2022-2023 数学浙教版新中考精讲精练 考点19等腰三角形

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考点19等腰三角形考点总结  等腰三角形：（1）定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形.（2）判定①有两条边相等的三角形是等腰三角形；②有两个角相等的三角形是等腰三角形，即“等角对等边”；（3）性质①等腰三角形的两腰相等，两个底角相等；②三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合；③对称性：等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴，对称轴是底边的中垂线.（4）性质推广①等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半；②等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高；③等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高2.等边三角形（1）定义：三边相等的三角形叫做等边三角形.等边三角形是特殊的等腰三角形.（2）对称性：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴（3）判定①三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都是60°的三角形是等边三角形；③有一个角都是60°的等腰三角形是等边三角形；4.线段的中垂线的性质定理：线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等；逆定理：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的中垂线上. 真题演练 一、单选题1．（2021·浙江杭州·中考真题）已知线段，按如下步骤作图：①作射线，使；②作的平分线；③以点为圆心，长为半径作弧，交于点；④过点作于点，则（    ）
 A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意易得∠BAD=45°，AB=AE，进而可得△APE是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可求解．【详解】解：∵，∴，∵AD平分，∴∠BAD=45°，∵，∴△APE是等腰直角三角形，∴AP=PE，∴，∵AB=AE，∴，∴；故选D．2．（2021·浙江绍兴·中考真题）如图，菱形ABCD中，，点P从点B出发，沿折线方向移动，移动到点D停止．在形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（   ）
 A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形【答案】C【分析】是特殊三角形，取决于点P的某些特殊位置，按其移动方向，逐一判断即可．【详解】解：连接AC，BD，如图所示．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，∠D=∠B．∵∠B=60°，∴∠D=∠B=60°．∴和都是等边三角形．点P在移动过程中，依次共有四个特殊位置：（1）当点P移动到BC边的中点时，记作．∵是等边三角形，是 BC的中点，∴．∴．∴是直角三角形．（2）当点P与点C重合时，记作．此时，是等边三角形；（3）当点P移动到CD边的中点时，记为．∵和都是等边三角形，∴．∴是直角三角形．（4）当点P与点D重合时，记作．∵，∴是等腰三角形．综上，形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是：直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形．故选：C3．（2021·浙江宁波·中考真题）如图，在中，于点D，．若E，F分别为，的中点，则的长为（    ）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】根据条件可知△ABD为等腰直角三角形，则BD=AD，△ADC是30°、60°的直角三角形，可求出AC长，再根据中位线定理可知EF=。【详解】解：因为AD垂直BC，则△ABD和△ACD都是直角三角形，又因为所以AD=，因为sin∠C=，所以AC=2，因为EF为△ABC的中位线，所以EF==1，故选：C．4．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）如图，正方形ABCD的顶点A、B在⊙O上，顶点C、D在⊙O内，将正方形ABCD绕点B顺时针旋转α度，使点C落在⊙O上．若正方形ABCD的边长和⊙O的半径相等，则旋转角度α等于（    ）A．36° B．30° C．25° D．22.5°【答案】B【分析】连接OA，OB，OG，由旋转的性质可得，AB=BG，∠ABE=∠CBG=α，先证明△OAB和△OBG都是等边三角形，得到∠OBA=∠OBG=60°，再由∠ABO+∠OBG=∠ABC+∠CBG=120°，求解即可．