高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性同步测试题

【特供】3.1.3函数的奇偶性作业练习

一、单选题

1．设为定义在R上的函数，函数是奇函数.对于下列四个结论：

①；

②；

③函数的图象关于原点对称；

④函数的图象关于点对称；

其中，正确结论的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．下列函数既是奇函数，又是增函数的是（    ）

A． B． C． D．

3．设函数的定义域为D，若对任意的，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心，研究函数的对称中心，求（    ）

A．2022 B．4043 C．4044 D．8086

4．已知是上的偶函数，是上的奇函数，它们的部分图像如图，则的图像大致是（    ）

A． B．

C． D．

5．设f（x）是定义在R上的奇函数，若，则f（1）=（    ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

6．设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）

A． B． C． D．

7．已知函数图像关于原点对称，则在处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

8．已知是定义在上的偶函数，且满足下列两个条件：①对任意的，且，都有；②任取实数，都有.若，则的大小关系正确的是（    ）

A． B． C． D．

9．已知函数 是定义域为 的偶函数， 且 ， 若 在 上是单调递减的， 那么 在 上是（    ）

A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增

10．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ）

A． B． C． D．

11．若函数是偶函数，则（    ）

A．-1 B．0 C．1 D．

12．下列函数中，是奇函数且在上为增函数的是（    ）

A． B． C． D．

13．设函数,的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（    ）

A．是偶函数 B．是奇函数

C．是奇函数 D．是奇函数

14．设函数，则下列函数中为偶函数的是（    ）

A． B． C． D．

15．设为偶函数，当时，则使的x取值范围是（    ）

A． B．

C．或 D．或

参考答案与试题解析

1．C

【解析】令，①：根据求解出的值并判断；②：根据为奇函数可知，化简此式并进行判断；根据与的图象关系确定出关于点对称的情况，由此判断出③④是否正确.

【详解】令，

①因为为上的奇函数，所以，所以，故正确；

②因为为上的奇函数，所以，所以，即，故正确；

因为的图象由的图象向左平移一个单位得到的，

又的图象关于原点对称，所以的图象关于点对称，故③错误④正确，

所以正确的有：①②④，

故选：C.

【点睛】结论点睛：通过奇偶性判断函数对称性的常见情况：

（1）若为偶函数，则函数的图象关于直线对称；

（2）若为奇函数，则函数的图象关于点成中心对称.

2．B

【分析】根据函数的单调性和奇偶性性质逐项分析，即可选出答案.

【详解】解：由题意得：

对于选项A：函数是偶函数，故不符合题意；

对于选项B：函数是奇函数，且是单调递增函数，故符合题意；

对于选项C：函数是非奇非偶函数，故不符合题意；

对于选项D：根据幂函数的性质可知函数是奇函数，但不是单调递增函数，故不符合题意；

故选：B

3．C

【分析】令函数，得出函数为奇函数，其图象关于原点对称，进而求得函数的图象关于点中心对称，得到当时，再结合倒序相加法，即可求解.

【详解】令函数，则，

所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，

可得的图象关于点中心对称，

即当，可得，

设

，

所以

所以.

故选：C.

4．C

【分析】根据函数的奇偶性的定义判断函数奇偶性，由此排除部分错误选项，再通过取特殊点，排除其它错误选项.

【详解】又是上的偶函数，是上的奇函数，

∴ ，，

∴

∴ 函数为奇函数，其图象关于原点对称，A,B错，

由图可得当时，，，

∴ ，D错，

故选：C.

5．A

【分析】根据函数的奇偶性进行求解.

【详解】因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以.

故选：A

6．B

【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.

【详解】由题意可得，

对于A，不是奇函数；

对于B，是奇函数；

对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；

对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.

故选：B

【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.

7．A

【分析】令先求出的值，再利用函数关于原点对称可求出,再利用导函数的几何意义即可求出在处的切线方程.

【详解】由题意知：.

所以;

令，则.

所以.

又函数图像关于原点对称，即.

所以当时，.

所以当时，.

,;

所以在处的切线方程为：.

故选：A.

8．C

【分析】由题设知在区间上为增函数且周期为8，利用周期性和奇偶性得到，，，再由单调性比较大小即可.

【详解】由①知，在区间上为增函数，由②知，是周期为8的周期函数，又是定义在上的偶函数，则，，，由单调性得，则.

故选：C.

9．A

【分析】根据函数奇偶性可判断函数在上单调递增，结合即可判断答案.

【详解】由函数是定义域为的偶函数，在上是单调递减的，

可知在上单调递增，

又，即2为函数的一个周期，

故在上单调递增，

故选：A

10．D

【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．

【详解】[方法一]：

因为是奇函数，所以①；

因为是偶函数，所以②．

令，由①得：，由②得：，

因为，所以，

令，由①得：，所以．

思路一：从定义入手．

所以．

[方法二]：

因为是奇函数，所以①；

因为是偶函数，所以②．

令，由①得：，由②得：，

因为，所以，

令，由①得：，所以．

思路二：从周期性入手

由两个对称性可知，函数的周期．

所以．

故选：D．

【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．

11．C

【分析】由已知，根据函数的解析式，写出的解析式，然后根据函数为偶函数，借助，列出等量关系，化简即可求解参数.

【详解】由已知，，所以，

函数为偶函数，所以，所以，整理得：，所以.

故选：C.

12．A

【分析】利用函数奇偶性的定义和单调性的定义逐个分析判断即可

【详解】对于A，定义域为，因为，所以函数是奇函数，任取，且，则，因为，且，所以，即，所以在上为增函数，所以A正确，

对于B，因为定义域为，所以函数为非奇非偶函数，所以B错误，

对于C，因为定义域为，因为，所以为偶函数，所以C错误，

对于D，因为定义域为，因为，所以函数为非奇非偶函数，所以D错误，

故选：A

13．C

【解析】由题可得，再根据奇偶函数的定义依次判断即可.

【详解】是奇函数，是偶函数，，

对于A，，故是奇函数，故A错误；

对于B，，故是偶函数，故B错误；

对于C，，故是奇函数，故C正确；

对于D，，故是偶函数，故D错误.

故选：C.

14．B

【分析】化简各选项中的函数解析式，利用函数奇偶性的定义以及特殊值法可得出结论.

【详解】由题意可得，

对于A，，

设，对任意的，，函数的定义域为，

，，，函数不是偶函数；

对于B，，

设，对任意的，，函数的定义域为，

，函数为偶函数；

对于C，，

设，对任意的，，函数的定义域为，

，，，函数不是偶函数；

对于D，，

设，对任意的，，

，，则，函数不是偶函数.

故选：B.

15．C

【分析】根据函数的奇偶性和单调性，可作出图像，便可求得答案.

【详解】解：当时，是增函数

又 为偶函数

故可以作出的图像如图所示：

或

根据奇偶性和单调性可知的取值范围为：或

故选：C