2021-2022学年河北省邢台市卓越联盟高一（下）第二次月考数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年河北省邢台市卓越联盟高一（下）第二次月考数学试卷

1.  下列命题正确的是(    )

A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C. 正六棱锥的侧棱和底面边长一定不相等
D. 棱柱的侧面都是全等的平行四边形

2.  下列说法中正确的是(    )

A. 如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行
B. 平面内的三个顶点到平面的距离相等，则与平行
C. ，，则
D. ，，，则

3.  若一个平面图形的直观图是边长为1的正方形，则该平面图形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  上、下底面面积分别为和，母线长为的圆台，其两底面之间的距离为(    )

A. 4 B.  C.  D.

5.  已知复数，在复平面内对应的点分别为，，若是纯虚数，则(    )

A.  B.  C.  D. 2

6.  已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(    )

A. 2 B.  C. 4 D.

7.  过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则圆柱的侧面积是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知菱形ABCD的边长为，，将沿BD折起，使A，C两点的距离为，则所得三棱锥的外接球的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  在中，，，，则角A的可能取值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  长方体的长、宽、高分别为3，2，1，则(    )

A. 长方体的表面积为20
B. 长方体的体积为6
C. 沿长方体的表面从A到的最短距离为
D. 沿长方体的表面从A到的最短距离为

11.  若复数z满足其中i是虚数单位，复数z的共轭复数为，则(    )

A. z的实部是 B. z的虚部是
C. 复数在复平面内对应的点在第一象限 D.

12.  “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体，已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有(    )

A. 该半正多面体的体积为
B. 该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为
C. 该半正多面体外接球的表面积为
D. 该半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E满足关系式

13.  若复数，则实数m的值为______.

14.  如图，在矩形ABCD中，，点E为BC的中点，若，则______.

15.  已知圆锥的母线与底面半径之比为3，若一只蚂蚁从该圆锥底部上的E一点A绕圆锥侧面爬行一周再回到A点的最短距离为9，则该圆锥的轴截面面积为______.

16.  设复数z满足，则的取值范围是______.

17.  已知，，
求与的夹角；
求

18.  复数，
若z为纯虚数，求m的值；
复数在复平面内对应的点在第一象限，求m范围．

19.  已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为
求圆锥的底面积；
在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的高．

20.  如图，已知在长方体中，，，点E是的中点.
求证：平面EBD；
求三棱锥的体积.

21.  已知a、b、c是的内角A，B，C的对边，且的面积，记，，若
求角C；
若，求的值．

22.  如图所示正四棱锥，，，P为侧棱SD上的点，且，求：
正四棱锥的表面积；
侧棱SC上是否存在一点E，使得平面若存在，求的值；若不存在，试说明理由．

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：
有两个面平行，其余各面有相邻的公共边且都相互平行的平行四边形的几何体叫棱柱，如图所示A、B都不正确．

棱柱的侧面不一定是全等的平行四边形，D错；故C正确．
故选：
根据棱柱的定义及结构特点，分别判断四个选项即可．
本题考查了棱柱的定义及结构特点，要有一定的空间想象能力，属于基础题．
 

2.【答案】D 

【解析】解：对于A，如果一条直线与一个平面平行，
那么这条直线与平面内的任意一条直线平行或异面，故A错误；
对于B，平面内的三个顶点到平面的距离相等，则与平行或相交，故B错误；
对于C，，，则或，故C错误；
对于D，，，，则由线面平行的判定定理得，故D正确．
故选：
对于A，这条直线与平面内的任意一条直线平行或异面；对于B，与平行或相交；对于C，或；对于D，由线面平行的判定定理得
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力能力，是中档题．
 

3.【答案】B 

【解析】解：一个平面图形的直观图是边长为1的正方形，结合斜二测法可知：直观图面积为平面图形面积的，
平面图形的面积为
故选：
利用直观图面积为平面图形面积的，计算即可．
本题考查直观图的面积公式，属于基础题．
 

4.【答案】A 

【解析】解：画出圆台的轴截面，如图所示：
设圆台的母线长为l、高为h，上、下两底面圆的半径分别为r，R，
因为上、下底面面积分别为和，所以，，
因为，
即，
解得，
所以两底面之间的距离为
故选：
画出圆台的轴截面，求出圆台的上、下底面圆的半径，利用勾股定理求出两底面间的距离．
本题考查了圆台的结构特征与应用问题，是基础题．
 

