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数学必修 第一册3.1 对数函数的概念当堂检测题
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这是一份数学必修 第一册3.1 对数函数的概念当堂检测题
【优编】3.1 对数函数的概念-2随堂练习一．填空题1．函数的定义域为______.2．函数的图象必过定点_________.3．若函数且在上的最大值为，最小值为，函数在上是增函数，则的值是______．4．函数的单调递增区间是__________．5．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是___________．6．设函数则不等式的解为___. 7．若，则的定义域为___________.8．函数，的反函数是____.9．有以下结论：①将函数的图象向右平移1个单位得到的图象；②函数与的图象关于直线y=x对称③对于函数(>0,且)，一定有④函数的图象恒在轴上方.其中正确结论的序号为_________.10．若，则实数的取值范围是________11．已知函数的图象过定点，则________.12．函数在区间上为单调递减函数，则实数的取值范围为___________.13．如图所示，已知函数图象上的两点．和函数上的点，线段平行于轴，三角形为正三角形时，设点的坐标为，则的值为________．14．函数的单调递增区间是______.15．函数的值域是________. 参考答案与试题解析1．【答案】【解析】分析：根据对数型复合函数定义域可得：，解不等式即可求解.详解：由，则，解得，所以函数的定义域为.故答案为：2．【答案】【解析】分析：当对数的真数为1时，函数值与底数无关，由此求得定点的坐标.详解：令，得，又，所以函数图象必过定点.故答案为：.【点睛】本题考查对数型函数的图象过定点问题，主要是根据1的对数与底数无关，恒为零，得到.3．【答案】1【解析】分析：根据对数函数的单调性，分类讨论，再结合已知进行求解即可.详解：当时，函数是正实数集上的增函数，而函数在上的最大值为，因此有，所以，此时在上是增函数，符合题意，因此；当时，函数是正实数集上的减函数，而函数在上的最大值为，因此有，所以，此时在上是减函数，不符合题意.故答案为：14．【答案】【解析】分析：求出函数的定义域，利用复合函数法可求得函数的单调递增区间.详解：对于函数，有，解得或.所以，函数的定义域为，内层函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，外层函数为减函数，所以，函数的单调递增区间为.故答案为：.【点睛】复合函数的单调性规律是“同则增，异则减”，即与.若具有相同的单调性，则为增函数，若具有不同的单调性，则必为减函数．5．【答案】，．【解析】分析：把函数在区间上单调递增，转化为内函数在区间上单调递增且恒大于0.由此得到关于的不等式组求解．详解：在区间上单调递增，所以要使函数在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增且恒大于0.即函数的对称轴小于等于2，且在区间上的最小值恒大于0，即．实数的取值范围是，．故答案为：，．【点睛】方法点睛：判断复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”．6．【答案】【解析】分析：根据函数，求得，然后由利用对数函数的单调性求解.详解：因为函数，所以，所以，所以，所以不等式，即为，所以，即，解得，故答案为7．【答案】【解析】分析：由分式．对数函数的性质有，求解集即可.详解：由题意知：，解得且，∴的定义域为.故答案为：.8．【答案】【解析】分析：先求原函数的值域，再利用反函数的求法求解.详解：因为，所以，所以，转化为指数式得：，所以函数的反函数是故答案为：9．【答案】②③④【解析】分析：①根据图象的平移规律，直接判断选项；②根据指对函数的对称性，直接判断；③根据指数函数的图象特点，判断选项；④先求的范围，再和0比较大小.