【详解】解：如图所示，连接OA，OB，OG，由旋转的性质可得，AB=BG，∠ABE=∠CBG=α∵正方形ABCD的边长和⊙O的半径相等，∴OA=OB=OG=BG=AB，∴△OAB和△OBG都是等边三角形，∴∠OBA=∠OBG=60°，∵∠ABO+∠OBG=∠ABC+∠CBG=120°，∠ABC=90°（正方形的性质），∴∠CBG=30°，∴α=30°，故选B．5．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）三模）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，F是AC的中点，过点F作EF⊥AC交AB于点E，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（　　）A．3π B．4π C．6π D．9π【答案】D【分析】先根据等腰三角形的三线合一可得AD是BC的垂直平分线，从而可得点O即为外接圆的圆心，再利用圆的面积公式即可得．【详解】解：，AD是的平分线，且AD是BC边上的中线（等腰三角形的三线合一）是BC的垂直平分线是AC的垂直平分线点O为外接圆的圆心，OA为外接圆的半径外接圆的面积为故选：D．6．（2021·浙江婺城·三模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AC＝1，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则AD的长为（　　）A． B． C．2 D．5【答案】C【分析】利用基本作图可判断MN垂直平分AB，则利用线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，所以∠DAB＝∠B＝15°，再利用三角形外角性质得∠ADC＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系可得到AD的长．【详解】解：由作法得MN垂直平分AB，则DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝15°，∴∠ADC＝∠DAB+∠B＝30°，在Rt△ACD中，AD＝2AC＝2．故选C．7．（2021·浙江余杭·二模）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D．设∠A＝α，∠D＝β，则（　　）A．α﹣β B．α+β＝90° C．2α+β＝90° D．α+2β＝90°【答案】C【分析】连接OC， 由∠BOC是△AOC的外角，可得∠BOC＝2∠A＝2α，由CD是⊙O的切线，可求∠OCD＝90°，可得∠D＝90°﹣2α＝β即可．【详解】连接OC，如图，∵⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∴AB是直径，∵∠A＝α，OA=OC，∠BOC是△AOC的外角，∴∠A=∠ACO，∴∠BOC=∠A+∠ACO＝2∠A＝2α，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，∴∠D＝90°﹣∠BOC＝90°﹣2α＝β，∴2α+β＝90°．故选：C．8．（2021·浙江定海·一模）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，交于点；再分别以点和点为圆心，大于的长为半轻作弧，两弧相交于点，作射线交于点，若以点为圆心，长为半径作两段弧，一段弧过点，而另一段弧恰好经过点，则此时度数为（    ）．
 A．20° B．30° C．36° D．40°【答案】C【分析】连接AD，通过等腰三角形性质，进行角的等量代换，由，求解即可．【详解】解：如下图，连接AD
 ∵由作图可知，为的垂直平分线，∴，∴，又∵∴又∵，， ∴，，又∵ ∴又∵， ∴，∴．故选： 二、填空题9．（2021·浙江台州·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为_____．
 【答案】6【分析】根据作图可得DF垂直平分线段AB，利用线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得△AFH的周长，即可求解．【详解】解：由作图可得DF垂直平分线段AB，∴，∵以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，∴，∴∵，∴，∴△AFH的周长，故答案为：6．10．（2021·浙江杭州·中考真题）如图，在直角坐标系中，以点为端点的四条射线，，，分别过点，点，点，点，则______（填“”“”“”中的一个）．【答案】=【分析】连接DE，判断△ABC和△ADE是等腰直角三角形，即可得到．【详解】解：连接DE，如图∵点，点，点，点，点，由勾股定理与网格问题，则，，∴△ABC是等腰直角三角形；∵，，∴，∴，∴△ADE是等腰直角三角形；∴；故答案为：=．11．（2021·浙江金华·中考真题）如图，菱形的边长为，，将该菱形沿AC方向平移得到四边形，交CD于点E，则点E到AC的距离为____________．