泰州市泰州中学附属初级中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析）

这是一份泰州市泰州中学附属初级中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
泰州市泰州中学附属初级中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题（考试时间：120分钟    满分：150分）一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，计18分）1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线2. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）A. 对边相等 B. 对角相等C. 对角线相等 D. 对角线互相平分3. 在有理式：①；②；③；④中，分式有（    ）个．A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个4. 下列事件中，属于必然事件的是（    ）A. 打开电视机，它正在播广告 B. 买一张电影票，座位号是偶数C. 抛掷一枚质地均匀的骰子，6点朝上 D. 若是实数，则5. 若把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（　　）A 扩大3倍 B. 扩大9倍 C. 不变 D. 缩小3倍6. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①ABCD，ADBC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④ABCD，AD=BC．其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有（　　）A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，计30分）7. 若分式有意义，则实数x的取值范围是_______．8. 从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：种子粒数100400800100020005000发芽种子粒数8529865279316044005发芽频率0.8500.74508150.7930.8020.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为___（精确到0.1）．9. 若分式的值为0，则x的值为__________．10. 已知：在▱ABCD中，∠A+∠C＝160°，则∠B度数是_____________．11. 一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、15、8，则第5组的频率是_____．12. 若关于x的方程有增根，则m的值是_____13. 如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在BC上，与CD交于点E．若，则旋转角的度数为 ___．14. 平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，AB=4，则BD长度的取值范围是_________．15. 已知，则 =___．16. 如图，在平面直角坐标系中，点A（-3，0）、B（0，-4），点P是y轴上一动点，连接AP并延长至点D，使PD=AP，以AB、AD为邻边作□ABCD，连接OC，当OC长最小时，则点P的坐标是________．三、解答题（本大题共10小题，共102分）17. 先化简：，再从﹣1、0、1、2中选一个你喜欢的数作为a的值代入求值．18. 解方程（1）（2）19. 扬州教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查的样本容量是________，扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角为________；（2）补全条形统计图；（3）学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有2000名学生，试估计该校需要培训的学生人数．20. □ABCD中，E是CD的中点，∠BAE=∠ABE，求证：四边形ABCD是矩形．21. 如图，在□ABCD中，点E是AB边的中点，（1）仅用一把无刻度的直尺画出CD边的中点F；（2）在（1）的条件下，求证：EF=BC．22. 在①；②；③；这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，        （填写序号）．求证：．23. 近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线A的平均速度．24. 如图，线段AB=6，射线AM⊥AB，点P为射线AM上一点，将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段CP，过点C作CD⊥AM于点D，PE平分∠BPC交BC于点E，点F是PE上一点，且BP平分∠ABF，连接CF交AB于点G．（1）求证：△BPF≌△CPF；（2）判断四边形ADCG的形状，说明理由；（3）设AP=m，试判断△BFG周长是否与m的取值有关？说明理由．25. 已知等式（1）①用含的代数式表示；②若均为正整数，求值；（2）设，，分别是分式中的取（>>2）时所对应的值，试比较的大小，说明理由．26. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（m，6）（m>0）．