泰州市姜堰区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题（含解析）

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泰州市姜堰区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）1. 下列图案不是轴对称图形的是（　　）A.  B. C.  D. 2. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）A.  B.  C.  D. 3. 若△ABC≌△DEF，△DEF的周长为12，AB=3，BC=4，则DF的长为（　　）A. 3 B. 4 C. 5 D. 64. 如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AB的长为3.6km，则M、C两点间的距离为（　　）A. 1.8km B. 3.6km C. 3km D. 2km5. 若点P（x，y）到x轴的距离为2，且xy=-8，则点P的坐标为（　　）A. （2，﹣4） B. （﹣2，4）或（2，﹣4）C. （﹣2，4） D. （﹣4，2）或（4，﹣2）6. 如图，△AOB顶点坐标分别为A（0，4）、B（3，0），将△AOB沿x轴向右平移，当点A落在直线y=3x-8上时，线段OA扫过的面积为（　　）A. 8 B. 10 C. 16 D. 20二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）7. 9的算术平方根是     ．8. 在等腰三角形ABC中，∠A=110°，则∠C=_____________．9. 人的眼睛可以看见的红光的波长沟0.000077 cm．请将数据0.000077精确到0.00001为_________．10. 已知A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在一次函数y＝（m﹣1）x+7的图象上，且当x1＜x2时，y1＜y2，则m的取值范围是 _____．11. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为 _____米．12. 若a、b是实数，且|a|＝+4，则a+b=_____．13. 如图，一次函数的图象经过和，则关于的不等式的解集为______．14. 如图，小明将一张正方形纸片对折，使得AB与CD重合，折痕为EF，展开后再沿BH折叠，使得点C刚好落在折痕EF上的C′处，若CH=1cm，则BC= _____cm．15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），点B在第一象限角平分线上，且BA⊥x轴，现将点A、B绕点O同时逆时针匀速旋转，当点A绕点O旋转90°到达y轴上的点C时，点B刚好绕点O旋转了45°到达y轴上的点D'处．则当点A旋转一周回到（2，0）时，点B所在的位置坐标为 _____．16. 如图，点A、B在x轴上，点C在y轴的正半轴上，且AC＝BC＝，OC＝1，P为线段AB上一点，则PC 2+PA⋅PB的值为 _____．三、解答题（本大题共10小题，共102分）17. （1）计算：+|﹣2|−（2021−π）0（2）解方程：（2x）2＝0.2518. 已知y+3与x成正比例，且当x＝1时，y＝﹣1．（1）求y与x的函数表达式；（2）当x为何值时，y的值是非负数．19. 如图，在边长为1个单位长度的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）将△ABC先向右平移5个单位，再向上平移3个单位，得到△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1；（2）建立适当的平面直角坐标系，使得点A的坐标为（﹣4，1）；（3）在（2）的条件下，直接写出点C1的坐标．20. 如图，已知等腰△ABC的底边BC=10cm，D是腰AC上一点，且CD=6cm，BD=8cm．（1）判断△BCD的形状，并说明理由；（2）求△ABC的周长．21. 如图，点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF，AB=DE，从①AB∥DE，②AC=DF，③∠A=∠D中选择一个作为补充条件，余下的两个中再选一个作为结论，请写出结论成立的证明过程．你选的补充条件是 　　，结论是 　　．（填序号）22. 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12．（1）用直尺和圆规在BC边上找一点D，使点D到AC的距离与DB的长相等；（2）求△ADC的面积．23. 已知一次函数y＝−x+b（b＞0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．（1）求A、B两点的坐标（用含b的代数式表示）；（2）若A、B与C（2，﹣1）构成的三角形ABC面积等于2，求b的值．24. 已知A、B两地相距150千米，甲车与乙车走同一条路线从A到B，甲车比乙车提前15分钟出发，但比乙车晚15分钟到达，图中线段OC、DE分别表示甲车和乙车行驶的路程s与行驶时间t之间的关系．根据图象回答下列问题：（1）甲车行驶多长时间，乙车追上甲车？