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【中考一轮复习】2023年中考数学人教版单元检测卷——专题21 一元二次方程（原卷版+解析版）
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这是一份【中考一轮复习】2023年中考数学人教版单元检测卷——专题21 一元二次方程（原卷版+解析版），文件包含中考一轮复习2023年中考数学人教版单元检测卷专题21一元二次方程解析版doc、中考一轮复习2023年中考数学人教版单元检测卷专题21一元二次方程原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
（试卷满分120分，答题时间120分钟）
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1. （2022甘肃威武）用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
2. （2022天津）方程的两个根为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】将进行因式分解，，计算出答案．
∵
∴
∴．
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程．
3. （2022重庆）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可．
由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，
∴可列方程为：
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般．
4. （2022浙江温州）若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A. 36B. C. 9D.
【答案】C
【解析】根据判别式的意义得到，然后解关于c的一次方程即可．
∵方程有两个相等的实数根
∴
解得
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的跟与的关系，关键是分清楚以下三种情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
5. （2022内蒙古包头）若是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A. 3或B. 或9C. 3或D. 或6
【答案】A
【解析】结合根与系数的关系以及解出方程进行分类讨论即可得出答案．
∵，
∴，
,则两根为：3或-1，
当时，，
当时，，
故选：A．
【点睛】此题考查了根与系数的关系以及解二元一次方程，正确解出方程进行分类讨论是解题的关键．
6. （2022北京）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】利用方程有两个相等的实数根，得到∆=0，建立关于m的方程，解答即可．
∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴∆=0，
∴，
解得，故C正确．
【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时∆>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，∆=0；当方程没有实数根时，∆<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．
7. （2022广西河池）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为( )
A. 30（1+x）2＝50B. 30（1﹣x）2＝50
C. 30（1+x2）＝50D. 30（1﹣x2）＝50
【答案】A
【解析】根据题意和题目中的数据，可以得到，从而可以判断哪个选项是符合题意的．
由题意可得，
．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．
8. （2022广西贺州）如图，在等腰直角中，点E在OA上，以点O为圆心、OE为半径作圆弧交OB于点F，连接EF，已知阴影部分面积为，则EF的长度为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】根据题意可得：OE=OF，∠O=90°，设OE=OF=x，利用阴影部分面积列出等式，得出，然后由勾股定理求解即可．
根据题意可得：OE=OF，∠O=90°，
设OE=OF=x，
∴
，
解得：，
∴，
故选：C．
【点睛】题目主要考查不规则图形的面积，一元二次方程的应用，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
9. （2022青海西宁）关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由方程没有实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．
∵一元二次方程没有实数根，
∴，
解得．
故选：A．
【点睛】本题考查根的判别式，注意记住一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）>0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）<0方程没有实数根．
10. （2022内蒙古呼和浩特）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A. 4045B. 4044C. 2022D. 1
【答案】A
【解析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．
∵，是方程的两个实数根，
∴，，
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
二、填空题（共10小题，每空3分，共30分）
1. （2022安徽）若一元二次方程有两个相等的实数根，则________．
【答案】2
【解析】由方程有两个相等的实数根可知，利用根的判别式等于0即可求m的值，
由题意可知：
，，
，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式求参数：方程有两个不相等的实数根时，；方程有两个相等的实数根时，；方程无实数根时，等知识．会运用根的判别式和准确的计算是解决本题的关键．
2．（2022江苏扬州）请填写一个常数，使得关于方程___有两个不相等的实数根．
【答案】0（答案不唯一）
【解析】设这个常数为a，利用一元二次方程根的判别式求出a的取值范围即可得到答案．
设这个常数为a，
∵要使原方程有两个不同的实数根，
∴，
∴，
∴满足题意的常数可以为0，
故答案为：0（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
3. （2022广东）若是方程的根，则________．
【答案】1
【解析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=1代入方程得到a的值．
把x=1代入方程，得1−2+a=0，
解得a=1．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
4.（2022江苏连云港）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是___．
【答案】1
【解析】根据一元二次方程解的定义把代入到进行求解即可．
∵关于x的一元二次方程的一个解是，
∴，
∴．
【点睛】主要考查一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．
5. （2022云南）方程2x2+1=3x解为________．
【答案】
【解析】先移项，再利用因式分解法解答，即可求解．
移项得：，
∴，
∴或，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．
6. （2022济南）利用图形分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是______．
【答案】16
【解析】设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积．
【详解】设小正方形边长为，
矩形的长为 ，宽为 ，
由图1可得：，
整理得：，
