高中数学苏教版 (2019)必修 第一册第3章 不等式3.1 不等式的基本性质优秀课后练习题

3.1　不等式的基本性质

【考点梳理】

考点一：比较大小的方法

考点二：重要不等式

∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

考点三：等式的基本性质

(1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.

(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc.

(5)如果a＝b，c≠0，那么＝.

考点四二　不等式的性质

【题型归纳】

题型一：已知条件判断所给不等式的大小

1．（2022·陕西·扶风县法门高中高一阶段练习）下列结论正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，则

2．（2022·江苏·南京市中华中学高一阶段练习）下列结论正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

3．（2022·广东·东莞市海德实验学校高一阶段练习）已知均为实数，则下列命题中错误的是（　　）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，则

题型二：不等式的性质比较数的大小

4．（2022·全国·高一单元测试）已知，则下列大小关系正确的是（    ）

A． B．

C． D．

5．（2022·北京平谷·高一期末）已知a，b，，那么下列命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，，则

6．（2022·全国·高一课时练习）已知，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

题型三：作差法或作商法比较不等式的大小

7．（2022·河南省叶县高级中学高一阶段练习）若，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

8．（2022·全国·高一课时练习）设a＞b＞1，y1，则y1，y2，y3的大小关系是（    ）

A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1

9．（2021·山东·泰安一中高一期中）设，，则（    ）．

A． B． C． D．

题型四：利用不等式求取值范围

10．（2022·江苏省如皋中学高一阶段练习）已知实数，满足，，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

11．（2021·全国·高一期中）已知实数满足，，则的取值范围是（      ）

A． B．

C． D．

12．（2021·山东·临沂第二中学高一阶段练习）若，，则的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

题型五：由不等式性质证明不等式

13．（2021·全国·高一专题练习）（1）若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤；

（2）已知c>a>b>0，求证：

14．（2021·黑龙江·尚志市尚志中学高一阶段练习）已知，，（1）.求证：；

（2）若，求证：；

15．（2022·全国·高一专题）（1）若，，求证：；

（2），，，求证：

【双基达标】

一、单选题

16．（2022·广东·东莞市海德实验学校高一阶段练习）已知﹣1＜a+b＜3，且2＜a﹣b＜4，那么的取值范围是（     ）

A． B．

C． D．

17．（2022·河南·中学生学习报附中高一阶段练习）已知，，则M，N的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

18．（2022·陕西·扶风县法门高中高一阶段练习）“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

19．（2022·广东·东莞实验中学高一阶段练习）下列命题中，是真命题的是（    ）

A．如果，那么 B．如果，那么

C．如果，那么 D．如果，那么

20．（2022·湖南·衡阳市第六中学高一开学考试）已知是关于的不等式的一个解，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

21．（2022·山东·惠民县第二中学高一阶段练习）如果，则正确的是（    ）

A．若a>b，则 B．若a>b，则

C．若a>b，c>d，则a+c>b+d D．若a>b，c>d，则ac>bd

【高分突破】

一、单选题

22．（2022·全国·高一课时练习）下列命题正确的是（    ）

A． B．

C．且 D．

23．（2022·全国·高一专题练习）已知，且，则以下不正确的是（    ）

A． B． C． D．

24．（2022·湖南·新化县教育科学研究所高一期末）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（    ）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，则

D．若，则

25．（2022·山西吕梁·高一期末）已知，则（    ）

A． B．

C． D．的取值范围是

二、多选题

26．（2022·吉林·东北师大附中高一阶段练习）实数，，，满足：，则下列不等式正确的是（    ）

A． B． C． D．

27．（2022·宁夏·银川二中高一阶段练习）下列说法正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

28．（2022·河北·青龙满族自治县实验中学高一阶段练习）若、、，，则下列不等式不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

29．（2022·湖北·沙市中学高一阶段练习）已知均为实数，下列命题正确的是（    ）

A．已知，则存在负数使成立

B．“”是“”的充分不必要条件

C．若，，，则

D．若正数满足，则

30．（2022·江苏省如皋中学高一开学考试）已知，下列命题为真命题的是(    )

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

31．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高一阶段练习）2022年1月，在世界田联公布的2022赛季首期各项世界排名中，我国一运动员以1325分排名男子100米世界第八名，极大地激励了学生对百米赛跑的热爱．甲、乙、丙三名学生同时参加了一次百米赛跑，所用时间（单位：秒）分别为，，．甲有一半的时间以速度（单位：米/秒）奔跑，另一半的时间以速度奔跑；乙全程以速度奔跑；丙有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑．其中，．则下列结论中一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

32．（2022·河南·禹州市高级中学高一阶段练习）若，，则的取值范围为______．

33．（2022·江苏·高一单元测试）已知，，则，的大小关系是________．

34．（2022·上海·高一单元测试），，则的最小值是___________.

