高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.3.2 等比数列的前 n项和同步达标检测题

【优选】5.3.2 等比数列的前n项和-2课时练习

一．填空题

1．等比数列中，2，7，则公比=___________.

2．数列为等比数列，，公比为，且满足，，成等差数列，则_______．

3．已知数列中，，，则______．

4．已知为非零常数，数列与均为等比数列，且，则__________．

5．在等比数列中，若，，则___________.

6．是2与8的等比中项，是与的等差中项，则的值为______．

7．已知数列的前项和为，，，则数列的前项和_____________.

8．已知各项均为正数的等比数列中，，，其前项和为，则___.

9．正项数列中，，若，则________．

10．已知数列的前项和为，且，则等于___________.

11．已知公比为的等比数列中，，则该数列前项的和______．

12．已知各项均为正数的等比数列的前项和为且则的最大值为___________.

13．已知数列满足，则数列的通项公式为________．

14．已知各项均为正项的等比数列，则________．

15．如图，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．规则：

参考答案与试题解析

1．【答案】0.5或2

【解析】分析：设等比数列的公比为，则，解方程组可求得结果

详解：解：设等比数列的公比为，

因为2，7，所以，

所以，得，，

解得或，

故答案为：0.5或2

2．【答案】

【解析】由题意知，

所以，即，

且由知，

所以．

故答案为：3

3．【答案】

【解析】分析：化简已知得，所以是一个以为首项，以2为公比的等比数列，即得解.

详解：因为，

所以，

所以是一个以为首项，以2为公比的等比数列，

所以.

故答案为：

4．【答案】3

【解析】分析：利用等比数列的性质，得到且，化简得，得到数列也为等差数列，进而求解即可

详解：因为数列与均为等比数列，

所以且，

得，故数列也为等差数列，

不难得数列为非零常数列，则．

故答案为：3

【点睛】

关键点睛：解题的关键在于，利用且，得到数列也为等差数列，属于中档题

5．【答案】16

【解析】分析：设公比为，利用等比数列性质求得公比，代入通项公式即可求得结果.

详解：设公比为，则，解得，所以.

故答案为：16.

6．【答案】

【解析】分析：根据等比中项与等差中项定义求解即可.

详解：解：因为是2与8的等比中项，所以，

因为是与的等差中项，所以，．

所以，解得，

所以

故答案为：

7．【答案】

【解析】由，得，当时，，两式作差，得，

化简得，当时， ，，，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，故，

，，错位相减得，即.故答案为: .

8．【答案】

【解析】分析：求出等比数列的公比，利用等比数列的求和公式可求得的值.

详解：设等比数列的公比，则，则，即，

，则，，解得.

因此，.

故答案为：.

9．【答案】9

【解析】分析：将原式化简得，故数列为等比数列，利用等比中项求得结果.

详解：，化简得，故数列为等比数列，

．

故答案为：9.

10．【答案】1023

【解析】分析：根据得到数列是以1为首项；2为公比的等比数列，从而利用等比数列的前项和公式即可求得．

详解：解：当时，，解得；当时，，得，

由，得，两式相减得，即，又，

所以数列是以1为首项；2为公比的等比数列，所以．

故答案为：1023.

11．【答案】

【解析】分析：设等比数列的首项为，公比， 则，，，，，，仍为等比数列，其首项为，公比为，故，由此可解得结果.

详解：设等比数列的首项为，公比，前项和为．

由题知，，，，，，仍为等比数列，其首项为，公比为，

故其前项的和为，

解得．

故答案为：.

12．【答案】10

【解析】分析：先基本量解方程求出，再根据对数运算性质转化为二次函数最值问题即可

详解：，解得或（舍）

又因为各项均为正数，则

又，，

而

所以当或4时取得最大值

所以的最大值为

故答案为：10

13．【答案】

【解析】分析：根据与之间的关系即可求解.

详解：因为①，

所以②，

所以①-②得，所以，

因为，所以，所以

故答案为：

14．【答案】

【解析】分析：利用等比数列的性质可得，计算出后再利用即可．

详解：解：由是等比数列，得，解得或（舍去），

所以．

故答案为：．

15．【答案】

【解析】分析：设把个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动次，则把n个金属片从1号针移到3号针，分为以下步骤来完成:第一步：先将上面的个金属片从1号针移到2号针，二步：将第n个金属片从1号针移到3号针，第三步：再将上面的个金属片从2号针移到3号针，从而得出，从而得出答案.

详解：设把个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动次.

则把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动次

把n个金属片从1号针移到3号针，分为以下步骤来完成:

第一步：先将上面的个金属片从1号针移到2号针，则最少需要移动次.

第二步：将第n个金属片从1号针移到3号针，需要1次.

第三步：再将上面的个金属片从2号针移到3号针，则最少需要移动次.

所以，其中

则，所以

所以

故答案为：

【点睛】

关键点睛：本题考查实际问题中得出数列的递推公式，再求数列的通项公式，解答本题的关键是在实际问题中，根据题意得出，然后变形，从而得出答案，属于中档题.