，，
，
，
矩形的面积为 ．
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，求出小正方形的边长是解题的关键．
7. （2022山东日照）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________．
【答案】
【解析】根据根与系数的关系得到x1+x2=-2m，x1x2=，再由x12+x22=变形得到（x1+x2）2-2x1x2=，即可得到4m2-m=，然后解此方程即可．
详解】根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=，
∵x12+x22=，
∴（x1+x2）2-2x1x2=，
∴4m2-m=，
∴m1=-，m2=，
∵Δ=16m2-8m＞0，
∴m＞或m＜0时，
∴m=不合题意，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．
8. （2022黑龙江绥化）设与为一元二次方程的两根，则的值为________．
【答案】20
【解析】利用公式法求得一元二次方程的根，再代入求值即可；
∵
△=9-4=5＞0，
∴，，
∴=，
故答案为：20；
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握公式法解一元二次方程是解题关键．
9. （2022贵州铜仁）一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为__________．
【答案】1
【解析】根据一元二次方程根的判别式等于0即可求得的值．
∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴
即
解得
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
10. （2022上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为_____．
【答案】20%
【解析】根据该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x结合5月、7月营业额即可得出关于x的一元二次方程，解此方程即可得解．
设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，根据题意得，
解得，（舍去）
所以，增长率为20%
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
三、解答题（本大题有6道小题，共60分）
1. （8分）（2022四川凉山）解方程：x2－2x－3＝0
【答案】
【解析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．
，
，
或，
或，
故方程的解为．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键．
2.（10分）（2022四川南充）已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
【答案】（1）k； （2）k=3
【解析】（1）∵一元二次方程有实数根．
∴∆0，即32-4（k-2）0，
解得k
（2）∵方程的两个实数根分别为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得k=3．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键．
3.（10分）（2022湖北十堰）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】（1）根据根的判别式，即可判断；
（2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值．
【小问1详解】
，
∵，
∴，
该方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
方程的两个实数根，，
由根与系数关系可知，，，
∵，
∴，
∴，
解得：，，
∴，即．
【点睛】考查根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系．
4. （12分）（2022湖南株洲）阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式时，关于的一元二次方程的两个根、有如下关系：，”．此关系通常被称为“韦达定理”．已知二次函数．
（1）若，，且该二次函数的图象过点，求的值；
（2）如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图象与轴相交于不同的两点、，其中、，且该二次函数的图象的顶点在矩形的边上，其对称轴与轴、分别交于点、，与轴相交于点，且满足．
①求关于的一元二次方程的根的判别式的值；
②若，令，求的最小值．
【答案】（1）-3 （2）①；②当时，最小=-4
【解析】【分析】（1）将点代入从而求结果即可；
（2）①根据题意，表示出AE、AB，根据即可得出结果；②根据得，从而求出b，进而得到a、c得关系，代入即可求出最值．
解：（1）将，代入得，
将代入得，
，解得：
（2）①∵
∴
∴
∵抛物线的顶点坐标为：
∴
∴
∴
②∵
∴
∵
∴
∴
∴b=2
∴
∴
∴，
∴当时，最小=-4．
【点睛】本题考查二次函数及图象性质，二次函数和一元二次方程之间的关系，平行线分线段成比例定理，锐角三角函数定义等知识，解决问题的关键在于根据点的坐标表示出线段．
5.（10分）（2022贵州贵阳） （1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．
用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0．
【答案】（1）＜，＜；（2）①x1=-1+，x2=-1-；②x1=0，x2=3；③x1=2+，x2=2-；④x1=-2，x2=2．
【解析】（1）由题意可知：a＜0，b＞0，
∴a＜b，ab＜0；
故答案为：＜，＜；
（2）①x2+2x−1=0；
移项得x2+2x=1，
配方得x2+2x+1=1+1，即(x+1)2=2，
则x+1=±，
∴x1=-1+，x2=-1-；
②x2−3x=0；
因式分解得x(x-3)=0，
则x=0或x-3=0，
解得x1=0，x2=3；
③x2−4x=4；
配方得x2-4x+4=4+4，即(x-2)2=8，
则x-2=±，
∴x1=2+，x2=2-；
④x2−4=0．
因式分解得(x+2) (x-2)=0，
则x+2=0或x-2=0，
解得x1=-2，x2=2．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．还考查了实数与数轴．
6. （10分）（2022四川眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
【答案】（1）20% （2）18个
【解析】【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据2019年投入资金2021年投入的总资金，列出方程求解即可；
（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可．
解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，
根据题意得：，
解这个方程得，，，
经检验，符合本题要求．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
（2）设该市在2022年可以改造个老旧小区，
由题意得：，
解得．
∵为正整数，∴最多可以改造18个小区．
答：该市2022年最多可以改造18个老旧小区．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式．
（试卷满分120分，答题时间120分钟）
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1. （2022甘肃威武）用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
x2-2x=2，
x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
2. （2022天津）方程的两个根为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】将进行因式分解，，计算出答案．
