高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.3 指数函数与对数函数的关系达标测试

【基础】4.3 指数函数与对数函数的关系-1练习

一．单项选择

1．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知函数，，，，则下述关系式正确的是（    ）

A． B． C． D．

3．已知m>0，设函数f(x)=m的图像与函数g(x)=|log2x|的图像从左至右相交于点A．B，函数h(x)=的图像与函数g(x)=|log2x|的图像从左至右相交于点C．D，记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a.b，当m变化时，的最小值为（    ）

A．4 B．6 C．8 D．16

4．已知，，，，则，，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

5．设，，则（    ）

A． B．

C． D．

6．设集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

7．若当时，函数始终满足，则函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

8．已知函数，则的值为（    ）

A． B．3 C． D．

9．给出下列三个等式：，．下列函数中不满足其中任何一个等式（    ）

A． B． C． D．

10．已知a=log34，πb=3，c3=9，则a，b，c的大小关系是（    ）

A．a<b<c B．a<c<b C．b<c<a D．b<a<c

11．已知函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．若关于的不等式在恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

13．设，函数在上单调递减，则（    ）

A．在上单调递减，在上单调递增

B．在上单调递增，在上单调递减

C．在上单调递增，在上单调递增

D．在上单调递减，在上单调递减

14．设，，，则（    ）

A． B．

C． D．

15．某纯净水制造厂在净化过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少要过滤的次数为（取）（    ）

A．5 B．10 C．14 D．1

16．已知定义域为的函数，若对任意的．，都有，则称函数为“定义域上的函数”，给出以下五个函数：

①，；

②，；

③，；

④，；

⑤，，

其中是“定义域上的函数”的有（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

17．设，，则下列结论错误的是（    ）

A． B． C． D．

18．已知点在幂函数的图象上，则函数的单调减区间为（    ）

A． B． C． D．

参考答案与试题解析

1．【答案】B

【解析】分析：找中间变量转化比较得解.

详解：因为，，

故.

故选：B.

【点睛】

对数函数值大小比较的方法方法点睛：

单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底

中间量过渡法：寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”

图象法：根据图象观察得出大小关系

2．【答案】A

【解析】分析：首先判断函数的奇偶性，并根据函数的奇偶性和对数运算公式化简，再根据函数在的单调性比较大小.

详解：是偶函数，并且当时，，函数单调递减，

，，

，

，，

即.

故选：A

【点睛】

思路点睛：函数比较大小一般需判断函数的单调性，所以先判断函数的奇偶性和单调性，然后关键的一点是需熟练掌握对数运算公式.

3．【答案】C

【解析】分析：首先设出点的坐标，然后结合对数的运算法则得到函数的解析式，利用均值不等式的性质整理计算即可求得结果．

详解：设，，，，，，，，

由题意知：，

又因为，，．

则：．

，

当且仅当，即 时取得最小值．

故选：C

【点睛】

关键点点睛：本题考查指对互化运算，考查指数幂的化简，考查基本不等式求最值，解决本题的关键点是将配凑为，由，进而得出的最小值，考查了学生运算能力，属于中档题．

4．【答案】B

【解析】分析：根据指对数函数的单调性，借助中间量比较大小即可得答案.

详解：解：因为指数函数在定义域内是增函数，所以；

由于对数函数在定义域内是减函数，所以；

由于对数函数在定义域内是减函数，所以；

所以.

故选：B.

【点睛】

本题解题的关键在于根据题意，借助中间量比较大小.

5．【答案】D

【解析】分析：由指数幂与对数的互化，得到，，根据对数的运算性质，化简得到，得到，即可求解.

详解：根据指数幂与对数的互化，可得，，

所以，又由，

所以，即，所以.

故选：D.

6．【答案】C

【解析】分析：根据指数不等式解得，再由对数函数的值域得集合，再求交集即可.

详解：∵，，∴.

故选：C.

7．【答案】A

【解析】分析：由函数始终满足，得到，再化简，画出的图像，利用翻折变换得到的图像，选出答案.