点P是OA边上一点，将△CPO沿CP翻折，使点O落在点Q处．（1）若m=8，①如图1，当点P与点A重合时，连接AQ交BC于点D，求点D的坐标；②如图2，当以B、C、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求△ABQ的面积；（2）在OA边上是否存在点P，使得△ABQ是以AB为底的等腰三角形？若存在，请直接写出的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案与解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，计18分）1. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线【答案】C【解析】【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选C．【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　）A. 对边相等 B. 对角相等C. 对角线相等 D. 对角线互相平分【答案】C【解析】【分析】根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可．【详解】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．故选C．【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如：矩形的对角线相等；四个角都是直角等．3. 在有理式：①；②；③；④中，分式有（    ）个．A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】B【解析】【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【详解】解：①与③是分式，②与④是整式，∴分式有2个，故选：B．【点睛】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．4. 下列事件中，属于必然事件的是（    ）A. 打开电视机，它正在播广告 B. 买一张电影票，座位号是偶数C. 抛掷一枚质地均匀的骰子，6点朝上 D. 若是实数，则【答案】D【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】解：A、是随机事件，故A不符合题意；B、是随机事件，故B不符合题意；C、是随机事件，故C不符合题意；D、是必然事件，故D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5. 若把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（　　）A. 扩大3倍 B. 扩大9倍 C. 不变 D. 缩小3倍【答案】C【解析】【分析】分别把分式中的x和y都扩大3倍，然后与原式比较即可．【详解】∵把分式中的x和y都扩大3倍，得，∴分式的值不变.故选C．【点睛】本题主要考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．6. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①ABCD，ADBC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④ABCD，AD=BC．其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有（　　）A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的判定方法逐个判断即可．【详解】如图，（1）∵ABCD，ADBC，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形；（3）∵在四边形ABCD中，AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形；（4）∵在四边形ABCD中，ABCD，AD＝BC，∴四边形ABCD可能是等腰梯形，也可能是平行四边形；综上所述，上述四组条件一定能判定四边形ABCD是平行四边形的有3组．故选：C．【点睛】此题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，计30分）7. 若分式有意义，则实数x的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】根据分式有意义的条件即可求得实数的取值范围．【详解】代数式有意义，．故答案为：．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，理解分式有意义的条件是解题的关键．8. 从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：种子粒数100400800100020005000发芽种子粒数8529865279316044005发芽频率0.8500.7450.8150.7930.8020.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为___（精确到0.1）．【答案】0.8【解析】【分析】6批次种子粒数从100粒增加到5000粒时，种子发芽的频率趋近于0.801，所以估计种子发芽的概率为0.801，再精确到0.1，即可得出答案．【详解】根据题干知：当种子粒数5000粒时，种子发芽的频率趋近于0.801，故可以估计种子发芽的概率为0.801，精确到0.1，即为0.8，故答案为：0.8．【点睛】本题比较容易，考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．9. 若分式的值为0，则x的值为__________．【答案】3【解析】【分析】根据分式的值为0时分母≠0，且分子＝0两个条件求出x的值即可．【详解】由x2-9=0，得x=±3．又∵x+3≠0，∴x≠-3，因此x=3．故答案为3．【点睛】本题考查了分式值为0时求字母的值．分式值为0时分子=0，分母≠0，两个条件缺一不可，掌握以上知识是解题的关键．10. 已知：在▱ABCD中，∠A+∠C＝160°，则∠B的度数是_____________．【答案】100°【解析】【分析】根据平行四边形的性质判断即可；【详解】解：如图所示：
