【中考一轮复习】2023年中考数学人教版单元检测卷——专题24 圆（原卷版+解析版）

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（试卷满分120分，答题时间120分钟）
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1. （2022浙江温州）如图，是的两条弦，于点D，于点E，连结，．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据四边形的内角和等于360°计算可得∠BAC=50°，再根据圆周角定理得到∠BOC=2∠BAC，进而可以得到答案．
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴∠ADO=90°，∠AEO=90°，
∵∠DOE=130°，
∴∠BAC=360°-90°-90°-130°=50°，
∴∠BOC=2∠BAC=100°，
故选：B．
【点睛】本题考查是圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
2. （2022广西河池）如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是( )
A. 25°B. 35°C. 40°D. 50°
【答案】C
【解析】根据圆周角定理可得，根据切线的性质可得，根据直角三角形两个锐角互余即可求解．
，∠ABC＝25°，
，
AB是⊙O的直径，
，
．
故选C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，掌握圆周角定理与切线的性质是解题的关键．
3. （2022安徽）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ）
A. B. 4C. D. 5
【答案】D
【解析】连接，过点作于点，如图所示，先利用垂径定理求得，然后在中求得，再在中，利用勾股定理即可求解．
解：连接，过点作于点，如图所示，
则，，
∵PA＝4，PB＝6，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
故选：D
【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的运用，构造直角三角形是解题的关键．
4. （2022甘肃威武）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，若对角线的长约为8mm，则正六边形的边为（ ）
A. 2mmB. C. D. 4mm
【答案】D
【解析】如图，连接CF与AD交于点O，易证△COD为等边三角形，从而CD=OC=OD=AD，即可得到答案．
连接CF与AD交于点O，
∵正六边形，
∴∠COD= =60°，CO=DO，AO=DO=AD=4mm，
∴△COD为等边三角形，
∴CD=CO=DO=4mm，
即正六边形的边长为4mm，
故选：D．
【点睛】考查正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键．
5. （2022重庆）如图，是的切线，B为切点，连接交于点，延长交于点，连接．若，且，则的长度是（ ）
A. 3B. 4C. D.
【答案】C
【解析】连接OB，先求出∠A＝30°，OB＝AC＝3，再利用＝tan30°，即可求出AB的长度．
连接OB，
∵OB＝OD，
∴△OBD是等腰三角形，
∴∠OBD＝∠D，
∵∠AOB是△OBD的一个外角，
∴∠AOB＝∠OBD＋∠D＝2∠D，
∵是的切线，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵，
∴∠A＋∠ABO＝∠A＋2∠D＝3∠A＝90°，
∴∠A＝30°，
∴AO＝2OB＝AC＋OC，
∵OB＝OC，
∴OB＝AC＝3，
∵＝tan30°，
∴AB＝．
故选：C
【点睛】此题考查了切线的性质定理、解直角三角形、等腰三角形的判定和性质等知识，求出∠A＝30°是解决此题的关键．
6. （2022浙江丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为，高为，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径BC，再利用矩形的性质证得是等边三角形，得到，进而求得门洞的圆弧所对的圆心角为，利用弧长公式即可求解．
【详解】如图，连接，，交于点，
∵ ，
∴是直径，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴门洞的圆弧所对的圆心角为 ，
∴改建后门洞的圆弧长是(m)，
故选：C
【点睛】本题考查了弧长公式，矩形的性质以及勾股定理的应用，从实际问题转化为数学模型是解题的关键．
7. （2022甘肃威武）如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯路（）的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出这段弯路（）的长度．
∵半径OA=90m，圆心角∠AOB=80°，
这段弯路（）的长度为：，
故选C
【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长计算公式
8 .（2022山东济宁）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A. 96πcm2B. 48πcm2C. 33πcm2D. 24πcm2
【答案】D
【解析】根据圆锥的侧面积=×底面周长×母线长计算即可求解．
底面直径为6cm，则底面周长=6π，
侧面面积=×6π×8=24πcm2．
故选D．
【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积=×底面周长×母线长．
9.（2022浙江宁波）已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】利用圆锥侧面积计算公式计算即可：；
．
【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算公式，比较简单，直接代入公式计算即可．
10.（2022广西柳州）如图，圆锥底面圆的半径AB＝4，母线长AC＝12，则这个圆锥的侧面积
为（ ）
A. 16πB. 24πC. 48πD. 96π
【答案】C
【解析】根据圆锥侧面积公式，其中l是圆锥的母线，r是底圆的半径，求解即可．
由题意可知：
圆锥的侧面积为：，其中l是圆锥的母线，r是底圆的半径，
．
故选：C
【点睛】本题考查圆锥的侧面积公式，如果把圆锥的侧面沿着它的一条母线剪开，那么它的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面圆的周长，圆锥的侧面积等于扇形的面积．
二、填空题（共10小题，每空3分，共30分）
1. （2022甘肃威武）如图，在⊙O内接四边形中，若，则________．
【答案】80
【解析】根据圆内接四边形的性质计算出即可．
∵ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝100°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质．
2. （2022山东日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为__________．
【答案】
