盐城市景山中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析）

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盐城市景山中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题考试时间100分钟  卷面总分120分一、选择题（每小题3分，共24分）1. 下列常用手机APP的图标中，是中心对称图形的是（    ）A  B.  C.  D. 2. 今年我市有近4万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计解析，以下说法正确的是(      )A. 这1000名考生是总体的一个样本 B. 近4万名考生是总体C. 每位考生的数学成绩是个体 D. 1000名学生是样本容量3. 若分式有意义，则x取值范围是（　　）A. x＞﹣2 B. x≠2 C. x≠0 D. x≠﹣24. 下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（   ）A. 内角和为360° B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直5. 已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是反比例函数y＝的图象上两点，且x1＜0＜x2，则y1，y2的大小关系是（　　）A. y1＜0＜y2 B. y2＜y1＜0 C. y1＜y2＜0 D. y2＜0＜y16. 如果分式中，x，y的值都变为原来的2倍，则分式的值（    ）A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大2倍 D. 不能确定7. 在同一平面直角坐标系中，函数与（为常数，）的图像大致是（  ）A.  B.  C.  D. 8. 对于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（　　）A. 图象分布在第二、四象限 B. 当x<0时，y随x的增大而增大C. 图象经过点（1，﹣2） D. 若x＞1，则y>-2二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分）9. 若分式的值为，则的值为___________.10. “清明时节雨纷纷”是_______事件．(填“必然”“不可能”或“随机”)11. 分式，，最简公分母是_____．12. 如图，在中，，，平分交于点，则的长是______．13. 如图，面积为3的矩形OABC的一个顶点B在反比例函数的图象上，另三点在坐标轴上，则____．14. 如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△ADE，连接AE．若AEBD，则∠CAD的度数为_______．15. 若关于的分式方程有增根，则的值为_____.16. 如图，点P是直线y＝3上的动点，连接PO并将PO绕P点旋转90°到PO′，当点O′刚好落在双曲线（x＞0）上时，点P的横坐标所有可能值为_____．三、解答题（本大题共10小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 计算：（1）（2）18. 解方程：（1）；（2）．19. 先化简，再从﹣1，﹣2，﹣3中选一个合适的数代入求值．20. 某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间x（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分别直方图和扇形统计图：根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）补全频数分布直方图（2）求扇形统计图中m的值和E组对应的圆心角度数（3）请估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数21. 已知y与x﹣1成反比例，且当x＝4时，y＝1．（1）求y与x的函数关系式；（2）判断点（﹣2，﹣1）是否在该函数图象上．22. 如图，一次函数y＝kx+b(k≠0）与反比例函数y＝(m≠0）的图像交于点A、B，点B的横坐标为-4．直线AB交x轴于点C，交y轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，且OE＝2OC＝4OD＝8．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）根据函数图像直接写出不等式kx+b＜的解集；（3）求△AOB的面积23. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，过对角线AC的中点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．