备战2023数学新中考二轮复习重难突破（广东专用）专题06 一元二次方程

重点分析

一、一元二次方程

1.一元二次方程

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式

，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项.

3.一元二次方程的解法

（1）直接开平方法

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如的一元二次方程.根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根.

（2）配方法

配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有.

（3）公式法

公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.

一元二次方程的求根公式：

（4）因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法.

4.一元二次方程根的判别式 

一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即

（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；

（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.

要点：

利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况.

5. 一元二次方程根的判别式的逆用    

在方程中，

（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；

（2）方程有两个相等的实数根=0；

（3）方程没有实数根﹤0.

要点：

（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；

（2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0.

6.一元二次方程的根与系数的关系

如果一元二次方程的两个实数根是，

那么，.

注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.

7.一元二次方程的根与系数的关系的应用

    (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；

    (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；

    (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：

①；

②；

③；

④；

⑤；

⑥；

⑦；

⑧；

⑨；

⑩．

(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；

以两个数为根的一元二次方程是.

(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；

（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.

设一元二次方程的两根为、，则

①当△≥0且时，两根同号．

当△≥0且，时，两根同为正数；

当△≥0且，时，两根同为负数．

②当△＞0且时，两根异号．

     当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；

当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．

8、列一元二次方程解应用题的一般步骤

（1）利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.

（2）解决应用题的一般步骤：

　　　审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；

　　　设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；

　　　列(根据题目中的等量关系，列出方程)；

　　　解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；

验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）

　　　答(写出答案，切忌答非所问).

要点：

列方程解实际问题的三个重要环节：

　　　一是整体地、系统地审题；

　　　二是把握问题中的等量关系；

　　　三是正确求解方程并检验解的合理性.

难点解读

一元二次方程应用题的主要类型

1.数字问题

(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、

　　　 千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字

只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用

其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位

数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：

　　　　　 100c+10b+a.

　　(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.

　　　 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.

　　　 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.

　　　 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.

2.平均变化率问题

　　列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.

(1)增长率问题：

　　平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)

(2)降低率问题：

　　平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)

3.利息问题

(1)概念：

　　本金：顾客存入银行的钱叫本金.

　　利息：银行付给顾客的酬金叫利息.

　　本息和：本金和利息的和叫本息和.

　　期数：存入银行的时间叫期数.

　　利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.

(2)公式:

　　利息=本金×利率×期数

　　利息税=利息×税率

　　本金×(1+利率×期数)=本息和

　　本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)

4.利润(销售)问题

　　利润(销售)问题中常用的等量关系：

　　利润=售价-进价(成本)

　　总利润=每件的利润×总件数

5.形积问题

　　此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.

6.传播问题 设平均一个人传染了x个人．则第一轮后共有（1+x）个人患了流感，第二轮后共有[1+x+x(1+x) ]个人患了流感.

7.计数（握手问题） 例：要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？

设应邀请x个球队参加比赛，可得到

方程可化为x2－x－30=0

解得 x1=6,    x2=－5     (舍去)

所以应邀请6个球队参加比赛.

真题演练

1．（2021·广东广州·中考真题）方程 x2-4x=0的实数解是 ____．

【答案】x1=0，x2=4．

【分析】

方程利用因式分解法求出解即可．

【解析】

解：方程x2-4x=0，

分解因式得：x（x-4）=0，

可得x=0或x-4=0，

解得：x1=0，x2=4．

故答案为：x1=0，x2=4．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

2．（2019·广东省广州市中考）关于x的一元二次方程有两个实数根，，则k的值（  ）

A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．2

【答案】D

【分析】

将化简可得，，

利用韦达定理，，解得，k＝±2，由题意可知△＞0，

可得k＝2符合题意.

【详解】

解：由韦达定理，得：

＝k－1，,

由，得：

，

即，

所以，,

化简，得：，

解得：k＝±2，

因为关于x的一元二次方程有两个实数根，

所以，△＝＝〉0，

k＝－2不符合，

所以，k＝2

故选D.

【点睛】

本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.

3．（2020·广州市模拟）已知、是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是(   )

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系逐一进行分析即可.

【详解】

x1、x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，

这里a=1，b=-2，c=0，

b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，

所以方程有两个不相等的实数根，即，故A选项正确，不符合题意；

，故B选项正确，不符合题意；

，故C选项正确，不符合题意；

，故D选项错误，符合题意，

故选D.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根的判别式，根的意义，根与系数的关系等，熟练掌握相关知识是解题的关键.

4．（2020·广东省韶关市中考）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．

【详解】

∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，

∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，

∴m＜，

故选A．

【点睛】

本题考查了根的判别式，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系，即：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．

5．（2020·广东省中考）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）

A．m＜94    B．m≤94    C．m＞94    D．m≥94

【答案】A

【解析】

【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．

【详解】∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，

∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×m＞0，

∴m＜94，

故选A．

【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．

6．（2020·广东省广州市模拟）关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是(    )

A．q<16 B．q>16

C．q≤4 D．q≥4

【答案】A

【解析】

∵关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，

∴△>0，即82-4q>0，

∴q<16，

故选 A.

7．（2020·广东中考真题）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

试题分析：根的判别式为△＝，解得：.故选答案A.