【解析】连接AC，根据∠ABC=90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可．
连接AC，
∵∠ABC=90°，且∠ABC是圆周角，
∴AC是圆形镜面的直径，
由勾股定理得：，
所以圆形镜面的半径为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出AC是圆形镜面的直径是解此题的关键．
3. （2022浙江丽水）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是，则A点的坐标是___________．
【答案】
【解析】如图，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作轴于N，连接AO，BO，证明△BOE、△AON全等，可得三点共线，可得关于O对称，从而可得答案．
【详解】解：如图，延长正六边形的边BM与x轴交于点E，过A作轴于N，连接AO，BO，
所以三个正六边形，O为原点，
BM=MO=OH=AH,∠BMO=OHA=120°，
△BMO≌△OHA
OB=OA
∠MOE=90°-60°=30°，
∠MOB=（180°-120°）/2=30°，
所以∠BOE=60°，
明显能得出∠HOA=30°，
所以∠AOB=∠HOA+∠HOE+∠EOB=30°+90°+60°=180°
三点共线，
关于O对称，
已知B点的坐标是，

故答案为：
【点睛】本题考查的是坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，关于原点成中心对称的两个点的坐标特点，正多边形的性质，熟练的应用正多边形的性质解题是解本题的关键．
4. （2022浙江金华）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙于点A，长边与⊙相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知，则⊙的半径为_____．
【答案】
【解析】设圆的半径为rcm，连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到r2＝（r−6）2＋82，求出r即可．
连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图所示：
∵CB与相切于点B，
∴，
∴，
∴四边形ACBD为矩形，
∴，，
设圆的半径为rcm，在Rt△AOD中，根据勾股定理可得：，
即r2＝（r−6）2＋82，
解得：，
即的半径为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理列出关于半径r的方程，是解题的关键．
5. （2022浙江温州）若扇形的圆心角为，半径为，则它的弧长为___________．
【答案】π
【解析】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出该扇形的弧长．
∵扇形的圆心角为120°，半径为，
∴它的弧长为：
故答案为：
【点睛】本题考查弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长的计算公式
6. （2022内蒙古包头）如图，已知的半径为2，是的弦．若，则劣弧的长为___________．
【答案】
【解析】根据条件可证为直角三角形，得到，之后利用弧长公式即可得到答案．
由题知，，
，
，
劣弧．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查勾股定理，弧长的公式，掌握弧长的公式是解题的关键．
7. （2022山东济宁）如图，点A，C，D，B在⊙O上，AC＝BC，∠ACB＝90°．若CD＝a，tan∠CBD＝，则AD的长是______．
【答案】
【解析】如图，连接，设交于点，根据题意可得是的直径，，设，证明，根据相似三角形的性质以及正切的定义，分别表示出，根据，勾股定理求得，根据即可求解．
如图，连接，设交于点，
∵∠ACB＝90°
∴是的直径，
，
tan∠CBD＝，
，
在中， ，
，
，
，
设
则，
AC＝BC，
，
，
中，，
，
，
,
又，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了90°圆周角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等，正切的定义，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
8.（2022浙江宁波）如图，在△ABC中，AC=2，BC=4，点O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切于点A，D是BC边上的动点，当△ACD为直角三角形时，AD的长为___________．
【答案】或
【解析】根据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法解答即可．
连接OA，
①当D点与O点重合时，∠CAD为90°，
设圆的半径=r，
∴OA=r，OC=4-r，
∵AC=4，
在Rt△AOC中，根据勾股定理可得：r2+4=（4-r）2，
解得：r=，
即AD=AO=；
②当∠ADC=90°时，过点A作AD⊥BC于点D，
∵AO•AC=OC•AD，
∴AD=，
∵AO=，AC=2，OC=4-r=，
∴AD=，
综上所述，AD的长为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了切线的性质和勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键．
9. （2022山东青岛）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数
为________
【答案】
【解析】先求出正六边形的中心角，再利用圆周角定理求解即可．
连接OC、OD、OE，如图所示：
∵正六边形内接于，
∴∠COD= =60°，则∠COE=120°，
∴∠CME= ∠COE=60°．
【点睛】本题考查正多边形的中心角、圆周角定理，熟练掌握正n多边形的中心角为是解答的关键．
10. （2022四川绵阳）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：mm）．电镀时，如果每平方米用锌0.1千克，电镀1000个这样的锚标浮筒，需要_______千克锌？（π的值取3.14）
【答案】282.6
【解析】求出圆锥的表面积
，圆柱的表面积，进一步求出组合体的表面积为：，即可求出答案．
【详解】如图：
由勾股定理可知：圆锥的母线长，
设底圆半径为r，则由图可知，
圆锥的表面积：，
圆柱表面积：，
∴组合体表面积为：，
∵每平方米用锌0.1千克，
∴电镀1000个这样的锚标浮筒，需要锌．
【点睛】本题考查组合体的表面积，解题的关键是求出圆锥的表面积和圆柱的表面积，掌握勾股定理，表面积公式．
三、解答题（本大题有6道小题，共60分）
1. （10分）（2022山东济宁）如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在上取点F，使，连接BF，DF．
（1）求证：DF与半圆相切；
（2）如果AB＝10，BF＝6，求矩形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】（1）连接OF，证明，可得，根据矩形的性质可得，进而即可得证；
（2）连接，根据题意证明，根据相似三角形的性质求得，进而勾股定理，根据矩形的面积公式即可求解．
【详解】（1）证明：连接OF．
，
，
四边形是矩形，
∴DF与半圆相切.
