第十七章：勾股定理重点题型复习-【题型分类归纳】2022-2023学年八年级数学下册同步讲与练（人教版）

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第十七章：勾股定理重点题型复习题型一 勾股数问题【例1】下列三个数中，能组成一组勾股数的是（    ）A．，， B．，，C．12，15，9 D．，，  【变式1-1】若3，4，是一组勾股数，则的值为（    ）A． B．5 C．或5 D．6  【变式1-2】若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一定是勾股数的为（    ）A． B． C． D．  【变式1-3】下列数据中是勾股数的有（　　）组（1）3，5，7 （2）5，15，17 （3）1.5，2，2.5 （4）7，24，25 （5）10，24，26.A．1 B．2 C．3 D．4  【变式1-4】下列说法：①因为0.6，0.8，1不是勾股数，所以以0.6，0.8，1为边的三角形不是直角三角形②若a，b，c是勾股数，且，，则必有③因以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数④若三个整数a，b，c是直角三角形的三条边，则，，必是勾股数其中正确的是___________（填序号）．  题型二 勾股定理的证明方法【例2】课堂上，王老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出两种图形，能证明勾股定理的是（    ）A．①行，②不行 B．①不行，②行 C．①，②都行 D．①，②都不行  【变式2-1】勾股定理是数学史上非常重要的一个定理，古今中外已有几百种证明方法．2002年世界数学家大会在中国北京举行，大会的会标选用验证勾股定理的“弦图”，它标志着我国古代数学的成就．“弦图”由4个全等的直角三角形拼成大正方形（如下图示）设直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，请你利用“弦图”验证勾股定理．  【变式2-2】若用x，y表示直角三角形的两直角边（x>y），下列四个说法：① ② ③ ④；其中说法正确的有________个．  【变式2-3】我们在学习勾股定理的第二课时时，以下图形可以用来验证勾股定理的有（     ）个．A．1 B．2 C．3 D．4  【变式2-4】如图，四边形中，，点在边上．，时，设，，，请利用如图，证明勾股定理：．  题型三 勾股定理与点坐标问题【例3】在平面直角坐标系中，点到原点距离为（    ）A．6 B． C．10 D．8  【变式3-1】已知平面直角坐标内的两点、，那么，两点的距离等于________.  【变式3-2】在直角坐标系中，点A的坐标为，它关于y轴的对称点B的坐标是______，是______三角形．  【变式3-3】在直角坐标系内，已知点，，且，那么的值是_______ ．  【变式3-4】已知直角坐标平面内点A（4，﹣1）、B（1，2），作线段AB的垂直平分线交y轴于点C．则C点的坐标为 _____．  题型四 用勾股定理求解三角形问题【例4】直角三角形的两边长分别为和，则第三条边长为(　　)A． B． C．或 D．或10  【变式4-1】如图，中，，是的平分线．已知，，则的长为（     ）A． B． C． D．  【变式4-2】在中，，是延长线上一点，，是上一点，连接交于点，若，，则ED的长为（    ）A．2.5 B．4.5 C．8.5 D．10  【变式4-3】如图，中，，，．以，为直角边，构造；再以，为直角边，构造；……，按照这个规律，在中，点到的距离是（    ）A． B． C． D．  【变式4-4】如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点A、B、C均在格点上，于点D，则的长为（    ）A． B． C． D．  题型五 用勾股定理求图形面积【例5】如图，两个较大正方形的面积分别为 576、625，则字母 A所代表的正方形的边长为（    ）A．1 B．49 C．16 D．7  【变式5-1】如图，是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，大直角三角形的斜边和直角边长分别是13，12．则图中阴影部分的面积是（    ）A．16 B．25 C．144 D．1  【变式5-2】如图在中，，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为（　　）A． B．24 C． D．  【变式5-3】如图，已知、和分别是的斜边及直角边和为直径的半圆的面积，则和满足关系式为（    ）．A． B． C． D．无法判断  【变式5-4】如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，和．若，，，则的值是______．  题型六 用勾股定理求解折叠图形问题【例6】如图，中， ，， ，将折叠，使点 C 与 的中点 D 重合，折痕交 于点 M，交 于点 N，则线段 的长为（    ）．A． B． C．4 D．  【变式6-1】如图，将等边折叠，使得点C落在边上的点D处，是折痕，若，，则的长是（　　）A．2 B．4 C． D．  【变式6-2】如图，矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点的对应点落在的角平分线上时，的长为______．  【变式6-3】如图，已知长方形纸片，点E在边上，且，，将沿直线翻折，使点B落在点G，延长交于点F，则线段的长为______．  【变式6-4】如图，在中，，，，点D在边上，将沿直线翻折后，点A落在点E处．如果，那么线段的长为__．  题型七 用勾股定理求线段的平方和/差【例7】如图，在中，，点D是上的点，若，，则的值为______．  【变式7-1】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，则的值为（    ）A．6 B．9 C．12 D．18  【变式7-2】一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE为多少米时，有．（提示：连接DC）．  【变式7-3】下列说法中正确的是（    ）A．已知是三角形的三边长，则B．在直角三角形中，锐角所对的边长等于斜边的一半C．RtABC中，分别是∠A、∠B、∠C的对边，若∠A=90°，则D．RtABC中，分别是∠A、∠B、∠C的对边，若∠C=90°，则  【变式7-4】如图，某公园内的一块草坪是长方形，已知，公园管理处为了方便群众，沿修了一条近道．一个人从A到C走比直接走多走了（    ）A．2米 B．4米 C．6米 D．8米  题型八 勾股定理与无理数表示【例8】如图所示，，若数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（　　）A． B． C． D．  