∵
∴
∴．
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程．
3. （2022重庆）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可．
由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，
∴可列方程为：
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般．
4. （2022浙江温州）若关于x的方程有两个相等的实数根，则c的值是（ ）
A. 36B. C. 9D.
【答案】C
【解析】根据判别式的意义得到，然后解关于c的一次方程即可．
∵方程有两个相等的实数根
∴
解得
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的跟与的关系，关键是分清楚以下三种情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
5. （2022内蒙古包头）若是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A. 3或B. 或9C. 3或D. 或6
【答案】A
【解析】结合根与系数的关系以及解出方程进行分类讨论即可得出答案．
∵，
∴，
,则两根为：3或-1，
当时，，
当时，，
故选：A．
【点睛】此题考查了根与系数的关系以及解二元一次方程，正确解出方程进行分类讨论是解题的关键．
6. （2022北京）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】利用方程有两个相等的实数根，得到∆=0，建立关于m的方程，解答即可．
∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴∆=0，
∴，
解得，故C正确．
【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时∆>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，∆=0；当方程没有实数根时，∆<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．
7. （2022广西河池）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为( )
A. 30（1+x）2＝50B. 30（1﹣x）2＝50
C. 30（1+x2）＝50D. 30（1﹣x2）＝50
【答案】A
【解析】根据题意和题目中的数据，可以得到，从而可以判断哪个选项是符合题意的．
由题意可得，
．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．
8. （2022广西贺州）如图，在等腰直角中，点E在OA上，以点O为圆心、OE为半径作圆弧交OB于点F，连接EF，已知阴影部分面积为，则EF的长度为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】根据题意可得：OE=OF，∠O=90°，设OE=OF=x，利用阴影部分面积列出等式，得出，然后由勾股定理求解即可．
根据题意可得：OE=OF，∠O=90°，
设OE=OF=x，
∴
，
解得：，
∴，
故选：C．
【点睛】题目主要考查不规则图形的面积，一元二次方程的应用，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
9. （2022青海西宁）关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由方程没有实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．
∵一元二次方程没有实数根，
∴，
解得．
故选：A．
【点睛】本题考查根的判别式，注意记住一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）>0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）<0方程没有实数根．
10. （2022内蒙古呼和浩特）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ）
A. 4045B. 4044C. 2022D. 1
【答案】A
【解析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．
∵，是方程的两个实数根，
∴，，
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
二、填空题（共10小题，每空3分，共30分）
1. （2022安徽）若一元二次方程有两个相等的实数根，则________．
【答案】2
【解析】由方程有两个相等的实数根可知，利用根的判别式等于0即可求m的值，
由题意可知：
，，
，
∴，
解得：．
【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式求参数：方程有两个不相等的实数根时，；方程有两个相等的实数根时，；方程无实数根时，等知识．会运用根的判别式和准确的计算是解决本题的关键．
2．（2022江苏扬州）请填写一个常数，使得关于方程___有两个不相等的实数根．
【答案】0（答案不唯一）
【解析】设这个常数为a，利用一元二次方程根的判别式求出a的取值范围即可得到答案．
设这个常数为a，
∵要使原方程有两个不同的实数根，
∴，
∴，
∴满足题意的常数可以为0，
故答案为：0（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
3. （2022广东）若是方程的根，则________．
【答案】1
【解析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=1代入方程得到a的值．
把x=1代入方程，得1−2+a=0，
解得a=1．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
4.（2022江苏连云港）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是___．
【答案】1
【解析】根据一元二次方程解的定义把代入到进行求解即可．
∵关于x的一元二次方程的一个解是，
∴，
∴．
【点睛】主要考查一元二次方程解的定义，代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．
5. （2022云南）方程2x2+1=3x解为________．
【答案】
【解析】先移项，再利用因式分解法解答，即可求解．
移项得：，
∴，
∴或，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．
6. （2022济南）利用图形分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，BD是矩形ABCD的对角线，将△BCD分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若a＝4，b＝2，则矩形ABCD的面积是______．
【答案】16
【解析】设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积．
【详解】设小正方形边长为，
矩形的长为 ，宽为 ，
由图1可得：，
整理得：，
，，
，
，
矩形的面积为 ．
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，求出小正方形的边长是解题的关键．
7. （2022山东日照）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________．
【答案】
【解析】根据根与系数的关系得到x1+x2=-2m，x1x2=，再由x12+x22=变形得到（x1+x2）2-2x1x2=，即可得到4m2-m=，然后解此方程即可．