详解：①根据平移规律可知的图象向右平移1个单位得到的图象，所以①不正确；②根据两个函数的对称性可知函数与的图象关于直线y=x对称，正确；③如下图，设，对应的是曲线上横坐标为的点的纵坐标，是线段的中点的纵坐标，由图象可知，同理，当时，结论一样，故③正确；④根据函数的单调性可知，所以函数的图象恒在轴上方，故④正确.故答案为：②③④【点睛】思路点睛：1.图象平移规律是“左＋右－”，相对于自变量来说，2.本题不易判断的就是③，首先理解和的意义，再结合图象判断正误.10．【答案】【解析】分析：本题考查对数函数的性质，涉及基本不等式，由基本不等式得，进而判定函数的单调性，从而确定的范围.详解：由基本不等式得，且∵a≠1，∴“等号”不能取到，∴，若,则为单调递增函数，于是，与矛盾；若,则是单调递减函数，此时，满足，故答案为.【点睛】注意基本不等式取等号的条件在这里不成立，从而得到，然后分类讨论，看是否满足题意.11．【答案】4【解析】分析：根据题意，令对数的真数等于1，求出定点坐标，从而得出的值，从而得出结果.详解：解：由题可知，函数的图象过定点，令，得，此时，函数的图象过定点，，则.故答案为：4.12．【答案】【解析】分析：根据复合函数的单调性及函数的定义域建立不等式组求解即可.详解：因为函数开口向下，对称轴是直线,所以要使函数在区间 内单调递减，需有且,解得 ．故答案为：【点睛】方法点睛：复合函数单调性，运用口诀“同增异减”即内外两层函数单调性相同，则该函数为单调递增函数，若内外两层单调性相反即一个单调递增另一个单调递减，则该函数为单调递减函数．本题中对数函数是以2为底数，所以问题等价于函数在区间内恒大于零且单调递减，从而求解．13．【答案】4【解析】分析：将点坐标代入，化简整理，即可得出结果.详解：因为点在函数的图象上，所以，则，所以.故答案为：14．【答案】【解析】分析：先由函数解析式求出定义域，再根据复合函数单调性的判定方法，即可得出单调递增区间.详解：由可得，解得或，即函数的定义域为，令，，因为是开口向上，对称轴为的二次函数，所以在上单调递减，在上单调递增；又对数函数是减函数，根据复合函数同增异减的原则，可得的单调递增区间是.故答案为：.15．【答案】【解析】分析：求出函数的定义域，利用换元法结合二次函数以及对数函数的性质，可求出函数的值域．详解：由，解得，即函数的定义域为令，则，即函数的值域是故答案为：
【优编】3.1 对数函数的概念-2随堂练习一．填空题1．函数的定义域为______.2．函数的图象必过定点_________.3．若函数且在上的最大值为，最小值为，函数在上是增函数，则的值是______．4．函数的单调递增区间是__________．5．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是___________．6．设函数则不等式的解为___. 7．若，则的定义域为___________.8．函数，的反函数是____.9．有以下结论：①将函数的图象向右平移1个单位得到的图象；②函数与的图象关于直线y=x对称③对于函数(>0,且)，一定有④函数的图象恒在轴上方.其中正确结论的序号为_________.10．若，则实数的取值范围是________11．已知函数的图象过定点，则________.12．函数在区间上为单调递减函数，则实数的取值范围为___________.13．如图所示，已知函数图象上的两点．和函数上的点，线段平行于轴，三角形为正三角形时，设点的坐标为，则的值为________．14．函数的单调递增区间是______.15．函数的值域是________. 参考答案与试题解析1．【答案】【解析】分析：根据对数型复合函数定义域可得：，解不等式即可求解.详解：由，则，解得，所以函数的定义域为.故答案为：2．【答案】【解析】分析：当对数的真数为1时，函数值与底数无关，由此求得定点的坐标.详解：令，得，又，所以函数图象必过定点.故答案为：.【点睛】本题考查对数型函数的图象过定点问题，主要是根据1的对数与底数无关，恒为零，得到.3．【答案】1【解析】分析：根据对数函数的单调性，分类讨论，再结合已知进行求解即可.详解：当时，函数是正实数集上的增函数，而函数在上的最大值为，因此有，所以，此时在上是增函数，符合题意，因此；当时，函数是正实数集上的减函数，而函数在上的最大值为，因此有，所以，此时在上是减函数，不符合题意.故答案为：14．