 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°，∵∠A+∠C＝160°，∴∠A＝∠C＝80°，∴∠B的度数是：100°．故答案为：100°．【点睛】本题主要考查了平行四边形性质，正确把握平行四边形各角之间的关系是解题关键．．11. 一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、15、8，则第5组的频率是_____．【答案】01【解析】【分析】由于这50个数据被分为5组，所以这5组的数据之和为50，用总数减去第1-4组的频数即为第5组的频数；接下来依据频率=频数÷总数代入数据计算即可得解．【详解】解:（50-12-10-15-8）÷50=0.1故答案为：0.1．【点睛】本题属于频率的计算问题，关键是找出第5组的频数并熟记频率的计算公式：频率=频数÷总数．12. 若关于x的方程有增根，则m的值是_____【答案】0．【解析】【详解】方程两边都乘以最简公分母（x－2），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出x的值，然后代入进行计算即可求出m的值：方程两边都乘以（x－2）得，2－x－m=2（x－2）．∵分式方程有增根，∴x－2=0，解得x=2．∴2－2－m=2（2－2），解得m=0．13. 如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在BC上，与CD交于点E．若，则旋转角的度数为 ___．【答案】20°##20度【解析】【分析】由旋转的性质可得，AB=A，是旋转角，由平行四边形的性质和等腰三角形的性质可求∠B=80°，由三角形内角和定理可求解．【详解】解：∵将▱ABCD绕点A逆时针旋转到的位置，∴∠=∠C=100°，，∠BA是旋转角，∵四边形ABCD平行四边形，∴∠B+∠C=180°，∴∠B=80°，∵AB=A，∴∠B=∠AB=80°，∴∠BA=20°，故答案为：20°．【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．14. 平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，AB=4，则BD长度的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】根据题意画出图形，根据平行四边形的对角线相互相平分，可得OA=OC，OB=OD；根据三角形的三边关系，可得BD的取值范围．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=6，AB=4，∴OA=OC=AC=3，∴1＜OB＜7，∵BD=2OB=2BD，∴BD的取值范围是2＜BD＜14．故答案为：2＜BD＜14．【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线相互相平分．还考查了三角形的三边关系：三角形中任意两边之和大于第三边，三角形中任意两边之差小于第三边，掌握以上知识是解题的关键．15. 已知，则 =___．【答案】【解析】【分析】将利用求出，即可求出，即有，根据即可求解，【详解】∵，∴，即，∴，即，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查运用完全平方公式、平方差公式计算求解的知识．利用求出，进而求出，，是解答本题的关键．16. 如图，在平面直角坐标系中，点A（-3，0）、B（0，-4），点P是y轴上一动点，连接AP并延长至点D，使PD=AP，以AB、AD为邻边作□ABCD，连接OC，当OC长最小时，则点P的坐标是________．【答案】(0,2)【解析】【分析】设点P（0，y），先求出点C，点D坐标，由点C的坐标知点C在垂直于x轴的直线上，由垂线段最短，可得当点C在x轴上时，OC长度的最小值为6，即可求解．【详解】解：设点P（0，y），∵PD=AP，点A（-3，0），∴点D（3，2y），∵点A（-3，0）、B（0，-4），四边形ABCD是平行四边形，∴C（6，2y-4），∴点C在x=6这条直线上运动，∴当点C在x轴上时，OC长度的最小值为6，即2y-4=0，∴y=2，∴点P（0，2）．故答案为（0，2）．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，垂线段最短，掌握平行四边形的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共102分）17. 先化简：，再从﹣1、0、1、2中选一个你喜欢的数作为a的值代入求值．【答案】，当时，原式【解析】【分析】本题根据分式的除法和减法运算法则，结合平方差以及提公因式法将题目化简，然后从、、、中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】原式，由已知得：若使原分式有意义，需满足，，，即当、、、时原分式无意义，故当时，原式．【点睛】本题考查分式的化简求值，解题关键在于对平方差、完全平方公式等运算法则的运用，其次注意计算仔细即可．18. 