5.【答案】A 

【解析】解：复数，在复平面内对应的点分别为，，
，，
，
是纯虚数，

故选：
根据已知条件，结合复数的几何意义，求出，，再结合复数的四则运算和纯虚数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，以及复数的四则运算和纯虚数的定义，属于基础题．
 

6.【答案】B 

【解析】解：由题意，设母线长为l，
因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，
则有，解得，
所以该圆锥的母线长为
故选：
设母线长为l，利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，列出方程，求解即可．
本题考查了旋转体的理解和应用，解题的关键是掌握圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
 

7.【答案】B 

【解析】解：如图所示，过圆柱的上，下底面圆圆心的平面截圆柱所得的截面是正方形ABCD，其面积为16，
所以边长，
所以底面圆的半径为，侧棱长为，
所以圆柱的侧面积为
故选：
根据题意求出圆柱底面圆的半径和侧棱长，再计算圆柱的侧面积．
本题考查了圆柱的结构特征与侧面积计算问题，是基础题．
 

8.【答案】B 

【解析】解：由已知可得为等边三角形，
对角线，
将沿BD折起，使A，C两点的距离为，
折起后三棱锥为正四面体，各棱长都是，
将此正四面体放置在正方体中，使得正方体的面对角线是正四面体的棱，如图：

设正方体的棱长为a，则正方体的面对角线为，
所以正方体的体对角线为，其中R为正方体的外接球半径，
由于正方体的外接球就是正四面体ABCD的外接球，
正四面体ABCD的外接球表面积为
故选：
由题可判断折起后的三棱锥为正四面体，将此正四面体放置在正方体中，使得正方体的面对角线是正四面体的棱，所以三棱锥的外接球为正方体的外接球，.
本题考查了球的表面积计算问题，涉及球与三棱锥和正方体的关系，属于中档题．
 

9.【答案】AC 

【解析】解：由余弦定理，得，即，解得或
当时，此时为等腰三角形，，所以；
当时，，此时为直角三角形，所以
故选：
由已知利用余弦定理可求BC的值，进而利用等腰三角形的性质及勾股定理即可求解．
本题考查余弦定理解三角形，考查学生分类讨论思想，数学运算能力，是一道容易题．
 

10.【答案】BC 

【解析】解：长方体的表面积为，故选项A错误；
长方体的体积为，故选项B正确；
如图所示，在长方体中，设，，，
求表面上两点间最短长距离，可把几何体展开成平面图形，
如图所示，将侧面和侧面展开，则有，
即经过侧面和侧面时的最短距离为；
如图所示，将侧面和底面展开，则，
即经过侧面和底面时的最短距离为；
如图所示，将侧面和底面展开，则，
即经过侧面和底面时的最短距离为，
因为，
所以沿着长方体表面由A到的最短距离是，故选项C正确，选项D错误．
故选：
由题意，利用长方体的表面积公式和体积公式进行计算，即可判断选项A，B，沿表面最短距离可将临近的两个侧面展开，利用平面图形进行计算，即可判断选项C，
本题考查了多面体和旋转体表面上的最短距离问题，解决此类问题的方法是：折线或曲线的最值问题，通常沿着多面体的棱或旋转体的母线展开成平面图形或曲面，结合平面图形求解．
 

11.【答案】ACD 

【解析】解：，
，
的实部为，故A正确，
z的虚部为，故B错误，
复数在复平面内对应的点在第一象限，故C正确，
，故D正确．
故选：
根据已知条件，先对z化简，再结合实部，虚部，共轭复数的定义，以及复数的几何意义和复数模公式，即可求解．
本题主要考查实部，虚部，共轭复数的定义，以及复数的几何意义和复数模公式，属于基础题．
 

12.【答案】ABD 

【解析】解：如图，

“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美，
如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体，
该半正多面体，是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，
对于A，因为由正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该几何体的体积为：，故正确；
对于B，过A，B，C三点的截面为正六边形ABCFED，所以，故正确．
对于C，根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为，侧棱长为2的正四棱柱的外接球，所以该半正多面体外接球的表面积，故错误；
对于D，几何体顶点数为12，有14个面，24条棱，满足，故正确．
故选：
根据几何体的构成可判断A，由截面为正六边形可求面积判断B，根据外接球为正四棱柱的外接球即可判断C，根据顶点，面数，棱数判断
本题考查了半正多面体的综合应用，属于中档题．
 