详解：当时，函数始终满足，必有，

又

先画出函数的图像，过点，单调递减，再将y轴右侧图像翻折到左侧，得到图像．

故选：A．

【点睛】

方法点睛：图像变换的翻折变换有两种：

图像保留x轴上方图像，将x轴下方图像翻折上去，得到的图像；

图像保留y轴右边图像，并将其关于y轴对称的图像画出，得到的图像；

8．【答案】A

【解析】分析：根据函数解析式，由内而外，逐步代入，即可得出结果.

详解：因为，

所以，

则.

故选：A.

9．【答案】D

【解析】分析：对各个函数分别进行验证即可

详解：解：对于A，，

对于B，，

对于C，，

对于D，，

，

所以函数不满足其中任何一个等式，

故选：D

10．【答案】D

【解析】分析：判断a．b．c与0．1．2等的大小关系进行大小比较.

详解：解：∵a=log34>1，且a<log39=2，即a∈(1，2).

∵πb=3，∴b=logπ3<logππ=1，

，

则b<a<c，

故选：D.

【点睛】

指．对数比较大小：

（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；

（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0．1比较.

11．【答案】D

【解析】分析：由题意可得：，解不等式组即可求解.

详解：由题意可得：，即，

所以，

所以实数a的取值范围是，

故选：D

【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是两段函数在各自的定义域内都是减函数，且，即可求a的取值范围.

12．【答案】A

【解析】分析：转化为当时，函数的图象不在的图象的上方，根据图象列式可解得结果.

详解：由题意知关于的不等式在恒成立，

所以当时，函数的图象不在的图象的上方，

由图可知，解得.

故选：A

【点睛】

关键点点睛：利用函数的图象与函数的图象求解是解题关键.

13．【答案】A

【解析】分析：设，根据在上单调递减推出，再根据同增异减法则可得函数在和上的单调性.

详解：设，

当时，单调递增，而在上单调递减，所以单调递减，所以，

当时，单调递增，又单调递减，所以在上单调递减，

当时，单调递减，又单调递减，所以在上单调递增.

故选：A

【点睛】

关键点点睛：使用“同增异减法则”判断复合函数的单调性是解题关键.

14．【答案】D

【解析】分析：由指数函数及幂函数的单调性可得，再由对数函数．三角函数的性质可得，即可得解.

详解：由题意，，，

所以，

所以.

故选：D.

15．【答案】C

【解析】分析：设过滤的次数为，原来水中杂质为，由可解得结果.

详解：设过滤的次数为，原来水中杂质为，则，即，

所以，所以，所以，

因为，所以的最小值为，则至少要过滤次.

故选：C

【点睛】

关键点点睛：理解题意，将题目中不等关系用不等式表示出来是解题关键.

16．【答案】C

【解析】分析：本题首先可以根据题意得出，然后对题目中给出五个函数依次进行研究，得出它们的和并进行比较，即可得出结果.

详解：，即，

①：因为，，

所以，，

易知恒成立，①满足；

②：因为，

所以，，

当时，，②不满足；

③：因为，

所以，，

因为，所以，恒成立，③满足；

④：因为，

所以，

，

因为，所以，，

故恒成立，④满足；

⑤：因为，

所以，，

因为，所以，

故恒成立，⑤满足，

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题考查函数新定义，能否根据题意明确“定义域上的函数”的含义是解决本题的关键，可通过求出函数的和并进行比较来判断函数是否是“定义域上的函数”，考查计算能力，是中档题.

17．【答案】C

【解析】分析：根据指数．对数的运算及比较大小，以及推理论证求出结果.

详解：解:选项A:易知，，所以A正确；

选项B:因为，

即，又，所以，B正确；

选项C:又，，所以，从而，C错误；

选项D:又，可知D正确.

综上，A，B，D正确，C错误.

故选:C

18．【答案】A

【解析】分析：由幂函数的性质求得，把点的坐标代入幂函数解析式求得，再由复合函数的单调性求解.

详解：因为是幂函数，所以，则，

又点在幂函数的图象上，所以，得，

函数化为.

令，由，得，

因为外函数为定义域内的减函数，

而内函数的对称轴为，且在上为增函数，

所以函数的单调减区间为.

故选：A.