（2）乙车行驶多长时间，两车路程相差15千米？25. 【阅读理解】在平面直角坐标系中，两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）的“直角距离”d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，如点P（-1，1）、Q（2，3）的“直角距离”d（P，Q）=5．【问题解决】已知点A的坐标为（2，1），点B在一次函数y＝x+2的图象上．（1）当点B的横坐标为﹣时，求d（A，B）的值；（2）若d（A，B）＝5，求点B的坐标；（3）若B点的横、纵坐标都为整数，且d（A，B）＝3，则写出符合条件的点B的坐标26. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，3）、B（-4，0），连接AB，点C为线段AB上的一个动点（点C不与A、B重合），过点C作CP⊥x轴，垂足为P，将线段AP绕点A逆时针旋转至AQ，且∠PAQ=∠BAO．连接OQ，设点C的横坐标为m．　　　（1）求经过点A、B的直线的函数表达式；（2）当m为何值时，△ACP≌△AOQ；（3）点C在运动的过程中，①在y轴上是否存在一点D，使得∠ADQ的大小始终不发生变化？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；②连接OQ，请直接写出OQ长度的取值范围．
答案与解析一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）1. 下列图案不是轴对称图形的是（　　）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【详解】解：选项A、C、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故选：B．【点睛】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．2. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数大于或等于0”进行求解即可.【详解】∵二次根式有意义，∴，∴，故选：C.【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.3. 若△ABC≌△DEF，△DEF的周长为12，AB=3，BC=4，则DF的长为（　　）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形的性质分别求出DE、EF，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】解：∵△ABC≌△DEF，AB=3，BC=4，∴DE=AB=3，EF=BC=4，∵△DEF的周长为12，∴DF=12-DE-EF=12-3-4=5，故选：C．【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．4. 如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AB的长为3.6km，则M、C两点间的距离为（　　）A. 1.8km B. 3.6km C. 3km D. 2km【答案】A【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可求解．【详解】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵M点是AB的中点，AB＝3.6km，∴CM＝AB＝1.8km．故选：A．【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．5. 若点P（x，y）到x轴的距离为2，且xy=-8，则点P的坐标为（　　）A. （2，﹣4） B. （﹣2，4）或（2，﹣4）C. （﹣2，4） D. （﹣4，2）或（4，﹣2）【答案】D【解析】【分析】根据有理数的乘法判断出x、y异号，根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，可得纵坐标为±2，进而得出横坐标．【详解】解：∵点P（x，y）到x轴的距离为2，∴点P的得纵坐标为±2，又∵且xy=-8，∴当y=2时，x=-4，当y=-2时，x=4，∴点P的坐标为（-4，2）或（4，-2）．故选：D．【点睛】本题考查的知识点是点的坐标，关键是根据点到坐标轴的距离与点的横纵坐标之间的关系求出点的坐标．6. 如图，△AOB顶点坐标分别为A（0，4）、B（3，0），将△AOB沿x轴向右平移，当点A落在直线y=3x-8上时，线段OA扫过的面积为（　　）A. 8 B. 10 C. 16 D. 20【答案】C【解析】【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A平移后所在的位置，结合OA的长可得出线段OA扫过的区域是边长为4的正方形，再求出正方形区域的面积即可求出线段OA扫过的面积为16．【详解】解：当y=4时，3x-8=4，解得：x=4，∴平移后点A落在的位置为点（4，4），∴线段OA扫过的区域是边长为4的正方形，∴线段OA扫过的面积=4×4=16．