13.【答案】4 

【解析】解：复数，
，解得
故答案为：
由题意知为实数，实部大于或等于0，虚部等于0，即可求解．
本题主要考查实数的定义，属于基础题．
 

14.【答案】14 

【解析】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立如图所示直角坐标系，

，点E为BC的中点，，
，，，，，，
，，

故答案为：
根据已知条件，建立如图所示直角坐标系，分别求出各点的坐标，再结合向量的数量积公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数据量公式，考查转化能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：圆锥的侧面展开图为扇形，如图所示，

设侧面展开图的圆心角，则，
由已知得，联立解得，
从该圆锥底部上的一点A绕圆锥侧面爬行一周再回到A点的最短距离为AB，则，
则在等腰中，易得，则，
圆锥轴截面为以母线l为䁏，2r为底边的等腰三角形，其底边上高为，
轴截面面积为
故答案为：
将圆锥侧面沿过A的母线展开，设所得扇形的圆弧一端为A，另外一端为B，则弦，根据圆锥的母线与底面半径之比为3可求展开扇形的圆心角，从而可求出母线和圆锥底面半径，根据几何关系即可求出圆锥轴截面的面积．
本题考查了圆锥轴截面的面积计算，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：在复平面内，，
则复数z表示以，为端点的一条线段，
又表示在复平面内Z到点的距离，
则的最小值为1，最大值为，
故的取值范围为
故答案为：
根据已知条件先求出复数z表示以，为端点的一条线段，再结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，考查转化能力，属于基础题．
 

17.【答案】解：，，，
，即，
，
，
 

【解析】将已知等式展开化简，可得的值，再由向量数量积的夹角公式求解即可；
由，展开运算，即可得解．
本题考查平面向量的混合运算，熟练掌握平面向量数量积的运算法则，模长的计算方法是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：为纯虚数，
，解得
，
，
复数在复平面内对应的点在第一象限，
则，且，解得，
故m的取值范围为 

【解析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查纯虚数和共轭复数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
 

19.【答案】解：圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为，沿母线AB剪开，侧展图如图所示：

设，在半圆中，，弧长，这是圆锥的底面周长，
所以，
所以，故圆锥的底面积为：；
设圆柱的高，，
在中，，
∽，所以，即，，
故圆柱侧面积为：，
所以，当，时，圆柱的侧面积最大． 

【解析】根据展开图扇形的弧长即为底面圆的周长求出底面圆的半径，即可求出圆锥的底面积；
设圆柱的高，，根据三角形相似得到，即可表示出圆柱的侧面积，根据二次函数的性质求出面积最大值，圆柱的高即可求出．
本题考查圆锥、圆柱的侧面积和表面积，属于基础题．
 

20.【答案】解：证明：连接AC，设，则O为AC的中点，连接EO，
又是的中点，，
又面EBD，面EBD，
平面EBD；
在长方体中，
，，E是的中点，

 

【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是基础题．
连接AC，设，连接EO，可得，再由直线与平面平行的判定可得平面EBD；
利用等体积法求三棱锥的体积．
 

21.【答案】解：，，，
，
由正弦定理得：，
，
，
，
，，
因为，所以
的面积，
，得，
由余弦定理得：，
即，
，
，
又因为，所以的值为 

【解析】根据可得，利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角关系结合三角恒等变换求得，即可得解；
根据三角形的面积公式结合余弦定理得出a，b的关系式，从而可得出答案．
本题考查三角形的正弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．
 

22.【答案】正四棱锥中，

，，
侧面的高
正四棱锥的表面积
在侧棱SC上存在一点E，使平面PAC，满足
理由如下：
取SD中点为Q，因为，则，
过Q作PC的平行线交SC于E，连接BQ，
在中，由，
平面PAC，平面PAC，
平面PAC，
由于，，又由于，平面PAC，平面PAC，
平面PAC，
，
平面平面PAC，
平面BEQ，
平面
此时 

【解析】根据棱锥的表面积公式计算即可；
取SD中点为Q，过Q作PC的平行线交SC于E，连接BQ，BE，由线面平行的判定可得平面PAC，根据等比例性质有，再根据线面平行的判定定理得平面PAC，最后由面面平行的判定及性质即可确定存在性．
本题考查了空间中线面位置关系，考查了推理能力，属于中档题．