人教B版 (2019)必修 第二册4.1.1 实数指数幂及其运算随堂练习题

【优选】4.1.1 实数指数幂及其运算-2优选练习

一．单项选择

1．函数的图象大致是（    ）

A． B． C． D．

2．设，，，则的大小顺序为（    ）

A． B． C． D．

3．函数的大致图像是（    ）

A． B．

C． D．

4．是实数，则下列式子中可能没有意义的是（    ）

A．  B．  C．  D．

5．设且，则下列关系式中一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

6．函数（且）与函数在同一个坐标系内的图象可能是(  )

A． B．

C． D．

7．在一定的储存温度范围内，某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）之间满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数），若该食品在时的保鲜时间为小时，在时的保鲜时间为小时，则该食品在时的保鲜时间为(    )

A．小时 B．小时 C．小时 D．小时

8．已知关于x的不等式2x﹣a＞0在区间上有解，那么实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9．已知函数，则不等式的解集是（    ）．

A． B．

C． D．

10．函数图象恒过的定点构成的集合是（    ）

A．{-1，-1} B．{（0,1）} C．{（-1,0）} D．

11．函数且的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

12．以下结论正确的是（    ）

A．当时，函数的图象是一条直线

B．幂函数的图象都经过．两点

C．若幂函数的图象关于原点对称，则在定义域内随的增大而增大

D．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限

13．函数（且）的图象恒过定点（    ）

A． B． C． D．

14．函数在上的最大值与最小值的差为2，则的值为（    ）

A． B． C． D．

15．函数在区间上的最小值是（     ）

A． B． C． D．

16．不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

17．若函数的部分图象如下图所示，则（    ）

A． B．

C． D．

18．已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（    ）

A．(－1，5) B．(－1，4) C．(0，4) D．(4，0)

参考答案与试题解析

1．【答案】B

【解析】判断函数的奇偶性，利用指数函数的特征判断即可.

【详解】

函数是偶函数，其图象关于轴对称，

当时，函数的图象是减函数，函数的值域，

结合选项可得只有B符合，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及基本函数的特征的考查，属于基础题.

2．【答案】B

【解析】根据实数指数幂的运算性质，化简得，，，再结合指数函数的单调性，即可求解.

详解：由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得，，，

又由函数是上的单调递增函数，

因为，所以，即.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了指数幂的运算性质，以及指数函数的图象与性质的应用，考查了学生的逻辑推理与运算求解能力.

3．【答案】B

【解析】讨论的取值，得到右半部分图像，再有函数为偶函数，图像关于轴对称即可得到选项。

详解：当时，，由指数函数图像可得到轴的右半部分；又因为

为偶函数，只需把右半部分翻折到左半部分即可。

故答案为：B

【点睛】

本题考查指数函数图像的应用以及图像的翻折变换，比较基础。

4．【答案】C

【解析】根据实数指数幂的运算性质，求得选项中各个式子有意义的条件，即可求解.

详解：由指数幂的运算性质，可得：

对于A中，式子中，实数的取值为，所以总有意义；

对于B中，式子中，实数的取值为，所以总有意义；

对于C中，式子中，实数的取值为，所以可能没有意义；

对于D中式子中，实数的取值为，所以总有意义.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了实数指数幂的运算性质及其应用，其中解答中熟记实数指数幂的性质，求得各项式子有意义的条件是解答的关键，着重考查推理能力.

5．【答案】D

【解析】首先作出的图像，根据数形结合即可得出选项．

详解：作出函数的图像如图所示.

由且可知c，b，a不在同一个单调区间上.

故选D.

【点睛】

本题考查函数图像变换以及图像在解题中的应用，是数学中比较常见的型．

6．【答案】C

【解析】利用指数函数和二次函数的性质对各个选项一一进行判断可得答案.

详解：解：两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数的图象过点，故排除A，D；

二次函数的对称轴为直线，当时，指数函数递减，，C符合题意；

当时，指数函数递增，，B不合题意，

故选C．

【点睛】

本题通过对多个图象的选择考查指数函数．二次函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强．考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域．值域．单调性．奇偶性．特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.

7．【答案】C

【解析】根据题意可得，求出解析式即可求解.

【详解】

由题意可得，解得，，

所以当时，，

故选：C

【点睛】

本题考查了指数函数模型的应用以及指数的运算，属于基础题.

