高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.1.1 实数指数幂及其运算同步达标检测题

【优编】4.1.1 实数指数幂及其运算-3课时练习

一．单项选择

1．已知，当时，有，则必有（     ）

A． B．

C． D．

2．如图，某湖泊的蓝藻的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系满足，则下列说法正确的是（    ）

A．蓝藻面积每个月的增长率为

B．蓝藻每个月增加的面积都相等

C．第6个月时，蓝藻面积就会超过

D．若蓝藻面积蔓延到所经过的时间分别是，则一定有

3．如图，设a，b，c，d>0，且不等于1，y=ax，y=bx， y=cx，y=dx在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小顺序（ ）

A．a<b<c<d B．b<a<c<d C．b<a<d<c D．a<b<d<c

4．若三个正实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

5．如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为．关于下列说法正确的是（    ）

A．浮萍每月的增长率为

B．浮萍每月增加的面积都相等

C．第个月时，浮萍面积不超过

D．若浮萍蔓延到．．所经过的时间分别是．．，则

6．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

7．已知实数x,y满足,则下列关系式中恒成立的是(    )

A． B． C． D．

8．下面是有关幂函数的四种说法，其中错误的叙述是(    )

A．的定义域和值域相等 B．的图象关于原点中心对称

C．在定义域上是减函数 D．是奇函数

9．若是任意实数，且，则（    ）

A． B． C． D．

10．设，，（    ）

A．若恒成立，则 B．若，则恒成立

C．若恒成立，则 D．若，则恒成立

11．已知函数,那么函数是

A．奇函数,且在上是增函数

B．偶函数,且在上是减函数

C．奇函数,且在上是增函数

D．偶函数,且在上是减函数

12．已知，则（    ）

A． B． C． D．

13．已知函数，若，则函数的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

14．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

15．函数和（其中且）的大致图象只可能是()

A． B．

C． D．

16．函数（，且）恒过定点P，则P点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

17．函数的图像的大致形状是（    ）

A．  B．

C．  D．

18．函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

参考答案与试题解析

1．【答案】D

【解析】作出函数的图象，如图所示，

因为，且有，

所以必有，，且，

所以，则，且,

本题选择D选项.

2．【答案】ACD

【解析】由函数图象经过可得函数解析式，再根据解析式逐一判断各选项即可．

【详解】

解：由图可知，函数图象经过，即，则，∴；

∴不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍，则每个月的增长率为，A对．B错；

当时，，C对；

若蓝藻面积蔓延到所经过的时间分别是，则，，，则，即，则，D对；

故选：ACD．

【点睛】

本题主要考查指数函数的性质及指数的运算法则，属于基础题．

3．【答案】C

【解析】【详解】

由题意得，根据指数函数的图象与性质，可作直线，得到四个交点，自下而上可知指数函数的底数依次增大，即，故选C．

考点：指数函数的图象与性质．

【易错点晴】

本题考查了指数函数的图象与性质，属于基础题，解答本题的关键在于正确理解指数函数的图象，作出直线，利用交点的位置判定底数的大小，本题中的判定方法是解题的一个难点．

4．【答案】C

【解析】由题意求出的关系以及范围，再利用不等式的性质以及指数函数．对数函数的单调性逐一判断即可.

详解：三个正实数满足，

可得或，

对于A，当时，不成立；

对于B，当时，不成立；

对于C，当或时，均成立；

对于D，，

显然当时，则，，

即不成立.

故选：C

【点睛】

本题考查了不等式的性质．指数函数的单调性．对数函数的单调性，属于基础题.

5．【答案】AD

【解析】将点的坐标代入函数的解析式，求出底数的值，然后利用指数函数的基本性质以及指数运算逐个分析各选项的正误，可得出结论.

【详解】

将点的坐标代入函数的解析式，得，函数的解析式为.

对于A选项，由可得浮萍每月的增长率为，A选项正确；

对于B选项，浮萍第个月增加的面积为，第个月增加的面积为，，B选项错误；

对于C选项，第个月时，浮萍的面积为，C选项错误；

对于D选项，由题意可得，，，，，

即，所以，，D选项正确.

故选：AD.