（1）求证：四边形AECF平行四边形；（2）当四边形AECF是菱形时，求EF的长．24. 自带保温杯已成为人们良好的健康生活习惯，某学校为教师员工购买甲、乙两种型号的保温杯，购买A型号保温杯共花费6000元，购买B型号保温杯共花费3200元，且购买A型号保温杯数量是购买B型号保温杯数量的3倍，已知购买一个B型号保温杯比购买一个A型号保温杯多花30元，求购买一个A型号保温杯，一个B型号保温杯各需多少钱？25. 点为线段上一点，分别以、为边在线段的同侧作正方形和，连接、．（1）如图①，与的数量关系和位置关系分别为______，______（2）将正方形绕着点顺时针旋转角①如图②，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由②若，．当正方形绕着点顺时针旋转到点、、三点共线时，求的长度．26. 如图，在平面直角坐标系中，A（8，0）、B（0，6）是矩形OACB的两个顶点，双曲线y＝（k≠0，x＞0）经过AC的中点D，点E是矩形OACB与双曲线y＝的另一个交点．（1）点D的坐标为______，点E的坐标为______；（2）动点P在第一象限内，且满足S△PBO＝S△ODE．①若点P在这个反比例函数图象上，求点P的坐标；②若点Q是平面内一点，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．
答案与解析一、选择题（每小题3分，共24分）1. 下列常用手机APP的图标中，是中心对称图形的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【详解】解：选项A、B、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2. 今年我市有近4万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计解析，以下说法正确的是(      )A. 这1000名考生是总体的一个样本 B. 近4万名考生是总体C. 每位考生的数学成绩是个体 D. 1000名学生是样本容量【答案】C【解析】【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的定义对各选项判断即可．【详解】解：A、1000名考生的数学成绩是样本，故本选项错误；B、4万名考生的数学成绩是总体，故本选项错误；C、每位考生的数学成绩是个体，故本选项正确；D、1000是样本容量，故本选项错误．故选C．3. 若分式有意义，则x的取值范围是（　　）A. x＞﹣2 B. x≠2 C. x≠0 D. x≠﹣2【答案】D【解析】【分析】根据分母有意义，分母不为0，列不等式解答即可．【详解】解：根据题意得，x+2≠0，解得：x≠-2故选：D【点睛】本题考查了分数的有意义的条件，分母不为0．熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．4. 下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（   ）A. 内角和为360° B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直【答案】C【解析】【分析】矩形与菱形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相等，由此结合选项即可得出答案．【详解】A、菱形、矩形的内角和都为360°，故本选项错误；B、对角互相平分，菱形、矩形都具有，故本选项错误；C、对角线相等菱形不具有，而矩形具有，故本选项正确；D、对角线互相垂直，菱形具有而矩形不具有，故本选项错误；故选：C【点睛】本题考查了菱形的性质及矩形的性质，熟练掌握矩形的性质与菱形的性质是解题的关键．5. 已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是反比例函数y＝的图象上两点，且x1＜0＜x2，则y1，y2的大小关系是（　　）A. y1＜0＜y2 B. y2＜y1＜0 C. y1＜y2＜0 D. y2＜0＜y1【答案】A【解析】【分析】根据反比例函数的性质和增减性，结合横坐标的大小和正负，即可得到答案．【详解】解：∵反比例函数y＝，，∴反比例函数的图像在第一象限和第三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，∵x1＜0＜x2，∴点P1（x1，y1）在第三象限，点P2（x2，y2）在第一象限，∴y1＜0＜y2．故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握反比例函数的性质和增减性是解题的关键．6. 如果分式中，x，y的值都变为原来的2倍，则分式的值（    ）A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 扩大2倍 D. 