【答案】【解析】分析：求出函数的定义域，利用复合函数法可求得函数的单调递增区间.详解：对于函数，有，解得或.所以，函数的定义域为，内层函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，外层函数为减函数，所以，函数的单调递增区间为.故答案为：.【点睛】复合函数的单调性规律是“同则增，异则减”，即与.若具有相同的单调性，则为增函数，若具有不同的单调性，则必为减函数．5．【答案】，．【解析】分析：把函数在区间上单调递增，转化为内函数在区间上单调递增且恒大于0.由此得到关于的不等式组求解．详解：在区间上单调递增，所以要使函数在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增且恒大于0.即函数的对称轴小于等于2，且在区间上的最小值恒大于0，即．实数的取值范围是，．故答案为：，．【点睛】方法点睛：判断复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”．6．【答案】【解析】分析：根据函数，求得，然后由利用对数函数的单调性求解.详解：因为函数，所以，所以，所以，所以不等式，即为，所以，即，解得，故答案为7．【答案】【解析】分析：由分式．对数函数的性质有，求解集即可.详解：由题意知：，解得且，∴的定义域为.故答案为：.8．【答案】【解析】分析：先求原函数的值域，再利用反函数的求法求解.详解：因为，所以，所以，转化为指数式得：，所以函数的反函数是故答案为：9．【答案】②③④【解析】分析：①根据图象的平移规律，直接判断选项；②根据指对函数的对称性，直接判断；③根据指数函数的图象特点，判断选项；④先求的范围，再和0比较大小.详解：①根据平移规律可知的图象向右平移1个单位得到的图象，所以①不正确；②根据两个函数的对称性可知函数与的图象关于直线y=x对称，正确；③如下图，设，对应的是曲线上横坐标为的点的纵坐标，是线段的中点的纵坐标，由图象可知，同理，当时，结论一样，故③正确；④根据函数的单调性可知，所以函数的图象恒在轴上方，故④正确.故答案为：②③④【点睛】思路点睛：1.图象平移规律是“左＋右－”，相对于自变量来说，2.本题不易判断的就是③，首先理解和的意义，再结合图象判断正误.10．【答案】【解析】分析：本题考查对数函数的性质，涉及基本不等式，由基本不等式得，进而判定函数的单调性，从而确定的范围.详解：由基本不等式得，且∵a≠1，∴“等号”不能取到，∴，若,则为单调递增函数，于是，与矛盾；若,则是单调递减函数，此时，满足，故答案为.【点睛】注意基本不等式取等号的条件在这里不成立，从而得到，然后分类讨论，看是否满足题意.11．【答案】4【解析】分析：根据题意，令对数的真数等于1，求出定点坐标，从而得出的值，从而得出结果.详解：解：由题可知，函数的图象过定点，令，得，此时，函数的图象过定点，，则.故答案为：4.12．【答案】【解析】分析：根据复合函数的单调性及函数的定义域建立不等式组求解即可.详解：因为函数开口向下，对称轴是直线,所以要使函数在区间 内单调递减，需有且,解得 ．故答案为：【点睛】方法点睛：复合函数单调性，运用口诀“同增异减”即内外两层函数单调性相同，则该函数为单调递增函数，若内外两层单调性相反即一个单调递增另一个单调递减，则该函数为单调递减函数．本题中对数函数是以2为底数，所以问题等价于函数在区间内恒大于零且单调递减，从而求解．13．【答案】4【解析】分析：将点坐标代入，化简整理，即可得出结果.详解：因为点在函数的图象上，所以，则，所以.故答案为：14．【答案】【解析】分析：先由函数解析式求出定义域，再根据复合函数单调性的判定方法，即可得出单调递增区间.详解：由可得，解得或，即函数的定义域为，令，，因为是开口向上，对称轴为的二次函数，所以在上单调递减，在上单调递增；又对数函数是减函数，根据复合函数同增异减的原则，可得的单调递增区间是.故答案为：.15．【答案】【解析】分析：求出函数的定义域，利用换元法结合二次函数以及对数函数的性质，可求出函数的值域．详解：由，解得，即函数的定义域为令，则，即函数的值域是故答案为：
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