2022-2023 数学浙教版新中考精讲精练 考点14二次函数的图象与性质

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考点14二次函数的图象与性质考点总结1．二次函数的定义：一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数．2．二次函数的三种表达式：(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)．(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0)，顶点坐标是(h，k)．(3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2是常数，a≠0)，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，图象的对称轴为直线 x＝．3．二次函数的图象与性质：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，当a＞0时，抛物线的开口向上，这时当x≤－时，y随x的增大而减小；当x≥－时，y随x的增大而增大；当x＝－时，y有最小值．当a＜0时，抛物线开口向下，这时当x≤－时，y随x的增大而增大；当x≥－时，y随x的增大而减小；当x＝－时，y有最大值．该抛物线的对称轴是直线x＝－，顶点坐标是．4．二次函数的图象的平移：平移规律：左右平移由h值决定：左加右减；上下平移由k值决定：上加下减．二次函数与轴交点情况5.对于二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：①△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；②△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；③△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点. 真题演练 一、单选题1．（2021·浙江杭州·中考真题）在“探索函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，，同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中的值最大为（    ）
 A． B． C． D．【答案】A【分析】分四种情况讨论，利用待定系数法，求过，，，中的三个点的二次函数解析式，继而解题．【详解】解：设过三个点，，的抛物线解析式为：分别代入，，得解得；设过三个点，，的抛物线解析式为：分别代入，，得解得；设过三个点，，的抛物线解析式为：分别代入，，得解得；设过三个点，，的抛物线解析式为：分别代入，，得解得；最大为，故选：A．2．（2021·浙江杭州·中考真题）已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，则称函数和具有性质．以下函数和具有性质的是（    ）A．和B．和C．和D．和【答案】A【分析】根据题中所给定义及一元二次方程根的判别式可直接进行排除选项．【详解】解：当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，对于A选项则有，由一元二次方程根的判别式可得：，所以存在实数m，故符合题意；对于B选项则有，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；对于C选项则有，化简得：，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；对于D选项则有，化简得：，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；故选A．3．（2021·浙江绍兴·中考真题）关于二次函数的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　）A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值6 D．有最小值6【答案】D【分析】根据二次函数的解析式，得到a的值为2，图象开口向上，函数有最小值，根据定点坐标（4,6），即可得出函数的最小值．【详解】解：∵在二次函数中，a=2>0，顶点坐标为（4,6），∴函数有最小值为6．故选：D．4．（2021·浙江·中考真题）已知抛物线与轴的交点为和，点，是抛物线上不同于的两个点，记的面积为的面积为．有下列结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确结论的个数是（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】通过和的不等关系，确定，在抛物线上的相对位置，逐一分析即可求解．【详解】解：∵抛物线与轴的交点为和，∴该抛物线对称轴为，当时与当时无法确定，在抛物线上的相对位置，故①和②都不正确；当时，比离对称轴更远，且同在x轴上方或者下方，∴，∴，故③正确；当时，即在x轴上到2的距离比到的距离大，且都大于1，可知在x轴上到2的距离大于1，到2的距离不能确定，所以无法比较与谁离对称轴更远，故无法比较面积，故④错误；故选：A．5．（2021·浙江宁波·二模）已知函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（　　）A． B． C．且k≠0 D．且k≠0【答案】B【分析】对分情况进行讨论，时，为一次函数，符合题意；时，二次函数，求解即可．