不能确定【答案】C【解析】【分析】根据x，y都扩大2倍，即可得出分子扩大4倍，分母扩大2倍，由此即可得出结论．【详解】解：∵x，y都扩大为原来2倍，∴分子2xy扩大4倍，分母3x﹣3y扩大2倍，∴分式的值扩大2倍，故C正确．故选：C．【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是根据x、y的变化找出分子分母的变化．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据分式的基本性质找出分式的变化是关键．7. 在同一平面直角坐标系中，函数与（为常数，）的图像大致是（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】在每一选项中，由反比例函数确定出k的正负，再根据k的正或负判定一次函数大至位置是否正确即可得出答案．【详解】解：A．由反比例函数图象知，k>0，那么，一次函数的图象应经过第一，二，三象限，显然不符合，故A错误；B．由反比例函数图象知，k>0，那么，一次函数的图象应经过第一，二，三象限，显然符合，故B正确；C．由反比例函数图象知，k<0，那么，一次函数的图象应经过第一，三，四象限，显然不符合，故C错误；D．由反比例函数图象知，k<0，那么，一次函数的图象应经过第一，三，四象限，显然不符合，故D错误．故选B．【点睛】本题考查本题考查一次函数的图象与反比例函数的图象，熟练掌握一次函数的图象与反比例函数的图象与性质是解答本题的关键.8. 对于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（　　）A. 图象分布在第二、四象限 B. 当x<0时，y随x的增大而增大C. 图象经过点（1，﹣2） D. 若x＞1，则y>-2【答案】D【解析】【分析】利用反比例函数的图象的性质解决问题．【详解】解：∵k=-2＜0，图象分布在第二、四象限，A正确；当x<0时，y随x的增大而增大，B正确；当x=1时，y=-2，故图象经过点（1，﹣2），C正确；若x＞1，则0＞y>-2，故D错误；故选择D．【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，解决问题的关键是掌握反比例函数的性质，注意函数的增减性是在每个象限内．二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分）9. 若分式的值为，则的值为___________.【答案】【解析】【分析】分式的值为零，分子等于零且分母不等于零．【详解】依题意得：x＋2＝0且x−3≠0，解得x＝−2．故答案是：．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．10. “清明时节雨纷纷”是_______事件．(填“必然”“不可能”或“随机”)【答案】随机【解析】【详解】“清明时节雨纷纷”这一事件可能发生，也可能不发生，因此这个事件是随机事件，故答案为随机.11. 分式，，的最简公分母是_____．【答案】12x2y3．【解析】【分析】最简公分母的确定方法：几个分母中数字因数找它们的最小公倍数，相同字母取最高次幂，再把数字最小公倍数与字母最高次幂相乘积做为几个分母的最简公分母.【详解】解：分式，，的分母分别是x、3x2y、12y3，故最简公分母是12x2y3；故答案为：12x2y3．【点睛】本题考查的是最简公分母的概念，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．12. 如图，在中，，，平分交于点，则的长是______．【答案】3【解析】【分析】由四边形4BCD是平行四边形，可得BC=AD=8， CD=AB=5， AD//BC， 得∠ADE=∠DEC， 又由DE平分∠ADC，可得∠CDE=∠DEC，根据等角对等边，可以得到EC=CD=5，即可得笞案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=8， AB=CD=5， AD//BC，∴∠ADE=∠DEC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∴∠DEC=∠CDE，∴CE=CD=5，∴BE=BC-CE=8-5=3，故答案为： 3.【点睛】此题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义与等腰三角形的判定定理，解题的关键是注意当有平行线和角平分线出现时，会出现等腰三角形．13. 如图，面积为3的矩形OABC的一个顶点B在反比例函数的图象上，另三点在坐标轴上，则____．【答案】-3【解析】【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|．【详解】解：根据题意，知S=|k|=3，k=±3，
又因为反比例函数位于第四象限，k＜0，
