备战2023数学新中考二轮复习重难突破（江苏专用）专题10 反比例函数

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 重点分析反比例函数是中考命题热点之一，主要考查反比例函数的图象、性质及解析式的确定，考查形式以选择题、填空题为主，也经常与一次函数、二次函数及几何图形等知识综合考查．难点解读难点一、反比例函数的概念一般地，形如y＝或y＝kx－1(k是常数，k≠0)的函数叫做反比例函数．1．反比例函数y＝中的是一个分式，所以自变量x≠0，函数与x轴、y轴无交点．2．反比例函数解析式可以写成xy＝k(k≠0)，它表明在反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于已知常数k.难点二、反比例函数的图象与性质1．图象：反比例函数的图象是双曲线．2．性质：(1)当k＞0时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两支分别在二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．注意双曲线的两支和坐标轴无限靠近，但永远不能相交．(2)双曲线是轴对称图形，直线y＝x或y＝－x是它的对称轴；双曲线也是中心对称图形，对称中心是坐标原点．函数反比例函数解析式图象形状双曲线K>0位置第一、三象限增减性y随x的增大而减小K<0位置第二、四象限 增减性y随x的增大而增大难点三、反比例函数的应用1．利用待定系数法确定反比例函数解析式根据两变量之间的反比例关系，设出形如y＝的函数关系式，再由已知条件求出k的值，从而确定函数解析式2．反比例函数的实际应用解决反比例函数应用问题时，首先要找出存在反比例关系的两个变量，然后建立反比例函数模型，进而利用反比例函数的有关知识加以解决．真题演练1．（江苏省连云港市2021年中考数学真题）关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．甲：函数图像经过点；乙：函数图像经过第四象限；丙：当时，y随x的增大而增大．则这个函数表达式可能是（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据所给函数的性质逐一判断即可．【详解】解：A.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而减小．故选项A不符合题意；B.对于，当x=-1时，y=-1，故函数图像不经过点；函数图象分布在一、三象限；当时，y随x的增大而减小．故选项B不符合题意；C.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象分布在一、二象限；当时，y随x的增大而增大．故选项C不符合题意；D.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而增大．故选项D符合题意；故选：D【点睛】本题考查的是一次函数、二次函数以及反比例函数的性质，熟知相关函数的性质是解答此题的关键．2．（江苏省宿迁市2021年中考数学真题）已知双曲线过点(3，)、(1，)、(-2，)，则下列结论正确的是（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用分比例函数的增减性解答即可．【详解】解：∵∴当x＞0时，y随x的增大，且y＜0；当x＜0时，y随x的增大，且y＞0； ∵0＜1＜3，-2＜0∴y2＜y1＜0，y3＞0∴．故选A．【点睛】本题主要考查了反比例函数的增减性，掌握数形结合思想成为解答本题的关键．3．（江苏省无锡市2021年中考数学真题）一次函数的图象与x轴交于点B，与反比例函数的图象交于点，且的面积为1，则m的值是（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】先求出B的坐标，结合的面积为1和，列出方程，再根据在一次函数图像上，得到另一个方程，进而即可求解．【详解】∵一次函数的图象与x轴交于点B，∴B(-n，0)，∵的面积为1，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，∴，∴或，解得：n=-2或n=1或无解，∴m=2或-1（舍去），故选B．【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．4．（江苏省扬州市2021年中考数学试题）如图，点P是函数的图像上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数的图像于点C、D，连接、、、，其中，下列结论：①；②；③，其中正确的是（       ）A．①② B．①③ C．②③ D．①【答案】B【解析】【分析】设P（m，），分别求出A，B，C，D的坐标，得到PD，PC，PB，PA的长，判断和的关系，可判断①；利用三角形面积公式计算，可得△PDC的面积，可判断③；再利用计算△OCD的面积，可判断②．【详解】解：∵PB⊥y轴，PA⊥x轴，点P在上，点C，D在上，设P（m，），则C（m，），A（m，0），B（0，），令，则，即D（，），∴PC==，PD==，∵，，即，又∠DPC=∠BPA，∴△PDC∽△PBA，∴∠PDC=∠PBC，∴CD∥AB，故①正确；△PDC的面积===，故③正确；=====，故②错误；故选B．