解方程（1）（2）【答案】（1）    （2）x=2【解析】【分析】（1）两边同时乘以，将分式方程转化为一元一次方程，解方程即可求解；（2）两边同时乘以，将分式方程转化为一元二次方程，解方程即可求解【小问1详解】，经检验，是原方程的根，即原方程的解为；【小问2详解】，经检验，是原方程的根，即原方程的解为．【点睛】本题主要考查了解分式方程的知识，求解过程中，注意灵活运用平方差公式，解分式方程记得对根进行检验．19. 扬州教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题：（1）本次调查的样本容量是________，扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角为________；（2）补全条形统计图；（3）学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有2000名学生，试估计该校需要培训的学生人数．【答案】（1）500；108；（2）见解析；（3）估计该校需要培训的学生人数为200人【解析】【分析】（1）根据条形统计图中A项为150人，扇形统计图中A项为30%，计算出样本容量；扇形统计图中计算360°的30%即360°×30%即可；（2）根据扇形统计图中B选项占40%，求出条形统计图中B选项的人数，补全条形统计图即可；（3）抽取的样本中“不太熟练或不熟练”的同学所占的百分比为×100%，由此估计2000名学生所占的百分比也为×100%，进而求出该校需要培训的学生人数．【详解】解：（1）150÷30%=500（人），360°×30%=108°，故答案：500；108；（2）500×40%=200（人），补全条形统计图如下：（3）×100%×2000=200（人）∴估计该校需要培训的学生人数为200人．【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图的综合运用、用样本估计总体等知识，熟练掌握条形统计图与扇形统计图的之间的关系是解题的关键．20. □ABCD中，E是CD的中点，∠BAE=∠ABE，求证：四边形ABCD是矩形．【答案】见详解【解析】【分析】先证明△ADE≌△BCE，即有∠D=∠C，根据平行四边形的性质可得∠D=∠C=90°，则问题得证．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，，∴∠D+∠C=180°，∵∠BAE=∠ABE，∴AE=BE，∵E为CD中点，∴DE=CE，∴△ADE≌△BCE，∴∠D=∠C，∵∠D+∠C=180°，∴∠D=∠C=90°,∴平行四边形ABCD是矩形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质、等角对等边等知识，证明△ADE≌△BCE是解答本题的关键．21. 如图，在□ABCD中，点E是AB边的中点，（1）仅用一把无刻度的直尺画出CD边的中点F；（2）在（1）的条件下，求证：EF=BC．【答案】（1）见详解    （2）见详解【解析】【分析】（1）连接AC、BD，两者交于点G，连接EG并延长交CD与点F，即可．（2）证明四边形ADFE是平行四边形即可．【小问1详解】作图如下：点F即为所求，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，CD=AB，对角线交点G平分对角线AC、BD，∴点G为AC、BD的中点，∵E点为AB中点，∴EG为△ABD的中位线，∴，即，∵，∴四边形ADFE是平行四边形，∴AE=DF，∵E点为AB中点，∴，∴，即有，∴F点为DC中点，即F点满足要求．【小问2详解】证明：在（1）中已证明有：四边形ADFE是平行四边形，∴AD=EF，∵AD=BC，∴EF=BC，结论得证．【点睛】本题主要考查了基本作图，平行四边形的判定与性质、中位线的判定与性质等知识，掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．注意作图只能用无刻度直尺，并非尺规作图．22. 在①；②；③；这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，        （填写序号）．求证：．【答案】①(或②或③),证明见解析【解析】【分析】根据平行四边形的判定定理和判定三角形全等的“SAS”或“AAS”得到三角形全等，再由全等三角形的判定和性质可得结论．【详解】解：如图，连接BE、DF，若①，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，，，，在和中，，，，故答案为：①；若②，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，，在和中，，，；故答案为：②.若③，证明：∵四边形ABCD是平行四边形，，∵， ，在和中，，，．故答案为：③.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．23. 近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线A的平均速度．【答案】50km∕h【解析】【分析】根据题意，设走线路A的平均速度为，则线路B的速度为，由等量关系列出分式方程，解方程即可得到答案．【详解】解：设走线路A的平均速度为，则线路B的速度为，则，解得：，检验：当时，，∴是原分式方程的解；∴走路线A的平均速度为：50（km/h）；【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是以时间做为等量关系列方程求解．解分式方程注意要将根代入原方程进行检验．24. 如图，线段AB=6，射线AM⊥AB，点P为射线AM上一点，将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段CP，过点C作CD⊥AM于点D，PE平分∠BPC交BC于点E，点F是PE上一点，且BP平分∠ABF，连接CF交AB于点G．