所以k=-3.【点睛】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．14. 如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△ADE，连接AE．若AEBD，则∠CAD的度数为_______．【答案】75°##75度【解析】【分析】先根据旋转的性质得到∠BAD=∠CAE=110°，AB=AD，根据等腰三角形的性质易得∠ADB=35°，再根据平行线的性质由AEBD得∠EAD=∠ADB=35°，然后利用∠CAD=∠CAE-∠EAD进行计算．【详解】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转110°得到△ADE，∴∠BAD=∠CAE=110°，AB=AD，∴∠ADB=（180°-110°）=35°，又∵AEBD，∴∠EAD=∠ADB=35°，∴∠CAD=∠CAE-∠EAD=110°-35°=75°．故答案为：75°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和旋转的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和旋转的性质．旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线的夹角等于旋转角．15. 若关于的分式方程有增根，则的值为_____.【答案】3【解析】【分析】把分式方程化为整式方程，进而把可能的增根代入，可得m的值．【详解】去分母得3x-(x-2)=m+3，
当增根为x=2时，6=m+3
∴m=3．
故答案为3．【点睛】考查分式方程的增根问题；增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．16. 如图，点P是直线y＝3上的动点，连接PO并将PO绕P点旋转90°到PO′，当点O′刚好落在双曲线（x＞0）上时，点P的横坐标所有可能值为_____．【答案】，.【解析】【分析】分点P在由在y轴的左侧和点P在y轴的右侧两种情况求解即可.【详解】当点P在由在y轴的左侧时，如图1，过点P作PM⊥x轴于点M，过点O′作O′N垂直于直线y=3于点N，∵∠OPN+∠NP O′=90°，∠P O′N+∠NP O′=90°，∴∠OPN=∠P O′N，∵直线y=3与x轴平行，∴∠POM=∠O P N ，∴∠POM=∠P O′N，在△POM和△P O′N中， ，∴△POM≌△P O′N，∴OM= O′N，PM=PN，设点P的横坐标为t，则OM= O′N=-t，PM=PN=3，∴GN=3+t，∴点O′的坐标为（3+t，3-t），∵点O′在双曲线（x＞0）上，∴（3+t）（3-t）=6，解得，t=（舍去）或t=-，∴点P的横坐标为-；当点P在由在y轴的右侧时，如图2，过点O′作O′H垂直于直线y=3于点H，类比图1的方法易求点P的横坐标为，如图3，过点P作PE⊥x轴于点E，过点O′作O′F垂直于直线y=3于点F，类比图1的方法易求点P的横坐标为，综上，点P的横坐标为，.故答案，.【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，正确作出辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键，解决问题时要考虑全面，不要漏解.三、解答题（本大题共10小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 计算：（1）（2）【答案】（1）1    （2）【解析】【分析】（1）结合题意，根据同分母分式加减运算的性质计算，即可得到答案；（2）根据分式加减的性质，先通分，再通过计算即可得到答案．【小问1详解】 ；【小问2详解】 ．【点睛】本题考查了分式运算的知识；解题的关键是熟练掌握分式加减运算的性质，从而完成求解．18. 解方程：（1）；（2）．【答案】（1）x=-14是原方程的解    （2）原方程无解【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【小问1详解】解：去分母得：3(x-2)=4(x+2)，去括号得：3x-6=4x+8，解得：x=-14，经检验，x=-14是分式方程的解；【小问2详解】解：去分母得：1=y-1-3(y-2)，去括号得：1=y-1-3y+6，解得：y=2，检验：把y=2代入得：y-2=0，∴y=2是增根，分式方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．19. 先化简，再从﹣1，﹣2，﹣3中选一个合适的数代入求值．【答案】；【解析】【分析】括号内先通分进行分式的加减法运算，然后再进行分式的除法运算，最后选择使分式有意义的x的值代入进行计算即可得．【详解】原式；要使分式有意义，则、，当x＝﹣3时，原式＝＝2．【点睛】本题考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键．20. 