【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，k的几何意义，相似三角形的判定和性质，解题关键是表示出各点坐标，得到相应线段的长度．5．（江苏省南通市2021年中考数学试题）平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第一象限．设为双曲线上一点，直线，分别交y轴于C，D两点，则的值为（       ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】【分析】根据直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第一象限求得，，再根据为双曲线上一点求得；根据点A与点M的坐标求得直线AM解析式为，进而求得，根据点B与点M的坐标求得直线BM解析式为，进而求得，最后计算即可．【详解】解：∵直线与双曲线相交于A，B两点，∴联立可得：解得：或∵点A在第一象限，∴，．∵为双曲线上一点，∴．解得：．∴．设直线AM的解析式为，将点与点代入解析式可得：解得：∴直线AM的解析式为．∵直线AM与y轴交于C点，∴．∴．∴．∵，∴．设直线BM的解析式为，将点与点代入解析式可得：解得：∴直线BM的解析式为．∵直线BM与y轴交于D点，∴．∴．∴．∵，∴．∴=4．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，涉及到分式方程，一元二次方程和二元一次方程组的求解，正确求出点的坐标和直线解析式是解题关键．6．（江苏省徐州市2020年中考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】把P(，)代入两解析式得出和的值，整体代入即可求解C【详解】∵函数与的图像交于点P(，)，∴，，即，，∴．故选：C．【点睛】本题考查了代数式的求值以及反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式．7．（江苏省常州市2020年中考数学试题）如图，点D是内一点，与x轴平行，与y轴平行，．若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是（ ）A． B．4 C． D．6【答案】D【解析】【分析】作交BD的延长线于点E，作轴于点F，计算出AE长度，证明，得出AF长度，设出点A的坐标，表示出点D的坐标，使用，可计算出值．【详解】作交BD的延长线于点E，作轴于点F∵∴∴为等腰直角三角形∵∴，即∴DE=AE=∵BC=AO，且，∴∴∴∴设点A，∴解得：∴故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，利用点Ａ和点Ｄ表示出ｋ的计算是解题的关键．8．（江苏省苏州市2020年中考数学试题）如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（   ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据题意求出反比例函数解析式，设出点C坐标，得到点B纵坐标，利用相似三角形性质，用表示求出OA，再利用平行四边形的面积是构造方程求即可．【详解】解：如图，分别过点D、B作DE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F，延长BC交y轴于点H∵四边形是平行四边形∴易得CH=AF∵点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点∴ 即反比例函数解析式为∴设点C坐标为 ∵ ∴ ∴ ∴∴∴，点B坐标为∵平行四边形的面积是∴解得（舍去）∴点B坐标为故应选：B【点睛】本题是反比例函数与几何图形的综合问题，涉及到相似三角形的的性质、反比例函数的性质，解答关键是根据题意构造方程求解．9．（江苏省无锡市2020年中考数学试题）反比例函数与一次函数的图形有一个交点，则的值为（     ）A．1 B．2 C． D．【答案】C【解析】【分析】把点B坐标代入一次函数解析式，求出m的值，可得出B点坐标，把 B点的坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值．【详解】解：由题意，把B（，m）代入，得m=∴B（，）∵点B为反比例函数与一次函数的交点，∴k=x·y∴k=×=．故选：C．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟知一次函数反比例函数图像的交点坐标都适合两个函数解析式是解题关键．10．（江苏省徐州市2019年中考数学试题））若、都在函数的图象上，且，则（　　）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根据题意和反比例函数的性质可以解答本题．【详解】函数，该函数图象在第一、三象限、在每个象限内随的增大而减小，、都在函数的图象上，且 ，，故选A．【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．11．（江苏省淮安市2019年中考数学试题））当矩形面积一定时，下列图象中能表示它的长y和宽x之间函数关系的是（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】根据题意得到矩形面积（定值），故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x、y实际意义x、y应，其图象在第一象限；于是得到结论．