故选：C．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标图图形变化-平移，利用一次函数图象上点的坐标特征及平移的性质，找出线段OA扫过的区域是边长为4的正方形是解题的关键．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）7. 9的算术平方根是     ．【答案】3【解析】【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出．【详解】∵，∴9算术平方根为3．故答案为：3．【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．8. 在等腰三角形ABC中，∠A=110°，则∠C=_____________．【答案】35°【解析】【分析】根据钝角只能是顶角和等腰三角形的性质求得两个底角即可确定答案．【详解】∵等腰三角形中，∠A=110°＞90°，∴∠B==35°，故答案为35°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解钝角只能是等腰三角形的顶角．9. 人的眼睛可以看见的红光的波长沟0.000077 cm．请将数据0.000077精确到0.00001为_________．【答案】8×10-5【解析】【分析】将一个绝对值小于1的数表示成a×10n的形式．其规律如下：a是整数数位只有一位的数，n为该数第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前面的那个零）．【详解】解：0.000077≈0.00008=8×10-5．
故答案为：8×10-5．【点睛】本题考查了科学记数法，把一个数M记成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．规律：（1）当|M|≥1时，n的值为a的整数位数减1；（2）当|M|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．10. 已知A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在一次函数y＝（m﹣1）x+7的图象上，且当x1＜x2时，y1＜y2，则m的取值范围是 _____．【答案】【解析】【分析】由题意知，由一次函数图象性质可知，进而可得的取值范围．【详解】解：由题意知，由一次函数图象性质可知解得故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数定义、图象与性质．解题的关键在于对一次函数知识的熟练掌握．11. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为 _____米．【答案】1.6【解析】【分析】过点D作DE⊥AB于E，则CD=BE，DE=BC=1.2米，由勾股定理得出AE=0.9（米），则BE=AB-AE=1.6（米），即可得出答案．【详解】解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示：则CD=BE，DE=BC=1.2米=米，在Rt△ADE中，AD=1.5米=米，由勾股定理得：AE= =0.9（米），∴BE=AB-AE=2.5-0.9=1.6（米），∴CD=BE=1.6米，故答案为：1.6．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．12. 若a、b是实数，且|a|＝+4，则a+b=_____．【答案】-3或5##5或-3【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件和绝对值的概念求得a和b的值，从而代入求值．【详解】解：由题意可得b-10，2-2b0，解得：b=1，∴|a|=++4=4，解得：a=±4，当a=4，b=1时，原式=4+1=5，当a=-4，b=1时，原式=-4+1=-3，综上，a+b的值为-3或5．故答案为：-3或5．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，理解绝对值的概念，掌握二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）是解题关键．13. 如图，一次函数的图象经过和，则关于的不等式的解集为______．【答案】x≥2【解析】【分析】根据一次函数的性质及与一元一次不等式的关系即可直接得出答案．【详解】∵一次函数图象经过一、三象限，∴y随x的增大而增大，∵一次函数y＝kx+b的图象经过A（2，0）、B（0，﹣1）两点，∴x≥2时，y≥0，即kx+b≥0，故答案为：x≥2【点睛】本题主要考查一次函数和一元一次不等式的知识点，解答本题的关键是进行数形结合，此题比较简单．14. 如图，小明将一张正方形纸片对折，使得AB与CD重合，折痕为EF，展开后再沿BH折叠，使得点C刚好落在折痕EF上的C′处，若CH=1cm，则BC= _____cm．【答案】【解析】【分析】连接CC′，证明△BCC′是等边三角形，再由折叠的性质得到∠HBC=∠HBC′=30°，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可解决问题．