【详解】解：当时，函数为，为一次函数，与x轴有交点，符合题意；当，函数为，为二次函数，因为图像与x轴有交点所以，，解得且综上，故选B6．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）三模）已知二次函数y1＝mx2+nx﹣3（m≠0）经过点(2，﹣3)．不论m取何实数，若直线y2＝m2x+k总经过y1的顶点，则k的取值可以是（　　）A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2【答案】A【分析】将将点（2，﹣3）坐标代入抛物线求得n＝﹣2m的关系，再求得抛物线顶点坐标，将顶点坐标代入直线解析式，求得与的关系，即可求解．【详解】解：将点（2，﹣3）坐标代入抛物线y1的表达式得：﹣3＝4m+2n﹣3，解得：n＝﹣2m，故抛物线y1＝mx2﹣2mx﹣3，∵y1＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3∴抛物线y1的顶点坐标为：（1，﹣3﹣m），代入y2＝m2x+k得：﹣3﹣m＝m2+k，∴故k有最大值，此时，时，最大值为，故，故选：A．7．（2021·浙江余杭·二模）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于（﹣1，0），（　　）A．若c＞0，则对称轴在y轴右侧 B．若c＞0，则对称轴在y轴左侧C．若c＜0，则对称轴在y轴右侧 D．若c＜0，则对称轴在y轴左侧【答案】D【分析】将图象与x轴交代入函数关系式得出系数b与c的关系式，用含c的代数式表示出对称轴，再判断选项即可．【详解】解：将点（﹣1，0）代入函数关系式得，0＝﹣1﹣b+c，即b＝c﹣1，又∵对称轴x（c﹣1），当c＞0时，对称轴x（c﹣1），无法判断正负；当c＜0时，对称轴x（c﹣1），故对称轴在y轴的左侧，故选：D．8．（2021·浙江萧山·二模）对于一个函数，当自变量x取a时，其函数值y等于2a，我们称a为这个函数的二倍数．若二次函数y＝x2+x+c（c为常数）有两个不相等且小于1的二倍数，则c的取值范围是（　　）A．c＜ B．0＜c＜ C．﹣1＜c＜ D．﹣1＜c＜0【答案】B【分析】由函数的二倍数概念得出x1、x2是方程x2+x+c=2x的两个实数根，由△＞0且x=1时y＞0，即可求解．【详解】解：由题意知二次函数y=x2+x+c有两个不相等且小于1的二倍数，∴x1、x2是方程x2+x+c=2x的两个不相等实数根，且x1、x2都小于1，整理，得：x2-x+c=0，由x2-x+c=0有两个不相等的实数根知：△＞0，即1-4c＞0①，令y=x2-x+c，画出该二次函数的草图如下：而x1、x2（设x2在x1的右侧）都小于1，即当x=1时，y=x2-x+c=c＞0②，联立①②并解得：0＜c＜，故选：B．9．（2021·浙江萧山·一模）平面直角坐标系中有两条抛物线与，其中．下列三个结论中：①如果抛物线与轴的一个交点为，那么是抛物线与轴的一个交点；②如果当时随的增大而增大，那么当时也随的增大而增大；③如果，那么的取值范围为．其中正确结论是（　　）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】将代入变形即可判断①，开口向上的抛物线随的增大而增大则对称轴在轴左侧，判断对称轴即可判断②，解即可判断③．【详解】解：将代入得：，∵，∴，两边同除以得：，即是的根，∴是抛物线与轴的一个交点，①正确；∵当时随的增大而增大，且（开口向上），∴对称轴在轴左侧，即，∵，∴，即y2对称轴也在轴左侧，开口向上，∴当时也随的增大而增大，②正确；可得，∵，∴，即，③正确；故选：D．10．（2021·浙江鄞州·一模）如图，在平面直角坐标系中，有一系列的抛物线（为正整数），若和的顶点的连线平行于直线，则该条抛物线对应的的值是（    ）A．8 B．9 C．11 D．10【答案】B【分析】将x=1代入抛物线解析式，得到C1的顶点坐标为（1,1），设直线的解析式为+b，将点C1的坐标（1,1）代入求出直线的解析式为-9，再将Cn的顶点坐标为（n，）代入，求出n的值即可．【详解】解：当x=1时，抛物线C1的顶点坐标为（1,1）∵和的顶点的连线平行于直线，∴设直线的解析式为+b，将点C1的坐标（1,1）代入，得10+b=1，解得b=-9，∴直线的解析式为-9，将抛物线Cn的顶点坐标为（n，）代入，得，解得n=1或n=9故选：B． 二、填空题11．（2021·浙江台州·中考真题）以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt4.9t2，现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1（如图1）；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2（如图2）．若h1＝2h2，则t1：t2＝_____．【答案】【分析】根据函数图像分别求出两个函数解析式，表示出，，，，结合h1＝2h2，即可求解．【详解】解：由题意得，图1中的函数图像解析式为：h＝v1t4.9t2，令h=0，或（舍去），，图2中的函数解析式为：h＝v2t4.9t2， 或（舍去），，∵h1＝2h2，∴=2，即：=或=-（舍去），∴t1：t2=：=，故答案是：．12．（2021·浙江·中考真题）已知在平面直角坐标系中，点的坐标为是抛物线对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使为直角三角形的点的个数也随之确定．若抛物线的对称轴上存在3个不同的点，使为直角三角形，则的值是____．【答案】2或【分析】分，和 确定点M的运动范围，结合抛物线的对称轴与，，共有三个不同的交点，确定对称轴的位置即可得出结论．