某校想了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，对学生每周的课外阅读时间x（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分别直方图和扇形统计图：根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）补全频数分布直方图（2）求扇形统计图中m的值和E组对应的圆心角度数（3）请估计该校3000名学生中每周课外阅读时间不小于6小时的人数【答案】略；m=40， 14．4°；870人．【解析】【详解】试题分析：根据A组的人数和比例得出总人数，然后得出D组的人数，补全条形统计图；根据C组的人数和总人数得出m的值，根据E组的人数求出E的百分比，然后计算圆心角的度数；根据D组合E组的百分数总和，估算出该校的每周的课外阅读时间不小于6小时的人数．试题解析：（1）补全频数分布直方图，如图所示．（2）∵10÷10%=100      ∴40÷100=40%  ∴m=40∵4÷100=4%  ∴“E”组对应的圆心角度数=4%×360°=14．4°（3）3000×（25%+4%）=870（人）．答：估计该校学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数是870人．考点：统计图．21. 已知y与x﹣1成反比例，且当x＝4时，y＝1．（1）求y与x的函数关系式；（2）判断点（﹣2，﹣1）是否在该函数图象上．【答案】（1）    （2）点（﹣2，﹣1）在该函数的图象上【解析】【分析】（1）由y与x﹣1关系列出解析式，再将x＝4，y＝1代入，即可求出y与x的函数关系式．（2）将（﹣2，﹣1）代入（1）所求关系式中即可判断．【小问1详解】设，把x＝4，y＝1代入得，解得k＝3，∴y与x的函数关系式；【小问2详解】把x＝﹣2代入得，y＝﹣1，∴点（﹣2，﹣1）在该函数的图象上．【点睛】本题主要考查反比例函数的解析式，找准y与x﹣1的关系以及知道反比例函数的解析式是解题的关键．22. 如图，一次函数y＝kx+b(k≠0）与反比例函数y＝(m≠0）的图像交于点A、B，点B的横坐标为-4．直线AB交x轴于点C，交y轴于点D，过点A作AE⊥x轴于点E，且OE＝2OC＝4OD＝8．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）根据函数图像直接写出不等式kx+b＜的解集；（3）求△AOB的面积【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为；（2）或；（3）【解析】【分析】（1）由题意易得，然后代入一次函数解析式进行求解，进而可得点B的坐标，最后再把点B代入反比例函数进行求解即可；（2）由（1）可得点A、B的坐标，然后再结合图象可得不等式的解集；（3）由（2）及割补法可直接进行求解三角形的面积．【详解】解：（1）∵OE＝2OC＝4OD＝8，∴，∴，把点C、D代入一次函数解析式得：，解得：，∴一次函数的解析式为，∵点B的横坐标为-4，∴，即点，把点B代入反比例函数得：，∴反比例函数解析式为；（2）∵AE⊥x轴于点E，且OE=8，∴，∴，∵点，∴由图象可知当不等式kx+b＜时，的取值范围为或；（3）由（2）可得：点，，∵OC=4，∴．【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握一次函数及反比例函数的图象与性质是解题的关键．23. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，过对角线AC的中点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）当四边形AECF是菱形时，求EF的长．【答案】（1）见解析    （2）EF＝【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，判定△AOE≌△COF，得到AE=CF，进而得出结论；（2）在Rt△BEC中，由勾股定理得出方程，解方程求出AE，然后由AEBC=ACEF，即可得出EF的长．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，O是AC的中点，∴AB∥DC，OA＝OC，∴∠OAE＝∠OCF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形．【小问2详解】解：当四边形AECF是菱形时，AC⊥EF，设AE＝x，则CE＝x，BE＝8﹣x．在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2，∴x2＝62+（8﹣x）2，解得x＝，即AE＝．AEBC=ACEF．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，解题的关键是证明三角形全等．24. 自带保温杯已成为人们良好的健康生活习惯，某学校为教师员工购买甲、乙两种型号的保温杯，购买A型号保温杯共花费6000元，购买B型号保温杯共花费3200元，且购买A型号保温杯数量是购买B型号保温杯数量的3倍，已知购买一个B型号保温杯比购买一个A型号保温杯多花30元，求购买一个A型号保温杯，一个B型号保温杯各需多少钱？