【详解】解：如图，连接CC′，由折叠的性质知，折痕为EF是BC的垂直平分线，∴BC′=CC′，又由折叠的性质知，BC= BC′，∠HBC=∠HBC′，∴BC′=CC′=BC，∴△BCC′是等边三角形，∴∠C′BC=60°，∴∠HBC=∠HBC′=30°，在Rt△HBC中，∠HBC=30°，CH=1cm，∴HB=2cm，∴BC=（cm），故答案为：．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，0），点B在第一象限角平分线上，且BA⊥x轴，现将点A、B绕点O同时逆时针匀速旋转，当点A绕点O旋转90°到达y轴上的点C时，点B刚好绕点O旋转了45°到达y轴上的点D'处．则当点A旋转一周回到（2，0）时，点B所在的位置坐标为 _____．【答案】（-2，-2）【解析】【分析】由题意，△AOB是等腰直角三角形，判断出点B的位置，可得结论．【详解】解：∵当点A绕点O旋转90°到达y轴上的点C时，点B刚好绕点O旋转了45°到达y轴上的点D'处，∴点A每旋转90°，点B才旋转45°，由题意，△AOB是等腰直角三角形，∵A（2，0），∴OA=OB=2，OB=2，当点A旋转一周回到（2，0）时，即点A旋转了360°，则点B才旋转了180°，∴点B位于第三象限角平分线上，此时B（-2，-2），故答案为：（-2，-2）．【点睛】本题考查了图形变化-旋转，坐标确定位置，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．16. 如图，点A、B在x轴上，点C在y轴的正半轴上，且AC＝BC＝，OC＝1，P为线段AB上一点，则PC 2+PA⋅PB的值为 _____．【答案】5【解析】【分析】由勾股定理可求AO＝BO＝2，设点P（x，0），由勾股定理和两点之间距离公式可求解．【详解】解：∵AC＝BC＝，OC＝1，∴AO＝BO＝＝＝2，设点P（x，0），则PA＝x+2，PB＝2﹣x，PC2= x2+1，∴PC2+PA•PB＝x2+1+（x+2）（2﹣x）＝5，故答案为：5．【点睛】本题考查了勾股定理，坐标与图形性质，利用点的坐标表示线段的长是解题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共102分）17. （1）计算：+|﹣2|−（2021−π）0（2）解方程：（2x）2＝0.25【答案】（1）--1；（2）x=±0.25．【解析】【分析】（1）根据立方根，绝对值，零指数幂计算即可；（2）利用平方根的定义求解．【详解】解：（1）=-2+2--1=--1；（2）根据题意得2x=±0.5，∴x=±0.25．【点睛】本题考查了实数的运算，平方根，立方根，零指数幂，掌握一个正数的平方根有2个是解题的关键，不要漏解．18. 已知y+3与x成正比例，且当x＝1时，y＝﹣1．（1）求y与x的函数表达式；（2）当x为何值时，y的值是非负数．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）由题意知，将代入，求出的值，进而可得到y与x的函数表达式；（2）由题意知，则有，计算求解即可．【小问1详解】解：由题意知将代入得解得∴∴∴y与x的函数表达式为．【小问2详解】解：由题意知∴解得∴当时，y的值是非负数．【点睛】本题考查了正比例函数，一次函数，解一元一次不等式．解题的关键在于对知识的灵活运用．19. 如图，在边长为1个单位长度的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）将△ABC先向右平移5个单位，再向上平移3个单位，得到△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1；（2）建立适当的平面直角坐标系，使得点A的坐标为（﹣4，1）；（3）在（2）的条件下，直接写出点C1的坐标．【答案】（1）见解析    （2）见解析    （3）点C1的坐标（3，2）．【解析】【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；（2）根据要求建立平面直角坐标系即可；（3）根据点C1的位置写出坐标即可．【小问1详解】解：如图，△A1B1C1即为所求；【小问2详解】解：平面直角坐标系如图所示；【小问3详解】解：由图象得：点C1的坐标（3，2）．【点睛】本题考查了作图-平移变换，平面直角坐标系等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质．20. 如图，已知等腰△ABC的底边BC=10cm，D是腰AC上一点，且CD=6cm，BD=8cm．（1）判断△BCD的形状，并说明理由；（2）求△ABC的周长．【答案】（1）△BDC为直角三角形，理由见解析；    （2）△ABC的周长为=cm．【解析】【分析】（1）由BC=10cm，CD=8cm，BD=6cm，知道BC2=BD2+CD2，所以△BDC为直角三角形；（2）由此可求出AC的长，周长即可求出．【小问1详解】解：△BDC为直角三角形，理由如下，∵BC=10cm，CD=8cm，BD=6cm，而102=62+82，∴BC2=BD2+CD2．∴△BDC为直角三角形；【小问2详解】解：设AB=xcm，∵等腰△ABC，∴AB=AC=x，则AD=x-6，∵AB2=AD2+BD2，即x2=（x-6）2+82，∴x=，∴△ABC的周长=2AB+BC=（cm）．