【详解】∵根据题意矩形面积（定值），∴y是x的反比例函数，．故选B．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．12．（江苏省宿迁市2019年中考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，顶点落在轴的正半轴上，对角线、交于点，点、恰好都在反比例函数的图象上，则的值为（　　）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】【分析】利用菱形的性质, 根据正切定义即可得到答案.【详解】解：设，，∵点为菱形对角线的交点，∴，，，∴，把代入得，∴，∵四边形为菱形，∴，∴，解得，∴，在中，，∴．故选A．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于运用菱形的性质．13．（江苏省无锡市2019年中考数学试题）如图，已知A为反比例函数（<0）的图像上一点，过点A作AB⊥轴，垂足为B．若△OAB的面积为2，则k的值为（       ）A．2 B．-2 C．4 D．-4【答案】D【解析】【分析】设A点坐标为(m，n)，则有AB=-m，OB=n，继而根据三角形的面积公式以及反比例函数图象上点的坐标特征即可求得答案.【详解】设A点坐标为(m，n)，则有AB=-m，OB=n，∵S△ABO==2，∴，∴mn=-4，又∵点A在反比例函数(<0)的图象上，∴n=，∴k=mn=-4，故选D.【点睛】本题考查了反比例函数(k≠0)图象上点的坐标特征以及k的几何意义，熟练掌握相关内容是解题的关键.14．（江苏省扬州市2019年中考数学试题）若反比例函数的图象上有两个不同的点关于y轴的对称点都在一次函数y=-x+m的图象上，则m的取值范围是（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据题意可知反比例函数的图象上的点关于y轴的对称的点在函数上，由此可知反比例函数的图象与一次函数y=-x+m的图象有两个不同的交点，继而可得关于x的一元二次方程，再根据根的判别式即可求得答案.【详解】∵反比例函数上有两个不同的点关于y轴对称的点在一次函数y=-x+m图象上，∴反比例函数与一次函数y=-x+m有两个不同的交点，联立得，消去y得：，整理得：，∵有两个不同的交点∴有两个不相等的实数根，∴△=m2-8＞0，∴或，故选C.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握相关内容、正确理解题意是解题的关键.15．（江苏省无锡市2021年中考数学真题）请写出一个函数表达式，使其图象在第二、四象限且关于原点对称：________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据反比例函数图像和性质，直接写出答案即可．【详解】解：∵函数图象在第二、四象限且关于原点对称，∴函数可以是反比例函数且比例系数小于0，∴函数表达式可以是：（答案不唯一）．故答案是：（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查反比例函数的图像和性质，掌握反比例函数图像是中心对称图形，是解题的关键．16．（江苏省徐州市2021年中考数学真题）如图，点分别在函数的图像上，点在轴上．若四边形为正方形，点在第一象限，则的坐标是_____________．【答案】（2，3）【解析】【分析】根据正方形和反比例函数图像上点的坐标特征，设D点坐标为（m，），则A点坐标为（ ，），进而列出方程求解．【详解】解：∵四边形为正方形，∴设D点坐标为（m，），则A点坐标为（ ，），∴m-（）=，解得：m=±2（负值舍去），经检验，m=2是方程的解，∴D点坐标为（2，3），故答案是：（2，3）．【点睛】本题主要考查反比例函数与平面几何的综合，掌握反比例函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．17．（江苏省淮安市2021年中考数学真题）如图，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝图象相交于A、B两点，若点A的坐标是（3，2），则点B的坐标是___．【答案】（﹣3，﹣2）【解析】【分析】由于正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，所以A、B两点关于原点对称，由关于原点对称的点的坐标特点求出B点坐标即可．【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，∴A、B两点关于原点对称，∵A的坐标为（3，2），∴B的坐标为（﹣3，﹣2）．故答案为：（﹣3，﹣2）．【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.18．（江苏省南京市2021年中考数学试卷）如图，正比例函数与函数的图像交于A，B两点，轴，轴，则________．【答案】12【解析】【分析】先设出A点坐标，再依次表示出B、C两点坐标，求出线段BC和AC的表达式，最后利用三角形面积公式即可求解．【详解】解：设A（t，）,∵正比例函数与函数的图像交于A，B两点，∴B（-t，-）,∵轴，轴，∴C（t，-）,∴；故答案为：12．