【详解】解：由题意得：O（0,0），A（3，4）∵为直角三角形，则有：①当时， ∴点M在与OA垂直的直线上运动 （不含点O）；如图，②当时，，∴点M在与OA垂直的直线上运动 （不含点A）；③当时，，∴点M在与OA为直径的圆上运动，圆心为点P，∴点P为OA的中点，∴ ∴半径r= ∵抛物线的对称轴与x轴垂直由题意得，抛物线的对称轴与，，共有三个不同的交点，∴抛物线的对称轴为的两条切线，而点P到切线，的距离 ，又∴直线的解析式为：；直线的解析式为：；∴或4∴或-8故答案为：2或-813．（2021·浙江鹿城·二模）某校购买了一套乒乓球桌和自动发球机，侧面如图1所示，球台长度AB＝274cm，发球机紧贴球台端线点A处，高出球台的部分AC＝12cm，出球管道，若将水平状态的CD绕点C逆时针旋转45°到CD的位置，发球机模式为“一跳球”，路线呈抛物线，离球台正中间的球网GH左侧72cm处到达最高点高出台面21cm，则___________cm．【答案】【分析】以AC为y轴，以AB为x轴，A为原点建立平面直角坐标系，设抛物线最高点为N，对称轴MN与x轴交于M，则MN=21，根据题意写出抛物线解析式y=a（x65）2+21（a＜0），然后通过旋转求出D′坐标，再把D′坐标代入抛物线求出a，再令y=0解一元二次方程求出E对岸坐标即可．【详解】解：以AC为y轴，以AB为x轴，A为原点建立平面直角坐标系，如图，设抛物线最高点为N，对称轴MN与x轴交于M，则MN=21，∴AB=274，∵GH是AB正中间，∴AH=AB=137，∴AM=AH-MH=13772=65，设抛物线为：y=a（x-65）2+21（a＜0），过D′作D′P⊥x轴交CD于点Q，交x轴于点P，则∠CQD′=∠APQ=90°，∵旋转45°，∴CD′=，CQ=D′Q=CD′cos∠D′CD=5，∴D′P=D′Q+PQ=5+12=17，∴D′（5，17）代入抛物线得：a×（5-65）2+21=17，∴，∴y=（x65）2+21，令y=0，则（x65）2+21=0，解得：x1=65+30，x2=65-30（舍去），∴E（65+30，0），∴EB=AB-AE=274-（65+30）=（209-30）（cm），故答案为：20930．14．（2021·浙江东阳·一模）如图，二次函数的图像经过一个顶点在原点的正方形的另三个顶点，则_______．【答案】【分析】如图，由题意易得点A、B关于y轴对称，点，进而根据正方形的性质可得点，然后代入二次函数解析式进行求解即可．【详解】解：如图，∴A、B关于y轴对称，∵四边形AOBC是正方形，∴，AB与OC相互平分，令x=0时，则有，∴点，∴，∴点，把点A代入得：，解得：，∵，∴；故答案为．15．（2021·浙江椒江·一模）如图，中，，，等边三角形的顶点D，E，F分别在直角三角形的三边上，则长的最小值是____．【答案】【分析】过点D作于点G，证，设，用表示，然后根据二次函数的性质即可解答．【详解】解：过点D作于点G，∵，是等边三角形∴，∴，∵DE=DF，∴，∴．设，则，在中，，∴．∴当时，最小，．故答案是：． 三、解答题16．（2021·浙江绍兴·中考真题）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB是抛物线的一部分，抛物线的顶点C在y轴上，杯口直径，且点A，B关于y轴对称，杯脚高，杯高，杯底MN在x轴上．（1）求杯体ACB所在抛物线的函数表达式（不必写出x的取值范围）．（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体所在抛物线形状不变，杯口直径，杯脚高CO不变，杯深与杯高之比为0.6，求的长．【答案】（1）；（2）【分析】（1）确定B点坐标后，设出抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）利用杯深 CD′ 与杯高 OD′ 之比为0.6，求出OD′ ，接着利用抛物线解析式求出B'或A'横坐标即可完成求解．【详解】解：（1）设，
∵杯口直径 AB=4 ，杯高 DO=8 ，
∴将，代入，得，．（2），，，，当时，，或，，即杯口直径的长为．17．（2021·浙江杭州·中考真题）在直角坐标系中，设函数（，是常数，）．（1）若该函数的图象经过和两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．（2）写出一组，的值，使函数的图象与轴有两个不同的交点，并说明理由．（3）已知，当（，是实数，）时，该函数对应的函数值分别为，．若，求证．【答案】（1），顶点坐标是；（2），，理由见解析；（3）见解析．【分析】（1）把点和代入二次函数解析式进行求解，然后把一般式化为顶点式即可求解顶点坐标；（2）根据二次函数的图象与系数的关系可直接进行求解；（3）由题意，得，，则有，进而问题可求解．【详解】解：（1）把点和代入得：，解得，∴，则化为顶点式为，∴该函数图象的顶点坐标是；（2）例如，，此时；因为，所以函数图象与轴有两个不同的交点；（3）由题意，得，，∵，∴，由题意，知，所以．18．（2021·浙江宁波·中考真题）如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线．（1）求a的值．（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．【答案】（1）；（2）【分析】（1）把二次函数化为一般式，再利用对称轴：，列方程解方程即可得到答案；（2）由（1）得：二次函数的解析式为：，再结合平移后抛物线过原点，则 从而可得平移方式及平移后的解析式．【详解】解：（1）．∵图象的对称轴为直线，∴，∴．（2）∵，∴二次函数的表达式为，∴抛物线向下平移3个单位后经过原点，∴平移后图象所对应的二次函数的表达式为．