湖南省麻阳县三校联考2022-2023学年高二上学期线上期末测试数学试题

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高二数学试题

一、选择题（共8题，每小题5分，共40分）

1.在平行六面体中，化简(   )

A. B. C. D.

2.如图，各棱长都为的四面体中 ，，则向量

A. B. C. D.

3.直线的倾斜角为(   )

A. B. C. D.

4.设则以线段为直径的圆的方程为(   )

A.  B.

C.  D.

5.设为抛物线的焦点，点在上，点，若，则(   )

A. B. C. D.

6.已知双曲线  的右焦点与抛物线  的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于 ， 两点，交双曲线的渐近线于 、 两点，若．则双曲线的离心率为(   )

A. B. C. D.

7.如图，将正方形沿对角线折成直二面角有如下四个结论：

①；

②是等边三角形；

③与平面所成的角为；

④与所成的角为.

其中错误的结论是(   )

A.① B.② C.③ D.④

8.已知双曲线：的右焦点为过作垂直于轴的直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若记过第一、三象限的双曲线的渐近线为则的倾斜角的取值范围为(   )

A. B. C. D.

二、多选题（共4题，每小题5分，共20分）

9.已知平面向量，，则下列说法正确的是(   )

A.

B.

C.向量与的夹角为

D.向量在上的投影向量为

10.已知圆，以下四个结论正确的是(   )

A.过点与圆相切的直线方程为

B.圆上的点到直线的距离的最大值为

C.过点可以作两条直线与圆相切

D.圆与圆 相交

11.如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为，半焦距分别为，离心率分别为，则下列结论正确的是(   )

A.  B.

C.  D.

12.已知椭圆的焦距为，焦点为、，长轴的端点为、，点是椭圆上异于长轴端点的一点，椭圆的离心 率 为 ，则下列说法正确的是(   )

A.若的周长为，则椭圆的方程为

B.若的面积最大时，，则

C.若椭圆上存在点使，则

D.以为直径的圆与以为直径的圆内切

三、填空题（共4题，每小题5分，共20分）

13.正方体中，棱长为，则直线与的距离为     ．

14.已知直线 ：直线 .若 则     .

15.已知点当四边形的周长最小时，过三点的圆的圆心坐标为     .

16.已知椭圆的左、右顶点分别为直线的斜率大于且经过椭圆的右焦点与椭圆交于两点若的面积分别为且则直线的斜率为    .

四、解答题（共6题，共70分）

17.已知直线和直线，其中为常数．（10分）

(1)当时，求直线与的距离；

(2)若，求的值．

18.如图，在正方体  中， 为  的中点．（12分）

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

19.如图①，四边形为矩形为的中点，将分别沿折起，得到图②所示的四棱锥，使得平面平面平面平面. （12分）

(1)求证：平面平面；

(2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值.

20.已知平面直角坐标系中，为坐标原点，点在过点与圆：相切的直线上，且点到圆心的距离为. （12分）

(1)求点的坐标；

(2)若过点的直线与圆相交于，两点，且，求．

21.已知点分别是双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点. （12分）

(1)求双曲线的方程；

(2)过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为求的值.

22. 已知椭圆的上顶点为，离心率为抛物线截轴所得的线段长为的长半轴长．（12分）

(1)求椭圆的方程；

(2)过原点的直线与相交于两点，直线分别与相交于两点

①证明：以为直径的圆经过点；

②记和的面积分别是，求的最小值．

1-8 ABBABACC

9.BD  10.ABC  11.ABD   12.ABD

13.    14. 或或

15.   16.

17

(1)当时，直线和直线，则直线平行，直线与的距离．

(2)直线，直线，其中为常数，，，解得或．

18

(1)如下图所示：在正方体中，且，且，且，四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面.

19

(1)证明：在题图①中且为的中点，所以所以，同理所以，所以. 又平面平面平面平面所以平面 又平面所以平面平面.

(2)由题意可知,以为坐标原点的方向分别为轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设, 则, 向量.设平面的法向量为,由得令,得平面的一个法向量为.设直线与平面所成的角为则,所以直线与平面所成角的正弦值为.

20

(1)当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离 ，不成立，当直线的斜率存在时，设直线方程为，圆心到直线的距离，解得，所以过点与圆相切的直线方程为，设，则①又因为点到圆心的距离为.②由①②可解得，或，．或.

21

(1)由题易知可设.因为点在双曲线上且在轴上方，所以解得所以.在中所以.由双曲线的定义可知，故双曲线的方程为.

(2)易知两条渐近线方程分别为：：.设两条渐近线的夹角为不妨设在上在上，则点到两条渐近线的距离分别为因为在双曲线上，所以易知且与的夹角与互补，所以

22

(1)已知.中，令,得，又则，从而所以椭圆的方程为：；

(2)

①直线的斜率显然存在，设方程为.由得设  由已知，所以故以为直径的圆经过点，

【解析】:设，且直线方程为，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系，结合向量的坐标运算，化简得从而得到； 

②设直线，显然，由得，，则由知，直线那么       由得解得，则由知，直线那么 当且仅当时等号成立，即最小值为