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用解答．21. 如图，点B、E、C、F在同一条直线上，BE=CF，AB=DE，从①AB∥DE，②AC=DF，③∠A=∠D中选择一个作为补充条件，余下的两个中再选一个作为结论，请写出结论成立的证明过程．你选的补充条件是 　　，结论是 　　．（填序号）【答案】①或②##②或①   ③【解析】【分析】若补充条件是①，可利用SAS证明△ABC≌△DEF，得③；若补充条件是②，可利用SSS证明△ABC≌△DEF，得③．【详解】解：补充条件是①，结论是③，证明如下：∵BE=CF，∴BC=EF，∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠A=∠D；补充条件是②，结论是③，证明如下：∵BE=CF，∴BC=EF，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠A=∠D，故答案为：①或②；③．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法（SAS，ASA，AAS，SSS，还有直角三角形的HL）是解题的关键．22. 如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12．（1）用直尺和圆规在BC边上找一点D，使点D到AC的距离与DB的长相等；（2）求△ADC的面积．【答案】（1）见解析    （2）S△ADC=．【解析】【分析】（1）作∠BAC的角平分线交BC于点D，点D即为所求；（2）利用面积法求解即可．【小问1详解】解：如图，点D即为所求；，【小问2详解】解：过点D作DH⊥AC于点H，由作图知，AD是∠BAC的平分线，∠B=90°，∴DB=DH．∵∠B=90°，AB=5，BC=12，∴AC= =13，∴S△ABC=S△ABD+S△ADC，∴×5×12=×5×DB+×13×DH，∴DB=DH=，∴S△ADC=×13×=．【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．23. 已知一次函数y＝−x+b（b＞0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．（1）求A、B两点的坐标（用含b的代数式表示）；（2）若A、B与C（2，﹣1）构成的三角形ABC面积等于2，求b的值．【答案】（1）A（2b，0），B（0，b）；    （2）b=．【解析】【分析】（1）分别令y=0和x=0求得点A和点B的坐标；（2）过点C作CD∥x轴，交直线y=-x+b于点D，然后求得点D的坐标，进而用含有b的式子表示CD的长度，再用含有b的式子表示△ABC的面积，最后利用△ABC的面积为2求得b的值．【小问1详解】解：令x=0时，y=b，则B（0，b）；令y=0时，-x+b=0，解得：x=2b，∴A（2b，0）；【小问2详解】解：如图，过点C作CD∥x轴，交直线y=-x+b于点D，∵C（2，-1），∴当y=-1时，-x+b=-1，解得：x=2b+2，∴点D的坐标为（2b+2，-1），∴CD=2b+2-2=2b，∴S△ABC=S△BCD-S△ACD=×CD×（yB-yC）-×CD×（yA-yC）=×CD×（yB-yA）=×2b×（b-0）=b2，∵S△ABC=2，∴b2=2，∴b=或b=-（舍）．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会用分割法表示△ABC的面积．24. 已知A、B两地相距150千米，甲车与乙车走同一条路线从A到B，甲车比乙车提前15分钟出发，但比乙车晚15分钟到达，图中线段OC、DE分别表示甲车和乙车行驶的路程s与行驶时间t之间的关系．根据图象回答下列问题：（1）甲车行驶多长时间，乙车追上甲车？（2）乙车行驶多长时间，两车路程相差15千米？【答案】（1）甲车行驶1小时，乙车追上甲车；    （2）乙车行驶小时或小时或小时，两车路程相差15千米．【解析】【分析】（1）根据已知求得甲的速度，乙的速度，得到线段OC解析式，线段DE解析式，即可解得t=1；（2）分三种情况：乙车出发还未追上甲车，乙车追上甲车后，乙车到达终点后，列出方程即可求解．【小问1详解】解：根据已知甲用2小时行驶150千米，乙用2--=小时行驶150千米，∴甲的速度是150÷2=75（千米/小时），乙的速度是150÷=100（千米/小时），∴线段OC解析式为：s=75t（0≤t≤2），线段DE解析式为s=100（t-）=100t-25（≤t≤），由得75t=100t-25，解得t=1，答：甲车行驶1小时，乙车追上甲车；【小问2详解】解：乙车出发还未追上甲车，即＜t≤1时，75t-（100t-25）=15，解得t=，此时乙车行驶时间是-=，乙车追上甲车后，即1＜t≤时，100t-25-75t=15，解得t=，此时乙车行驶时间是-=，乙车到达终点后，即＜t≤2时，150-75t=15，解得t=，此时乙车行驶时间是-=，综上所述，乙车行驶小时或小时或小时，两车路程相差15千米．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列出函数关系式．25. 