8．【答案】B

【解析】利用分离常数法，结合指数函数的性质，求得的取值范围.

详解：由于关于的不等式在区间上有解，

所以存在，使得，也即，

由于在上递增，当时，，

所以.

故选：B

【点睛】

本小题主要考查存在性问题的求解，属于基础题.

9．【答案】D

【解析】作出函数和的图象，观察图象可得结果.

详解：因为，所以等价于，

在同一直角坐标系中作出和的图象如图：

两函数图象的交点坐标为，

不等式的解为或.

所以不等式的解集为：.

故选：D.

【点睛】

本题考查了图象法解不等式，属于基础题.

10．【答案】C

【解析】解析式中的指数x+1=0求出x的值，再代入解析式求出y的值，即得到定点的坐标．

【详解】

由于函数y=ax经过定点（0，1），令x+1=0，可得x=﹣1，求得f（﹣1）=0，

故函数f（x）=ax+1﹣1（a＞0，a≠1），则它的图象恒过定点的坐标为（﹣1，0），

即函数f（x）=ax+1﹣1（a＞0，a≠1）图象恒过的定点构成的集合是

故{（﹣1，0）}，

故选C．

【点睛】

本题主要考查指数函数的图象过定点（0，1）的应用，即令解析式中的指数为0，求出对应的x和y的值，属于基础题．

11．【答案】A

【解析】由函数过点排除C．D，由A．B中的图知函数单调递减推出，当时即可判断.

详解：当时，排除答案C．D；

由A．B中的图知函数且单调递减，则，当时，所以正确选项为A.

故选：A

【点睛】

本题考查指数函数的图像与性质，属于基础题.

12．【答案】D

【解析】求得函数的定义域，并化简该函数的解析式，可判断A选项的正误；取特殊值可判断B．C选项的正误；利用函数的定义与奇偶性可判断D选项的正误.

详解：对于A选项，当时，函数的定义域为，

所以，函数的图象是两条射线，A选项错误；

对于B选项，幂函数不经过原点，B选项错误；

对于C选项，幂函数的图象关于原点对称，但函数在定义域内不单调，C选项错误；

对于D选项，由于幂函数在第一象限必有图象，若幂函数在第四象限有图象，与函数的定义矛盾，所以，幂函数的图象不可能在第四象限，

若幂函数为偶函数，则幂函数在第二象限有图象，D选项正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查幂函数定义与基本性质的判断，要注意对幂函数的指数进行分析，考查推理能力，属于基础题.

13．【答案】B

【解析】计算当时，，得到答案.

详解：，当时，，即函数图像恒过定点

故选：

【点睛】

本题考查了函数过定点问题，属于基础题型.

14．【答案】B

【解析】分和两种情况结合指数函数的单调性求解即可.

详解：当时，函数单调递增，则在上最大值与最小值之差为，解得.

当时，函数单调递减，则在上最大值与最小值之差为，得，无解.

所以

故选：B

【点睛】

本题考查指数函数的单调性和最值问题，属于基础题.

15．【答案】D

【解析】因为指数函数在区间上单调递减，反比例函数在区间上也单调递减，所以函数在区间[1，2]上单调递减，从而求出函数的最小值．

【详解】

∵指数函数在区间上单调递减，反比例函数在区间上也单调递减，

∴函数在区间上单调递减，

∴.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了指数函数，反比例函数的单调性，是基础题．

二．多选题

16．【答案】A

【解析】解指数不等式，要先化为同底数，再根据指数函数的单调性来求解．

详解：原不等式可得：，

在上单调递减，

，

，

．

故选：．

【点睛】

根据指数函数单调性来解不等式是常用的方法，但要注意底数相同．属于基础题.

17．【答案】A

【解析】由指数函数的性质可知,函数图象恒过,进而由图象求解即可

详解：由题,函数图象恒过点,由图象可得,即,

显然,函数单调递减,所以,

故选:A

【点睛】

本题考查指数函数的图象的应用,属于基础题

18．【答案】A

【解析】令，即可求出定点坐标；

详解：当，即时，，为常数，

此时，即点P的坐标为(－1，5).

故选：A.

【点睛】

本题考查指数型函数过定点，考查运算求解能力，属于基础题.