考点：一元二次方程根的判别式的性质

8．（2020·广东佛山市模拟）若方程x2+kx﹣2＝0的一个根是﹣2，则k的值是（　　）

A．﹣1 B．1 C．0 D．﹣2

【答案】B

【分析】

直接把x＝﹣2代入方程x2+kx﹣2＝0求解即可．

【详解】

把x＝﹣2代入方程x2+kx﹣2＝0得（﹣2）2﹣2k﹣2＝0，

解得k＝1．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的根，正确理解一元二次方程根的概念是解题的关键．

9．（2020·广东省东莞市模拟）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（　　）

A．2 B．0 C．1 D．2或0

【答案】B

【解析】

设方程的两根为x1，x2，
根据题意得x1+x2=0，
所以a2-2a=0，解得a=0或a=2，
当a=2时，方程化为x2+1=0，△=-4＜0，故a=2舍去，
所以a的值为0．
故选B．

10．（2020·广东省深圳市模拟）关于的方程有实数根，则满足（    ）

A． B．且 C．且 D．

【答案】A

【分析】

分类讨论：当a=5时，原方程变形一元一次方程，有一个实数解；当a≠5时，根据判别式的意义得到a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，然后综合两种情况即可得到满足条件的a的范围．

【详解】

当a=5时，原方程变形为-4x-1=0，解得x=-；

当a≠5时，△=（-4）2-4（a-5）×（-1）≥0，解得a≥1，即a≥1且a≠5时，方程有两个实数根，

所以a的取值范围为a≥1．

故选A．

【点睛】

本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．

11．（2020·广州市佛山市三水区模拟）三角形两边长分别为3和6，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是（ ）

A．11 B．13 C．11或13 D．不能确定

【答案】B

【解析】

试题分析：分解因式得：，可得或，解得：，，

当时，三边长为2，3，6，不能构成三角形，舍去；

当时，三边长分别为3，4，6，此时三角形周长为3+4+6=13．故选B．

考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系．

12．（2020·广东佛山市模拟）关于的一元二次方程式，下列结论一定正确的是（    ）

A．该方程有两个相等的实数根 B．该方程有两个不相等的实数根

C．该方程没有实数根 D．无法确定

【答案】B

【分析】

直接计算根的判别式可得出结论.

【详解】

该方程，

∵

∴

故该方程有两个不相等的实数根，故选B.

【点睛】

本题考查利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，需要熟练掌握：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根.

13．（2020·广东省三模）等腰两边的长分别是一元二次方程的两个解，则这个等腰三角形的周长是_________

【答案】7或8

【解析】

试题解析：解方程x2-5x+6=0得x1=2，x2=3，

当2是腰时，2+2＞3，可以构成三角形，周长为7；

当3是腰时，3+2＞3，可以构成三角形，周长为8；

所以周长是7或8．

【方法点睛】可先解出x的值，然后根据等腰可知三角形三边为2，2，3或3，3，2，然后看两组数是否符合三角形的性质，最后解出周长的值．本题运用的是数形结合的解题方法，学生应该对x的值进行讨论，根据三角形的性质（a-b＜c＜a+b）来判断x的取值是否满足题意．

14．（2020·广东省模拟）2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

设参赛队伍有x支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛380场，可列出方程．

【详解】

设参赛队伍有x支，根据题意得：

x（x﹣1）=380．

故选B．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．

15．（2020·广东省深圳市模拟）在一幅长60dm宽40dm的庆祝建国70周年宣传海报四周镶上相同宽度的金色纸片制成一幅矩形挂图．要使整个挂图的面积为2800dm2，设纸边的宽为xdm，则可列出方程为（　　）

A．x2+100x﹣400＝0 B．x2﹣100x﹣400＝0

C．x2+50x﹣100＝0 D．x2﹣50x﹣100＝0

【答案】C

【分析】

如果设纸边的宽为xcm，那么挂图的长和宽应该为（40+2x）和（60+2x），根据总面积即可列出方程．

【详解】

解：设纸边的宽为xcm，那么挂图的长和宽应该为（60+2x）和（40+2x），

根据题意可得出方程为：（60+2x）（40+2x）＝2800，

整理得：x2+50x﹣100＝0，

故选：C．

【点睛】

此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟知面积的公式.

16．（2020·广东省深圳市模拟）某建材销售公司在2019年第一季度销售两种品牌的建材共126件，种品牌的建材售价为每件6000元，种品牌的建材售价为每件9000元.

（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售种品牌的建材多少件？

（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将种品牌的建材在上一个季度的基础上下调，种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，种品牌的建材的销售量增加了，种品牌的建材的销售量减少了，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加，求的值.

【答案】（1）至多销售品牌的建材56件;(2)的值是30.

【分析】

（1）设销售品牌的建材件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；

（2）根据题意列出方程求解即可.

【详解】

（1）设销售品牌的建材件.

根据题意，得，

解这个不等式，得，

答：至多销售品牌的建材56件.

（2）在（1）中销售额最低时，品牌的建材70件，

根据题意，得

，

令，整理这个方程，得，

解这个方程，得，

∴（舍去），，

即的值是30.

【点睛】

本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．