【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的图像与性质、用平面直角坐标系内点的坐标表示线段长、三角形面积公式等内容，解决本题的关键是抓住反比例函数和正比例函数都是中心对称图形，它们关于原点对称，能正确表示平面内的点的坐标，能通过坐标计算出线段长等．19．（江苏省宿迁市2021年中考数学真题）如图，点A、B在反比例函数的图像上，延长AB交轴于C点，若△AOC的面积是12，且点B是AC的中点，则 =__________．【答案】8【解析】【分析】由的面积为12，故作，设，即可表示的面积，再利用中点坐标公式表示B点坐标，利用B点在反比例图像上即可求解．【详解】解：作，设，的面积为12B点是AC中点B点坐标B点在反比例图像上又故答案是：8．【点睛】本题考查反比例函数的综合运用、中点坐标公式和设而不解的方程思想，属于中档难度的题型．解题的关键是设而不解的方程思想．此外设有两点，则的中点坐标是：．20．（江苏省宿迁市2020年中考数学试题）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若＝，△AOB的面积为6，则k的值为_____．【答案】6【解析】【分析】过点作轴于，则，由线段的比例关系求得和的面积，再根据反比例函数的的几何意义得结果．【详解】解：过点作轴于，则，，，的面积为6，，，的面积，根据反比例函数的几何意义得，，，，．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了反比例函数的的几何意义的应用，考查了相似三角形的性质与判定，关键是构造相似三角形．21．（江苏省南通市2020年中考数学试题）将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的纵坐标为b，则（a﹣1）（b+2）＝_____．【答案】-3【解析】【分析】由于一次函数y＝kx−2−k（k＞0）的图象过定点P（1，−2），而点P（1，−2）恰好是原点（0，0）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，因此将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx−2−k（k＞0）相交于两点，在平移之前是关于原点对称的，表示出这两点坐标，根据中心对称两点坐标之间的关系求出答案．【详解】解：一次函数y＝kx﹣2﹣k（k＞0）的图象过定点P（1，﹣2），而点P（1，﹣2）恰好是原点（0，0）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，因此将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，在没平移前是关于原点对称的，平移前，这两个点的坐标为为（a﹣1，），（，b+2），∴a﹣1＝﹣，∴（a﹣1）（b+2）＝﹣3，故答案为：﹣3．【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，理解平移之前，相应的两点关于原点对称是解决问题的关键．22．（江苏省盐城2020年中考数学试题）如图，已知点，直线轴，垂足为点其中，若与关于直线对称，且有两个顶点在函数的图像上，则的值为：_______________________．【答案】或【解析】【分析】因为与关于直线l对称，且直线轴，从而有互为对称点纵坐标相同，横坐标之和为2m，利用等量关系计算出m的值，又由于有两个顶点在函数，从而进行分情况讨论是哪两个点在函数上，求出k的值．【详解】解：∵与关于直线l对称，直线轴，垂足为点，∴，，∵有两个顶点在函数（1）设，在直线上，代入有，不符合故不成立；（2）设，在直线上，有，，，，代入方程后k=-6；（3）设，在直线上，有，，，，代入方程后有k=-4；综上所述，k=-6或k=-4；故答案为：-6或-4．【点睛】本题考查轴对称图形的坐标关系以及反比例函数解析式，其中明确轴对称图形纵坐标相等，横坐标之和为对称轴横坐标的2倍是解题的关键．23．（江苏省淮安市2020年中考数学试题）如图，等腰的两个顶点、在反比例函数（）的图象上，．过点作边的垂线交反比例函数（）的图象于点，动点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数（）图象上一点，则__________．【答案】1【解析】【分析】由，，得到是等腰三角形，CD是AB的垂直平分线，即CD是反比例函数的对称轴，直线CD的关系式是，根据A点的坐标是，代入反比例函数，得反比例函数关系式为，在根据直线CD与反比例函数（）的图象于点，求得点的坐标是（-2，-2），则，根据点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数图象上，得到，则P点的坐标是（1，1），将P（1，1）代入反比例函数，得．【详解】解：如图示，AB与CD相交于E点，P在反比例函数（）图象上，∵，，∴是等腰三角形，CD是AB的垂直平分线，∴CD是反比例函数的对称轴，则直线CD的关系式是，∵A点的坐标是，代入反比例函数，得则反比例函数关系式为又∵直线CD与反比例函数（）的图象于点，则有，解之得：（D点在第三象限），∴D点的坐标是（-2，-2），∴，∵点从点出发，沿射线方向运动个单位长度，到达反比例函数图象上，∴，则P点的坐标是（1，1）（P点在第一象限），将P（1，1）代入反比例函数，得，故答案为：1．【点睛】本题考查了用待定系数法求出反比例函数，反比例函数的对称性和解二元一次方程组的应用，熟悉相关性质是解此题的关键．