【答案】一个A型号保温杯需要50元，则一个B型号保温杯需要80元【解析】【分析】设购买一个A型号保温杯需要x元，根据购买A型号保温杯数量是购买B型号保温杯数量的3倍列方程求解．【详解】解：设购买一个A型号保温杯需要x元，则一个B型号保温杯需要元依题意可列方程，解得，经检验符合题意，∴B型号保温杯需要80元，答：购买一个A型号保温杯需要50元，则一个B型号保温杯需要80元．【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤．25. 点为线段上一点，分别以、为边在线段的同侧作正方形和，连接、．（1）如图①，与的数量关系和位置关系分别为______，______（2）将正方形绕着点顺时针旋转角①如图②，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由②若，．当正方形绕着点顺时针旋转到点、、三点共线时，求的长度．【答案】（1）AF=BD，AF⊥BD    （2）①仍然成立，理由见解析；②或【解析】【分析】（1）由“SAS”可证△ACF≌△DCB，得出AF= BD，∠CAF= ∠CDB，由直角三角形的性质和对顶角相等证出∠DHF=90°，得出AF⊥BD即可；（2）①设AF交CD于点M，由“SAS”可证△ACF≌△DCB，得出AF= BD，∠CAF= ∠CDB，由直角三角形的性质和对顶角相等得出∠DHM = 90°，得出AF⊥BD即可；②分两种情况，连接CG交BF于O，求出BF= CG =BC= 2，OB= OF= OC =BF= 1，由勾股定理得出AO =，即可得出答案．【小问1详解】解：AF与BD的数量关系和位置关系分别为AF= BD， AF⊥BD，理由如下：延长AF交BD于H，如图①所示，∵四边形和四边形是正方形，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故答案为：AF=BD，AF⊥BD；【小问2详解】解：①第（1）问的结论仍然成立，理由如下：设AF交CD于点M，如图②所示，∵四边形和四边形是正方形，∴，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；②分两种情况：Ⅰ、连接CG交BF于O，如图③所示，∵四边形是正方形，∴，∴，∴，∴，由①得，∴；Ⅱ、连接CG交BF于O，如图④所示，同上得：，∴，∴，由①得，∴；综上所述，当正方形绕着点顺时针旋转到点、、三点共线时，的长度为或．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．26. 如图，在平面直角坐标系中，A（8，0）、B（0，6）是矩形OACB的两个顶点，双曲线y＝（k≠0，x＞0）经过AC的中点D，点E是矩形OACB与双曲线y＝的另一个交点．（1）点D的坐标为______，点E的坐标为______；（2）动点P在第一象限内，且满足S△PBO＝S△ODE．①若点P在这个反比例函数图象上，求点P的坐标；②若点Q是平面内一点，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．【答案】（1）（8，3），（4，6）    （2）①P的坐标为（5，）；②Q1（5，-3），Q2（5，3），Q3（5，6+3），Q4（11，3）【解析】【分析】（1）先求得C（8，6），再根据中点坐标公式可得点D的坐标为（8，3），根据待定系数法可求双曲线y=的解析式，把y=6代入双曲线y=的解析式，即可求得点E的坐标；（2）①设点P的横坐标为m，则S△PBO=BO•m=3m，根据S△ODE=S梯形EOAC-S△CDE-S△ODA，求出S△ODE，再根据S△PBO=S△ODE，得到关于m的方程，解方程求出m，进一步求出点P的坐标；②根据两点间的距离公式和菱形的性质即可求解．【小问1详解】∵在平面直角坐标系中，A(8，0)、B(0，6)是矩形OACB的两个顶点，∴C(8，6)，∵D是AC的中点，∴点D坐标为：(8，3)，依题意有：3=，解得：k=24．故双曲线：y=，当y=6时，6=，解得x=4．故点E的坐标为(4，6)；【小问2详解】①设点P的横坐标为m，则，∵，因为，∴，所以，∴.又∵点在双曲线上，∴，②设P点坐标为(5，p)时，P点在第一象限，则p＞0，当点P在点Q的上方时，∵PC=AC，∴(5-8)2+(p-6)2=62，解得p=6±3，6±3-6=±3，则Q1(5，3)，Q2(5，-3)；当点P在点Q的下方时，∵PA=AC，∴(5-8)2+(p-0)2=62，解得p=±3（负值舍去）∴Q3(5，6+3)；当P点坐标为(5，3)时，由对称性知Q4(11，3)．综上所述，Q1（5，-3），Q2（5，3），Q3（5，6+3），Q4（11，3）【点睛】此题是反比例函数综合题，涉及待定系数法，三角形面积计算，两点间的距离公式，矩形的性质和菱形的性质，一元二次方程的解法等知识点，有一定的难度．