（1）求证：△BPF≌△CPF；（2）判断四边形ADCG的形状，说明理由；（3）设AP=m，试判断△BFG的周长是否与m的取值有关？说明理由．【答案】（1）见解析    （2）矩形，理由见解析    （3）无关，m=12【解析】【分析】（1）由旋转得PB=PC，∠BPC=90°，而∠BPF=∠CPF，PF=PF，即可证明△BPF≌△CPF；（2）由∠ABP+∠APB=90°，∠DPC+∠APB=90°得∠ABP=∠DPC，因为∠FBP=∠FCP，且∠FBP=∠ABP，所以∠FCP=∠DPC，则CGAD，由AG⊥AM，CD⊥AM得CDAG，所以四边形ADCG是平行四边形，因为∠A=90°，所以四边形ADCG是矩形；（3）先证明△ABP≌△DPC，得AB=DP=6，PA=CD=AG，即可证明BF+FG+BG=AD+BG=DP+PA+BG=DP+AB=6+6=12，可证明△BFG的周长与m的取值无关．【小问1详解】证明：如图，由旋转得PB=PC，∠BPC=90°，∵PE平分∠BPC，∴∠BPF=∠CPF， ∵PF=PF，∴△BPF≌△CPF（SAS）．【小问2详解】解：四边形ADCG是矩形，理由：如图，∵AM⊥AB，∴∠A=90°，∴∠ABP+∠APB=90°，∵∠DPC+∠APB=90°，∴∠ABP=∠DPC，∵∠FBP=∠FCP，且∠FBP=∠ABP，∴∠FCP=∠DPC，∴CGAD，∵AG⊥AM，CD⊥AM，∴CDAG，∴四边形ADCG是平行四边形，∴四边形ADCG是矩形．【小问3详解】△BFG的周长与m的取值无关，理由：如图，∵∠A=∠PDC=90°，∠ABP=∠DPC，BP=PC，∴△ABP≌△DPC（AAS），∴AB=DP=6，PA=CD，∵CD=AG，∴PA=AG，∵BF=CF，且CG=AD，∴BF+FG=CF+FG=CG=AD，∴BF+FG+BG=AD+BG=DP+PA+BG，∵PA+BG=AG+BG=AB，∴BF+FG+BG=DP+AB=6+6=12，∴△BFG的周长等于12，∴△BFG的周长与m的取值无关．【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质、同角的余角相等、旋转的性质、矩形的判定与性质等知识与方法，证明△BPF≌△CPF及△ABP≌△DPC是解题的关键．25. 已知等式（1）①用含的代数式表示；②若均为正整数，求的值；（2）设，，分别是分式中的取（>>2）时所对应的值，试比较的大小，说明理由．【答案】（1）①②或者    （2），理由见详解【解析】【分析】（1）①合并含y的项，即可求解；②根据①的关系结合x、y为正整数即可求解；（2）根据题条件可知，，即有．设，，根据，可得，则有，，进而可得，依据，即可得．【小问1详解】①由得：，即，②∵x、y为正整数，，∴可知y只能为1或者2，∴当y=1时，x=4，当y=2时，x=3，即x、y的值为：或者；【小问2详解】，理由如下，根据题条件可知，，∵，∴，设，，∵，∴，∴，∵，，∴，，即，则有：，即，∵，∴，∴，∴，∴，结论得证．【点睛】本题主要考查了代数式的运算以及求解二元一次方程的正整数解等知识，解答本题要注重换元的思想．26. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（m，6）（m>0）．点P是OA边上一点，将△CPO沿CP翻折，使点O落在点Q处．（1）若m=8，①如图1，当点P与点A重合时，连接AQ交BC于点D，求点D的坐标；②如图2，当以B、C、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求△ABQ的面积；（2）在OA边上是否存在点P，使得△ABQ是以AB为底的等腰三角形？若存在，请直接写出的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）①；②或    （2）存在，且时，使得△ABQ是以AB为底的等腰三角形．【解析】【分析】（1）①由折叠的性质和平行线的性质可证CD=AD，由勾股定理可求CD的长，即可求解；②分两种情况讨论，等腰三角形的性质和勾股定理求出BE的长，即可求解；（2）可证△COQ是等边三角形，分别求出特殊位置时，m的值，即可求解．【小问1详解】①当m=8，∴点B的坐标为（8，6），∴BC=OA=8，OC=AB=6，∵BCOA，由折叠可得：∠CAO=∠DAC，∴∠BCA=∠DAC，∴CD=AD，∵，∴，，∴，②如图2，当CQ=BQ时，过点Q作QE⊥BC于E，QF⊥AB于F，∵CQ=BQ，QE⊥BC，∴CE=BE=4，∵QE⊥BC，QF⊥AB，∠ABC=90°，∴四边形QEBF是矩形，∴QF=BE=4，∴；如图3，当BC=BQ=8时，过点Q作EQ⊥CB于E，∵将△CPO沿CP翻折，使点O落在点Q处．∴CO=CQ=6，∵∴∴∴综上所述：当以B、C、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形时，△ABQ的面积为或；【小问2详解】存在，如图4，过点Q作QN⊥OC于N，∵△ABQ是以AB为底的等腰三角形，∴AQ=BQ，∴点Q在AB的垂直平分线上，又∵四边形OABC是矩形，∴点Q在CO的垂直平分线上，∴CQ=OQ，又∵CO=CQ，∴CQ=OQ=CO=6，∴△COQ是等边三角形，∵QN⊥CO，∴ON=3，∠OQN=30°，∴NQ=ON=3，∵将△CPO沿CP翻折，使点O落在点Q处．∴∠PCO=∠PCQ=30°，∴CO=OP=6，∴OP=2，当m≥2时，点Q能落在AB的垂直平分线上，当m=3时，点Q落在AB上，综上所述：当m≥2且m≠3时，使得△ABQ是以AB为底的等腰三角形．【点睛】本题考查了四边形综合，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．