2+(-2-3)2=26，
即△ABC的周长的最小值为26.
故答案为：26.
求出点A关于x轴的对称点为D，点A关于l：x-y+2=0的对称点为E，利用对称性将△ABC的周长的最小值转化为求DE的长度即可得解．
此题主要考查点关于直线对称的点的坐标的求法，两点间的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：（1）直线l与直线x+2y-5=0垂直，设直线l的方程为2x-y+c=0，
将定点A（2，1）代入可得4-1+c=0，解得c=-3，
故直线l的方程为2x-y-3=0．
（2）①当直线l经过原点时，直线l的方程为y=12x，即x-2y=0；
②当直线l不经过原点时，设直线l的方程为x-y=a,
把点（2，1）代入可得2-1=a,解得a=1，则直线l的方程为x-y-1=0，
综上，直线l的方程为x-2y=0或x-y-1=0．;
【解析】
(1)根据两直线垂直，设直线l的方程2x-y+c=0，代入点的坐标，求出参数c的值即可；
(2)分直线l经过原点和直线l不经过原点两种情况讨论，当直线l不经过原点，设直线l的方程为x-y=a，代入点的坐标，求出参数a的值即可．
此题主要考查了直线垂直的性质和直线的截距式方程，考查了分类讨论思想和方程思想，是基础题．
20.【答案】(1)证明：连接DB，

∵四边形ABCD是正方形，F是AC的中点，
∴B，F，D三点共线，且F是BD的中点，
又E是PB的中点，
∴EF//PD，
又EF不在平面PCD内，PD⊂平面PCD，
∴EF//平面PCD.
(2)解：∵PA⊥平面ABCD，E是PB的中点，
∴E到平面ABCD的距离为12PA=1，
∵四边形ABCD是正方形，AB=2，
∴S△ABF=14S正方形ABCD=1，
三棱锥E-ABF的体积为：VE-ABF=13×1×1=13.;
【解析】此题主要考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于基础题．
(1)利用中位线定理即可证明EF//PD，得出EF//平面PCD；
(2)计算E到平面ABCD的距离和三角形ABF的面积，代入棱锥的体积公式计算．
21.【答案】解：(1)设l2的方程为2x-y+m=0，
因为l2在x轴上的截距为32，
所以3-0+m=0，m=-3，
即l2：2x-y-3=0.
联立{x+2y-4=0,2x-y-3=0得{x=2,y=1.
直线l1与l2的交点坐标为(2,1).
(2)当l3过原点时，l3的方程为y=12x.
当l3不过原点时，设l3的方程为xa+y2a=1(a≠0)，
又直线l3经过l1与l2的交点，
所以2a+12a=1，得a=52，
l3的方程为2x+y-5=0.
综上，l3的方程为x-2y=0或2x+y-5=0.
;
【解析】此题主要考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、截距式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
(1)利用l1⊥l2，可得斜率kl2.利用点斜式可得直线l2的方程，与直线l1和l2的交点坐标为(2,1).
(2)当直线l3经过原点时，可得方程．当直线l3不经过过原点时，设在x轴上截距为a≠0，则在y轴上的截距的2a倍，其方程为：xa+y2a=1(a≠0)，把交点坐标(2,1)代入可得a.
22.【答案】解：（1）圆锥的顶点为S，底面圆心为O，母线SA的长为22．
设圆锥的底面半径为r，侧面母线长为l，
则πrl=22π，

∵l=22，∴r=1，h=(22)2-12=7，
∴圆锥的体积V=13πr2h=73π．
（2）设AO的中点为N，连接MN、SN，则MN//OB，
∵OA⊥OB，∴OA⊥MN，
∵SO⊥底面AOB，∴SO⊥MN，
∴MN⊥平面SOA，
∴∠MSN即是直线SM与平面SOA所成角．
∵圆锥的底面半径为2，母线长为22，∴圆锥的高SO=2，
∴SN=22+12=5，MN=1．
∵SN⊥MN，∴tan∠MSN=MNSN=55，∴∠MSN=arctan55．
∴直线SM与平面SOA所成角的大小为arctan55．;
【解析】
(1)设圆锥的底面半径为r，侧面母线长为l，则πrl=22π，求出r=1，h=7，由此能求出圆锥的体积．
(2)设AO的中点为N，连接MN、SN，则MN//OB，推导出OA⊥MN，SO⊥MN，从而MN⊥平面SOA，进而∠MSN即是直线SM与平面SOA所成角．由此能求出直线SM与平面SOA所成角的大小．
此题主要考查圆锥结构特征、圆锥的体积、线面垂直的判定与性质、线面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
23.【答案】(1)证明：∵AB=BC=22AC，
∴AB2+BC2=AC2，
∴∠ABC=90°，即BC⊥AB，
∵AD⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴AD⊥BC，
∵AB∩AD=A，AB,AD⊂平面ABD，
∴BC⊥平面ABD，
又BC⊂平面BCD，
∴平面ABD⊥平面BCD ；
(2)解：设BC=x，则AD=6-x，
∴四面体ABCD的体积Vx=13⋅12⋅x⋅x⋅(6-x)=16(6x2-x3)(0故V(x)在(0,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，
所以当x=4时，四面体ABCD的体积Vx最大，且最大值是V4=163.
此时以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，与AD平行的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(0,0,0),C(4,0,0),A(0,4,0),D(0,4,2)，
所以BC→=(4,0,0)，BD→=(0,4,2)，AC→=(4,-4,0)，DC→=(4,-4,-2)，
设平面BCD的法向量为n1→=(x,y,z) ，
则由{n1→⋅BC→=0n1→⋅BD→=0，得{4x=04y+2z=0，
取y=1，得平面BCD的一个法向量为n1→=(0,1,-2)，
同理可得平面ACD的一个法向量n2→=(1,1,0)，
所以csn1→,n2→=12×5=1010，
由于二面角B-CD-A是锐二面角，
故所求二面角的余弦值为1010.;
【解析】此题主要考查线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定，利用空间向量求二面角的余弦值，利用导数研究函数的单调性与最值，属于中档题．
(1)根据勾股定理可知BC⊥AB，根据线面垂直的性质可知AD⊥BC，进而可证BC⊥平面ABD，即可得证；
(2)设BC=x，则AD=6-x，从而四面体的体积为Vx=16(6x2-x3)(0