【答案】2【分析】首先根据菱形对角线的性质得出AC的长，然后利用菱形对角线平分对角和平移的性质得出等腰 ，过顶点作垂线段EF，利用三线合一得出CF的长，再利用直角三角形30°所对的直角边等于斜边一半和勾股定理列出方程，即可求解．【详解】∵∠BAD=60°，∴连接对角线AC,BD，则AC⊥BD，且AC平分∠BAD,∴在Rt△ADO中， 利用勾股定理得 又∵AC=2AO,∴AC= ，由题可知 =，∴A’C=;由平移可知 =∠DAC=30°,而∠DAC=∠DCA,∴=∠DCA，即==30°，∴ 是等腰三角形；过点E作EF⊥AC，垂足为F，如图所示：则由等腰三角形三线合一可得：A’F=FC=,在Rt△ECF中， ,设EF=x，则EC=2x，由勾股定理得： ，解得x=2，故填：2．12．（2021·浙江绍兴·中考真题）如图，在中，，，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则的度数是_______．
 【答案】或【分析】分①点P在BC的延长线上，②点P在CB的延长线上两种情况，再利用等腰三角形的性质即可得出答案．【详解】解：①当点P在BC的延长线上时，如图
 ∵，，∴∴∵以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，∴AC=PC∴∵∴∴②当点P在CB的延长线上时，如图
 由①得，∵AC=PC∴∴故答案为：或13．（2021·浙江·中考真题）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（是正五边形的五个顶点），则图中的度数是_______度．【答案】36【分析】根据题意，得五边形（是正五边形的五个顶点）为正五边形，且；根据多边形内角和性质，得正五边形内角和，从而得；再根据补角、等腰三角形、三角形内角和性质计算，即可得到答案．【详解】∵正五角星（是正五边形的五个顶点）∴五边形（是正五边形的五个顶点）为正五边形，且∴正五边形内角和为： ∴ ∴ ∵∴ ∴ 故答案为：36． 三、解答题14．（2021·浙江衢州·中考真题）如图，在中，，BC与相切于点D，过点A作AC的垂线交CB的延长线于点E，交于点F，连结BF．（1）求证：BF是的切线．（2）若，，求EF的长．【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）连接，根据题意证明，即可证明BF是的切线；（2）根据题意即（1）的结论可得，列比例求出FB的长，根据勾股定理求EF即可．【详解】（1）证明如图，连接，，，，又切BC于点D，，，．又，，，，是的切线．（2）由（1）得：，，，，，，，，．15．（2021·浙江杭州·中考真题）如图，在中，的平分线交边于点，于点．已知，．
 （1）求证：．（2）若，求的面积【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据题意证明即可；（2）根据特殊角的锐角三角函数求得BE、EC的长，用三角形面积公式计算即可．【详解】解：（1）因为平分，所以．所以，又因为，所以，所以．（2）由题意，得，，所以，所以的面积为．16．（2021·浙江台州·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝20，BC＝DC＝10
 （1）求证：△ABC≌△ADC；（2）当∠BCA＝45°时，求∠BAD的度数．【答案】（1）见详解；（2）60°【分析】（1）通过SSS证明△ABC≌△ADC，即可；（2）先证明AC垂直平分BD，从而得是等腰直角三角形，求出BO= 10，从而得BD=20，是等边三角形，进而即可求解．【详解】（1）证明：在△ABC和△ADC中，∵ ∴△ABC≌△ADC（SSS），（2）连接BD，交AC于点O，∵△ABC≌△ADC，∴AB=AD，BC=DC，∴AC垂直平分BD，即：∠AOB=∠BOC=90°，又∵∠BCA＝45°，∴是等腰直角三角形，∴BO=BC÷=10÷=10，∴BD=2BO=20，∵AB＝AD＝20，∴是等边三角形，∴∠BAD=60°．
 17．（2021·浙江宁波·中考真题）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点的位置，且A，B，三点共线，，B为中点，当时，伞完全张开．
 （1）求的长．（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：）【答案】（1）20cm；（2）26.4cm【分析】（1）根据中点的性质即可求得；（2）过点B作于点E．根据等腰三角形的三线合一的性质求出．利用角平分线的性质求出∠BAE的度数，再利用三角函数求出AE，即可得到答案．【详解】解：（1）∵B为中点，∴，∵，∴．（2）如图，过点B作于点E．
 ∵，∴．∵平分，∴．在中，，∴，∴．∵，∴，∴伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为．18．（2021·浙江温州·中考真题）如图，是的角平分线，在上取点，使．（1）求证：．（2）若，，求的度数．【答案】（1）见解析；（2）35°【分析】（1）直接利用角平分线的定义和等边对等角求出，即可完成求证；
（2）先求出∠ADE，再利用平行线的性质求出∠ ABC，最后利用角平分线的定义即可完成求解．
【详解】解：（1）平分，．，，，．（2），，．．．平分，，即．