（2）解：连接，
，，
，
为半圆的直径，
，
，
，
，
，
，
在中，
矩形的面积为
【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
2.（10分） （2022安徽）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD．
（1）如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长；
（2）如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE，求证：CE⊥AB．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质（在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半）及勾股定理可求出OD，进而求出AD的长；
（2）根据切线的性质可得OCCD，根据同一个圆的半径相等及等腰三角形的性质可得∠OCA=∠OAC，由各个角之间的关系以及等量代换可得答案．
【详解】（1）解：∵OA=1=OC，COAB，∠D=30
∴CD=2⋅ OC=2
∴
∴
（2）证明：∵DC与⊙O相切
∴OCCD
即∠ACD+∠OCA=90
∵OC= OA
∴∠OCA=∠OAC
∵∠ACD=∠ACE
∴∠OAC+∠ACE=90
∴∠AEC=90
∴CEAB
【点睛】本题考查切线的性质，直角三角形的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质，掌握相关性质定理是解题的关键．
3. （10分）（2022甘肃威武）如图，内接于，，是的直径，是延长线上一点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是90°，得出，根据圆周角定理得到，推出，即可得出结论；
（2）根据得出，再根据勾股定理得出CE即可．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）由（1）知，
在和中，∵，，
∴，即，
∴，
在中，，，
∴，解得．
【点睛】主要查圆的综合题，熟练掌握圆周角定理，切线的判定，勾股定理等知识是解题的关键．
4.（10分） （2022北京）如图，是的直径，是的一条弦，连接
（1）求证：
（2）连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线．
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】【分析】（1）设交于点，连接，证明 ，故可得 ，于是 ，即可得到；
（2）连接，解出，根据为直径得到，进而得到，即可证明，故可证明直线为的切线．
【详解】（1）证明：设交于点，连接，
由题可知，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：
连接，
，
，
同理可得：,，
∵点H是CD的中点，点F是AC的中点，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
直线为的切线．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直线平行的判定与性质，三角形的内角和公式，证明三角形全等以及证明平行线是解题的关键．
5. （10分）（2022广西百色）如图，AB为圆的直径， C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M．作AD⊥MC，垂足为D，已知AC平分∠MAD ．
（1）求证：MC是⊙O的切线：
（2）若 AB＝BM＝4，求 tan∠MAC的值
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】（1）连接得∠由平分∠得∠可知∠故得由得从而可得结论；
（2）证明△可求出过点作得△得从而求出进一步可求出
【详解】（1）连接如图，
∴
∴∠
∵平分∠，
∴∠
∴∠
∴AD//OC，
∴∠OCM=∠ADC，
∵，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCM=90°，
∴
∵是⊙O的半径，
∴MC是⊙O的切线
（2）∵
∴∠
∴∠
∵是⊙O的直径，
∴∠
∵∠
∴∠
∵∠
∴∠，
又∠，
∴△
∴
∵
∴
∴
∴
∴ (负值舍去)
过作于点
∵
∴
∴△
∴
∴
∴，
∴
∴
【点睛】本题考查了切线的判定，半径所对的圆周角是直角，相似三角形的判定与性质，求锐角的正切值，正确作出辅助线是解答本题的关键．
6.（10分）（2022济南） 已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．
（1）求证：CA＝CD；
（2）若AB＝12，求线段BF的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】（1）连接，欲证明CA＝CD，只要证明即可．
（2）因为为直径，所以，可得出三角形CBF为等腰直角三角形，即可求出BF，由此即可解决问题．
【详解】（1）证明：连接
∵与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵所对的圆周角为，圆心角为，
∴，
∴，
∴．
（2）∵为直径，
∴，
在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会条件常用辅助线，属于中考常考题型．