高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.1 直线与圆锥曲线的交点课时练习

2.4 直线与圆锥曲线的位置关系

一、   概念练习

1.若过点的直线与抛物线只有一个公共点，则这样的直线有().

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

2.已知抛物线的焦点为,点P为第一象限内的点,且在抛物线C上,则的最小值为(   )

A. B. C. D.

3.已知抛物线的焦点为F,准线为l,过点F作倾斜角为60°的直线交抛物线于M,N两点(),作,垂足为K,则外接圆的面积为(   )

A. B. C. D.

4.定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动，点M为线段AB的中点，则点M到y轴的最短距离为()

A. B.1 C. D.2

5.已知，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，O为坐标原点，若，则面积的最小值为(   )

A.6 B.8 C.10 D.12

二、能力提升

6.已知点，设不垂直于x轴的直线l与抛物线交于不同的两点A、B，若x轴是的平分线，则直线l一定过点()

A. B. C. D.

7.抛物线的准线l与双曲线交于A、B两点，，分别为双曲线C的左、右焦点，在l左边，为等边三角形，与双曲线的一条渐近线交于点E,，则的面积为(   )

A. B. C. D.

8.已知抛物线的焦点为F，点P是抛物线上一点，且满足，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，则的内切圆的周长为()

A. B. C. D.

9.椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(   )

A. B. C. D.

10.设A，B分别是双曲线的左、右顶点，设过的直线PA，PB与双曲线分别交于点M，N，直线MN交x轴于点Q，过Q的直线交双曲线的右支于S，T两点，且，则的面积为(   )

A. B. C. D.

11.已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且.若，则双曲线的离心率是___________.

12.记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________.

13.设抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A，B两点，过AB的中点M作y轴的垂线，与抛物线在第一象限内交于点P，若，则直线l的方程为____________.

14.已知F是抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，若.

（I）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）设直线n同时与椭圆和抛物线C相切，求直线n的方程.

15.在平面直角坐标系中,已知双曲线的离心率为,直线与双曲线C交于两点,点在双曲线C上.

(1)求线段中点的坐标;

(2)若,过点D作斜率为的直线与直线交于点P,与直线交于点Q,若点满足,求的值.

答案以及解析

1.答案：B

解析：因为点在抛物线上，所以过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点.故选B.

2.答案：A

解析：设点P在直线上的投影为点Q,则.易知当直线与抛物线C相切时,最小,即最小,亦即最小.设过点E且与抛物线C相切的直线的方程为.将其代入,得.由,得(负值已舍去).所以的最大值为,所以的最小值为,所以的最小值为,即的最小值为.故选A.

3.答案：D

解析：由题得焦点,则直线MN的方程为,联立解得,则点K的坐标为,,同理可得.由抛物线定义可知,所以为等边三角形,所以外接圆的半径,所以外接圆的面积,故选D.

4.答案：B

解析：如图所示，抛物线的准线为，过A、B、M分别作、、垂直于l，垂足分别为、、.由抛物线定义知，.

由点M为线段AB的中点及梯形中位线定理得，

则M到y轴的距离（当且仅当线段AB过抛物线的焦点时取“=”），

所以，即点M到y轴的最短距离为1.故选B.

5.答案：B

解析：设直线AB的方程为，点，，直线AB与x轴的交点为，将代入，可得，

根据根与系数的关系得，.

，，又，，令，则，解得或，点A，B位于x轴的两侧，，故.

故直线AB所过的定点坐标是，

故的面积，

当时，直线AB垂直于x轴，的面积取得最小值，为8，故选B.

6.答案：B

解析：设直线l的方程为，，.

由得，

所以，即，，.

因为x轴是的平分线，所以，所以，

即，整理，得，

所以，

化简，得，

所以，

所以直线l过定点.故选B.

7.答案：D

解析：不妨令点A在第二象限，示意图如图，由，可得E为的中点，又O为的中点，.为等边三角形，，由对称性知，，，①，②.抛物线的准线l的方程为，的边长为，，在中，由余弦定理可得，即③，由①②③得，，，.则的面积.故选D.

8.答案：A

解析：如图，不妨设点在第一象限，则，，

由得，解得，此时，所以.

从而的面积.

易知点，，所以.

设的内切[圆的半径为r，内心为点，

则由，得，解得.

所以的内切圆的周长为，故选A.

9.答案：A

解析：解法一：设，则，易知，所以（*）.因为点P在椭圆C上，所以，得，代入（*）式，得，结合，得，所以.故选A.

解法二：设椭圆C的右顶点为B，则直线BP与直线AQ关于y轴对称，所以，所以，所以.故选A.

10.答案：A

解析：双曲线的左、右顶点分别为，，又，直线PA的方程为，PB的方程为解得或，将代入可得，即有，

联立可得，

解得或，将代入，可得，即.

设，由M，N，Q三点共线，可得，

即有，

将M，N的坐标代入化简可得，

解得，即，

设过Q的直线方程为，

联立得，

设，，可得，，恒成立，

又，，，

解得，

可得

.

故选A.

11.答案：

解析：结合题意作出图形如图所示，由题意知，过左焦点且斜率为的直线的方程为，由，解得，所以.因为，所以，即，得，所以，将代入双曲线方程，可得，结合离心率得，又，所以双曲线的离心率为.

12.答案：内的任意值均可

解析：双曲线C的渐近线方程为，若直线与双曲线C无公共点，则，，，又，，填写内的任意值均可.

13.答案：

解析：由题意知.设直线l的方程为，，，.

点P在第一象限，.

由得.

，，

，

从而得.

易得，，

，，即，又，，

因此直线l的方程为，

即.

14.答案：（I）

（Ⅱ）或

解析：（I）由题意得点，设过点F且倾斜角为的直线l的方程为，

联立，消y整理得

.

设，，

则，

则，解得，

所以抛物线的标准方程为.

（Ⅱ）由题知，直线n的斜率显然存在，

设直线n的方程为，

联立

消去y整理得.

因为直线n与椭圆相切，

所以，

整理得.

联立，消去y整理得

.

因为直线n与抛物线相切，

所以，

整理得，

所以，

解得或

所以直线n的方程为或.

15.答案：(1)

(2)

解析：本题考查双曲线的方程、直线与双曲线的综合应用.

(1)依题意,双曲线C的离心率,则, 故双曲线C的方程为.

联立得,且.

设,则.

设线段的中点为,故,

将代入直线,得,

故线段的中点坐标为.

(2)依题意,,则双曲线C的方程为.

直线,又点在双曲线C上,

所以,故直线的方程为.

由题可知,点均不重合,由易知为的外心,设,则,即,即.

线段的垂直平分线的方程为,线段的垂直平分线的方程为.

联立得

联立解得,同理.

故,

故解得

代入方程,得,

即,则.