详解】根据题意得x1+x2=-2m，x1x2=，
∵x12+x22=，
∴（x1+x2）2-2x1x2=，
∴4m2-m=，
∴m1=-，m2=，
∵Δ=16m2-8m＞0，
∴m＞或m＜0时，
∴m=不合题意，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．
8. （2022黑龙江绥化）设与为一元二次方程的两根，则的值为________．
【答案】20
【解析】利用公式法求得一元二次方程的根，再代入求值即可；
∵
△=9-4=5＞0，
∴，，
∴=，
故答案为：20；
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握公式法解一元二次方程是解题关键．
9. （2022贵州铜仁）一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为__________．
【答案】1
【解析】根据一元二次方程根的判别式等于0即可求得的值．
∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴
即
解得
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
10. （2022上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为_____．
【答案】20%
【解析】根据该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x结合5月、7月营业额即可得出关于x的一元二次方程，解此方程即可得解．
设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，根据题意得，
解得，（舍去）
所以，增长率为20%
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
三、解答题（本大题有6道小题，共60分）
1. （8分）（2022四川凉山）解方程：x2－2x－3＝0
【答案】
【解析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．
，
，
或，
或，
故方程的解为．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键．
2.（10分）（2022四川南充）已知关于x的一元二次方程有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值．
【答案】（1）k； （2）k=3
【解析】（1）∵一元二次方程有实数根．
∴∆0，即32-4（k-2）0，
解得k
（2）∵方程的两个实数根分别为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得k=3．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键．
3.（10分）（2022湖北十堰）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为，，且，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】（1）根据根的判别式，即可判断；
（2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到的值．
【小问1详解】
，
∵，
∴，
该方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
方程的两个实数根，，
由根与系数关系可知，，，
∵，
∴，
∴，
解得：，，
∴，即．
【点睛】考查根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系．
4. （12分）（2022湖南株洲）阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式时，关于的一元二次方程的两个根、有如下关系：，”．此关系通常被称为“韦达定理”．已知二次函数．
（1）若，，且该二次函数的图象过点，求的值；
（2）如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图象与轴相交于不同的两点、，其中、，且该二次函数的图象的顶点在矩形的边上，其对称轴与轴、分别交于点、，与轴相交于点，且满足．
①求关于的一元二次方程的根的判别式的值；
②若，令，求的最小值．
【答案】（1）-3 （2）①；②当时，最小=-4
【解析】【分析】（1）将点代入从而求结果即可；
（2）①根据题意，表示出AE、AB，根据即可得出结果；②根据得，从而求出b，进而得到a、c得关系，代入即可求出最值．
解：（1）将，代入得，
将代入得，
，解得：
（2）①∵
∴
∴
∵抛物线的顶点坐标为：
∴
∴
∴
②∵
∴
∵
∴
∴
∴b=2
∴
∴
∴，
∴当时，最小=-4．
【点睛】本题考查二次函数及图象性质，二次函数和一元二次方程之间的关系，平行线分线段成比例定理，锐角三角函数定义等知识，解决问题的关键在于根据点的坐标表示出线段．
5.（10分）（2022贵州贵阳） （1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．
用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；
（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．
①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0．
【答案】（1）＜，＜；（2）①x1=-1+，x2=-1-；②x1=0，x2=3；③x1=2+，x2=2-；④x1=-2，x2=2．
【解析】（1）由题意可知：a＜0，b＞0，
∴a＜b，ab＜0；
故答案为：＜，＜；
（2）①x2+2x−1=0；
移项得x2+2x=1，
配方得x2+2x+1=1+1，即(x+1)2=2，
则x+1=±，
∴x1=-1+，x2=-1-；
②x2−3x=0；
因式分解得x(x-3)=0，
则x=0或x-3=0，
解得x1=0，x2=3；
③x2−4x=4；
配方得x2-4x+4=4+4，即(x-2)2=8，
则x-2=±，
∴x1=2+，x2=2-；
④x2−4=0．
因式分解得(x+2) (x-2)=0，
则x+2=0或x-2=0，
解得x1=-2，x2=2．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．还考查了实数与数轴．
6. （10分）（2022四川眉山）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
【答案】（1）20% （2）18个
【解析】【分析】（1）先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，根据2019年投入资金2021年投入的总资金，列出方程求解即可；
（2）由（1）得出的资金年增长率求出2022年的投入资金，然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金，列出不等式求解即可．
解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为，
根据题意得：，
解这个方程得，，，
经检验，符合本题要求．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
（2）设该市在2022年可以改造个老旧小区，
由题意得：，
解得．
∵为正整数，∴最多可以改造18个小区．
答：该市2022年最多可以改造18个老旧小区．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，不等式的应用，解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系，列出正确的方程和不等式．
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