【点睛】

本题考查指数函数基本性质的应用以及指数幂的运算，解题的关键就是求出指数函数的解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

6．【答案】D

【解析】分别将三个幂值进行化简，转化为以2为底的指数幂的形式，然后利用指数函数的单调性进行判断．

详解：解： ，

因为函数在定义域上为单调递增函数，所以．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了指数幂的大小比较，将不同底的指数幂转化为同底的指数幂．然后利用指数函数的单调性进行判断大小是解决本题的关键．

7．【答案】B

【解析】根据指数函数的单调性可知，且正确，根据特值排除法可知不正确，

【详解】

由以及指数函数为减函数，可得，

对于，当时，不成立，故不正确；

对于，根据指数函数为上的增函数可知，恒成立，故正确；

对于，当时，不成立，故不正确；

对于，当或为负数时，或无意义，所以不正确，

故选：B

【点睛】

本题考查了了指数函数的单调性的应用，考查了特值排除法，属于基础题.

8．【答案】C

【解析】根据幂函数的单调性，定义域，值域，对称，奇偶性，依次判断每个选项得到答案.

详解：，函数的定义域和值域均为，A正确；

，，函数为奇函数，故BD正确；

在和是减函数，但在不是减函数，C错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查了幂函数的定义域，对称，奇偶性，单调性，意在考查学生对于幂函数性质的综合应用.

9．【答案】D

【解析】根据指数函数的单调可得正确，举反例可判断其他选项是错误的.

【详解】

解：．是任意实数，且，如果，，显然不正确；

如果，，显然无意义，不正确；

如果，，显然，，不正确；

因为指数函数在定义域上单调递减，且，满足条件，正确．

故选：．

【点睛】

本题考查比较大小的方法，考查各种代数式的意义和性质，属于基础题．

10．【答案】C

【解析】将化简为由与符号相同，分恒成立与恒成立进行讨论可得答案.

【详解】

解：由题意得：，

易得：与符号相同，若恒成立，则恒成立，

设，可得，可得，故，

同理：若恒成立，则则恒成立，

可得：，故，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查函数恒成立讨论参数的范围，综合性大，对进行化简是解题的关键.

11．【答案】D

【解析】函数定义域为R，，所以函数为偶函数，当时，函数为减函数，因此D正确

考点：函数奇偶性单调性

12．【答案】AC

【解析】由题意可知，，，由此可得，；又，可得，由此即可求出结果．

详解：，则

，

，，又，

，．

故选：AC.

【点睛】

本题主要考查了指数幂大小比较，属于中档题.

13．【答案】B

【解析】把点的坐标代入求出底数即可.

详解：解:∵，，∴，即，

∴函数的解析式是.

故选B.

【点睛】

考查求指数函数的解析式；基础题.

14．【答案】B

【解析】函数图象是由函数图象向左平移1个单位，做出函数的图象，即可求解.

详解：作出函数的图象，如下图所示，

将的图象向左平移个单位得到图象.

故选：B

【点睛】

本题考查函数图象的识别．指数函数图象，运用函数图象平移变换是解题关键，属于基础题.

15．【答案】C

试题分析：根据函数和的单调性和所过点，判断出正确选项.

详解：由于过点，故D选项错误.

当时，过且单调递增；过点且单调递增，过且.所以A选项错误.

当时，过且单调递减，过点且单调递增，过且.所以B选项错误.

综上所述，正确的选项为C.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查指数函数．一次函数图象识别，属于基础题.

【解析】

16．【答案】C

【解析】令即可求得定点坐标.

【详解】

令，则    恒过定点

故选：

【点睛】

本题考查指数型函数过定点问题的求解，关键是能够利用来找到定点位置，属于基础题.

17．【答案】D

【解析】化简函数解析式，利用指数函数的性质判断函数的单调性，即可得出答案.

详解：根据

，

是减函数，是增函数.

在上单调递减，在上单调递增

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题关键是掌握指数函数图象的特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

18．【答案】D

【解析】根据二次函数与指数函数的值域及复合函数定义即可求出.

详解：解：由二次函数的性质可知，因此，即函数的值域为.

故选：.

【点睛】

本题考查指数型复合函数的值域，属于基础题.