【阅读理解】在平面直角坐标系中，两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）的“直角距离”d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，如点P（-1，1）、Q（2，3）的“直角距离”d（P，Q）=5．【问题解决】已知点A的坐标为（2，1），点B在一次函数y＝x+2的图象上．（1）当点B的横坐标为﹣时，求d（A，B）的值；（2）若d（A，B）＝5，求点B的坐标；（3）若B点的横、纵坐标都为整数，且d（A，B）＝3，则写出符合条件的点B的坐标【答案】（1）3；    （2）B（3，5）或（-2，0）；    （3）符合条件的点B的坐标为（-1，1）或（0，2）或（1，3）或（2，4）．【解析】【分析】（1）令x=-求得点B的坐标，然后通过定义求得d（A，B）的值；（2）先设B（x，x+2），然后用含有x的式子表示d（A，B），进而利用d（A，B）=5得到关于x的方程，最后解方程求得x的值即可得到点B的坐标；（3）先结合（2）中的过程求得满足条件的x的值，再由点B的横、纵坐标为整数求得符合条件的B点坐标．【小问1详解】解：当x=-时，y=-+2=，∴B（-，），∵A（2，1），∴d（A，B）=|2-（-）|+|1-|=3；【小问2详解】解：设B（x，x+2），则d（A，B）=|2-x|+|1-（x+2）|=|2-x|+|x+1|，∵d（A，B）=5，∴|2-x|+|x+1|=5，解得：x=3或x=-2，∴B（3，5）或（-2，0）；【小问3详解】解：设B（x，x+2），则d（A，B）=|2-x|+|1-（x+2）|=|2-x|+|x+1|，∵d（A，B）=3，∴|2-x|+|x+1|=3，当x-1时，2-x-x-1=3，解得：x=-1，此时B（-1，1）；当x2时，-2+x+x+1=3，解得：x=2，此时B（2，4）；当-12时，2-x+x+1=3，∵B点的横、纵坐标都为整数，∴x=0或x=1，此时B（0，2）或（1，3）综上，符合条件的点B的坐标为（-1，1）或（0，2）或（1，3）或（2，4）．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是能够理解新定义列出方程并能正确解含有绝对值的方程．26. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，3）、B（-4，0），连接AB，点C为线段AB上的一个动点（点C不与A、B重合），过点C作CP⊥x轴，垂足为P，将线段AP绕点A逆时针旋转至AQ，且∠PAQ=∠BAO．连接OQ，设点C的横坐标为m．　　　（1）求经过点A、B的直线的函数表达式；（2）当m为何值时，△ACP≌△AOQ；（3）点C在运动的过程中，①在y轴上是否存在一点D，使得∠ADQ的大小始终不发生变化？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；②连接OQ，请直接写出OQ长度的取值范围．【答案】（1）直线AB的表达式为y=x+3；    （2）当m=-时，△ACP≌△AOQ；    （3）①存在点D（0，-2），使∠ADQ的大小始终不变；②≤OQ≤．【解析】【分析】（1）设AB的函数表达式是：y=kx+b，将点A、B两点坐标代入，进而求得结果；（2）可得AC=OA=3时，△ACP≌AOQ，表示出点C的坐标，根据AC=3列出方程求得结果；（3）①当AD=AB时，△BAP≌△DAQ，此时AD=AB=5，求得D（0，-2），从而∠ADQ=∠ABO，故∠ADQ不变；②因为点Q在①中的直线上运动，故当OQ⊥DV时，值最小，当点C运动到A点时，OQ最大，从而确定结果．【小问1详解】解：设直线AB的表达式是：y=kx+3，把（-4，0）代入得0=-4k+3，解得：k=，∴直线AB的表达式为y=x+3；【小问2详解】解：∵∠BAO=∠PAQ，∴∠BAO-∠PAO=∠PAQ-∠PAO，即：∠BAP=∠QAO，∵AP=AQ，∴当AC=AO=3时，△ACP≌△AOQ（SAS），∵C（m，m+3），∴m2+（m+3−3）2=32，∴m=-（正值舍去）；【小问3详解】解：①∵∠ABO的大小固定不变，∴假设存在点D，使∠ADQ=∠ABO，如图，∵∠AOB=90°，OA=3，OB=4，由勾股定理得AB=5，由（2）得：∠BAP=∠DAQ，AP=AQ，又∠ADQ=∠ABP，∴△BAP≌△DAQ（AAS），∴AD=AB=5，∴D（0，-2），∴存在点D（0，-2）使∠ADQ=∠ABO，即∠ADQ的大小始终不变；②由①知：点Q在直线DV上运动，即∠ADV=∠ABO，如图，当点C运动到A点时，此时Q点运动到F点，OF最大，即OQ最大， ∴∠BAO=∠FAO，作点F关于y轴的对称点G，此时点G在线段AB上，可得AF=OA=AG=3，OF=OG，由（2）得G（-，），∴OF=OG=，作OE⊥DV于E，当Q点运动到E点时，OQ最小，如图：设DV交x轴于点H，∵∠ADV=∠ABO，∴∠DOE=∠BCP，即∠AOE=∠ACP，∵∠BAP=∠DAE，AP=AE，∴△CAP≌△OAE（AAS），∴OA=AC=3，OE=PC，同（2）得C（-，），∴OE=PC=，∴≤OQ≤．【点睛】本题考查了求一次函数关系式，全等三角形的判定和性质，直角三角形的勾股定理运用等知识，解决问题的关键是根据旋转不变性构造全等三角形．