【变式8-1】如图，长方形中，，，在数轴上，点表示数1，以点为圆心，对角线长为半径画弧交数轴于点，则数轴上点表示的数是（    ）A． B． C． D．  【变式8-2】在如图所示的数轴上，以单位长度为边长画一个正方形，以实数对应的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，则点所表示的实数是______．  【变式8-3】小丽同学在学习了利用勾股定理在数轴上表示无理数的方法后，进行如下操作：首先画数轴，原点为，在数轴上找到表示数2的点，然后过点作，且；再以为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，如图，那么点表示的数是 __．  【变式8-4】利用作直角三角形，在数轴上表示点．  题型九 用勾股定理求最短路径【例9】如图，已知圆柱的底面直径为，高为5，一只小虫在圆柱表面爬行，从点爬到A点，则这只小虫爬行的最短路程是___________．  【变式9-1】在一个长为 米, 宽为 米的长方形草地 上, 如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图是边长为 米的正三角形， 一只蚂蚁从 点处到处需要走的最短路程是______米．  【变式9-2】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（    ）A． B．25 C． D．35  【变式9-3】如图，长方体盒子的长宽高分别为，，，在中点处有一滴蜜糖，有一只小虫从点爬到处去吃，有很多种走法，请你求出最短路线长．  【变式9-4】如图，△ABC中，AB=AC=10，∠A=45°，BD是△ABC的边AC上的高，点P是BD上动点，则BP+CP的最小值是（    ）A． B． C．10 D．   题型十 勾股定理的实际应用题【例10】如图所示，一个梯子长米，顶端A靠墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则梯子顶端A下滑了 _____米．  【变式10-1】如图，供给船要给岛运送物资，从海岸线的港口出发向北偏东方向直线航行到达岛．测得海岸线上的港口在岛南偏东50°方向．若，两港口之间的距离为，则岛到港口的距离是_____．  【变式10-2】如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米．  【变式10-3】如图，在距张大爷家房屋17米处有一棵大树．在一次强风中，这颗大树从距地面8米处折断倒下，量得倒下部分的长是17米．请你通过计算，判断这棵大树倒下时是否会砸到张大爷的房子．   【变式10-4】如图，水池中离岸边点4米的处，直立长着一根芦苇，出水部分的长是2米，把芦苇拉到岸边，它的顶端恰好落到点，则水池的深度为多少米．  题型十一 直角三角形的判断【例11】下面几组数能作为直角三角形三边长的是（    ）A．2，4，5 B．5，12，13 C．3，6，7 D．4，5，8  【变式11-1】如果将直角三角形的三条边长同时扩大5倍，那么得到的三角形是（    ）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定  【变式11-2】若的三边，满足，则是（    ）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形  【变式11-3】若线段、、能构成直角三角形，则它们的比为（    ）A．5:11:13 B．3:4:6 C．7:24:25 D．6:8:12  【变式11-4】在中，的对边分别是a，b，c．下列条件中，不能说明是直角三角形的是（　　）A． B．C． D．  题型十二 在网格中判断直角三角形【例12】如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1．（1）求的面积；（2）是直角三角形吗？请说明理由．  【变式12-1】如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，的顶点都在格点上．（1）直接判断的形状，（2）画出关于直线的对称图形．（3）在直线上作一点P，使得最小  【变式12-2】如图，5×5网格中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均为网格上的格点．（1）AB=       ；BC=       ；AC=       ．（2）求∠ABC的度数．  【变式12-3】如图，每个小正方形的边长为均为格点．（1）四边形的面积为______，四边形的周长为______；（2）是直角吗？说明理由  【变式12-4】在由6个大小相同的小正方形组成的方格中：（1）如图（1），A，B，C是三个格点（即小正方形的顶点），判断AB与BC的关系，并说明理由；（2）如图（2），连接三格和两格的对角线，求∠α+∠β的度数（要求：画出示意图并给出证明）．  题型十三 用逆定理求解三角形问题【例13】在中，，，，于点，则的长为______．  【变式13-1】如图，已知中上取一点上取一点使得，过点作∥，则等于（　　）A． B． C． D．  【变式13-2】如图，已知，，，，则点C到的距离为（    ）．A． B． C． D．  【变式13-3】如图，在中，的垂直平分线分别交于点，且．（1）求的度数；（2）若，求的长．  【变式13-4】如图，在四边形中，，，，，．（1）判断的形状，并说明理由；（2）求的长．  题型十四 勾股定理的逆定理的实际应用【例14】一个零件的形状如图所示，按规定∠BAC应为直角，工人师傅测得∠ADC=90°，AD=3，CD=4，AB=12，BC=13，请你帮他看一下，这个零件符合要求吗？为什么  【变式14-1】在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．（1）问是否为从村庄到河边的最近路？（即：与是否垂直？）请通过计算加以说明；（2）求原来的路线的长． 【变式14-2】某气象局监测到一个沙尘暴中心沿东西方向有A向B移动，已知点C处为以城镇，且点C与A、B两点的距离，以沙尘暴中心为圆心，周围以内都会受到沙尘暴影响．（1）通过计算说明城镇C是否会受到影响；（2）若沙尘暴中心的移动速度为，则沙尘暴影响该城镇持续的时间有多长？  【变式14-3】为响应政府的“公园城市建设”号召，某小区进行小范围绿化，要在一块如图四边形空地上种植草皮，测得，，，，，如果种植草皮费用是200元/，那么共需投入多少钱？  【变式14-4】一艘轮船以16海里/时的速度离开港口如图，向北偏东方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西的某个方向航行，已知它们离港口后相距30海里（即海里），问另一艘轮船航行的方向是北偏西多少度