35．（2022·全国·高一课时练习）已知，则的值______0（选填“>，<，≥，≤”）．

36．（2022·上海·高一单元测试）已知，下列命题中正确的是______(将正确命题的序号填在横线上)

①若，则      ②若，则;

③若，则;        ④若，则.

37．（2022·全国·高一）若a、b∈R，则下列不等式：①a2＋3＞2a；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③a5＋b5＞a3b2＋a2b3；④a＋≥2中一定成立的是__________．(填序号)

四、解答题

38．（2022·河南省叶县高级中学高一）求解下列问题：

(1)已知，比较和的大小；

(2)已知，比较与的大小.

39．（2022·江苏·南京市中华中学高一）已知，.

(1)分别求a，c的取值范围；

(2)求的取值范围.

40．（2022·全国·高一）（1）已知，求证：；

（2）已知，且，比较与的大小．

41．（2022·全国·高一）试比较下列组式子的大小：

(1)与，其中；

(2)与，其中，；

(3)与，．

42．（2021·上海市洋泾中学高一）设是四个正数．

(1)已知，比较与的大小；

(2)已知，求证：中至少有一个小于1．

参考答案：

1．C

【分析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法证明正确选项.

【详解】A选项，，如，而，所以A选项错误.

B选项，，如，而，所以B选项错误.

C选项，，则，所以，所以C选项正确.

D选项，，如，而，所以D选项错误.

故选：C

2．C

【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.

【详解】对于A;若，时，则，故A错；

对于B;若取，则无意义，故B错；

对于C；根据不等式的可加性可知：若，则，故C正确；

对于D;若取，但,故D错；

故选：C

3．A

【分析】，即可判断ABC，由可得，然后可判断D.

【详解】对于A，因为，，所以，故A错误；

对于B，因为，，所以，故B正确；

对于C，因为，，所以，故C正确；

对于D，由可得，所以，故D正确，

故选：A

4．C

【分析】结合不等式的性质以及差比较法确定正确答案.

【详解】为正数，为负数，所以，，

，

所以.

故选：C

5．C

【分析】根据不等式的性质或通过举反例，对四个选项进行分析．

【详解】．若，当时， ，所以不成立；

．若，当时，则，所以不成立；

．因为，将两边同除以，则，所以成立

．若且，当时，则，所以，则不成立．

故选：．

6．C

【分析】由不等式的基本性质可得答案.

【详解】由，有，可得.

故选：C

7．C

【分析】对A，B，C，D选项作差与0比较即可得出答案.

【详解】对于A，因为，故，即，故A错误；

对于B，，无法判断，故B错误；

对于C，因为，，故C正确；

对于D，因为，故，即，故D错误．

故选：C．

8．C

【分析】利用作差法先比较y1，y2，再比较y2，y3即可得出y1，y2，y3的大小关系.

【详解】解：由a＞b＞1，有y1﹣y20，即y1＞y2，

由a＞b＞1，有y2﹣y30，即y2＞y3，

所以y1＞y2＞y3，

故选：C.

9．D

【分析】首先配方判断、均大于零，然后作商即可比较大小.

【详解】，

，

则

.

故，当且仅当时，取等号，

故选：D

【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题.

10．B

【分析】令，，可得，再根据的范围求解即可.

【详解】令，，则，所以．因为，所以．因为，所以，所以.

故选：B

11．B

【分析】令求出，再由不等式的性质求解即可.

【详解】令，即

故，解得

因为，，所以

故选：B

12．B

【分析】利用不等式的基本性质即可得出．

【详解】解：因为，，

所以，

所以，

故选：B

13．（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）由不等式的性质，先得到，两边同时+1，即得证；

（2）由不等式的性质，先得到，两边乘以c,可得，两边同时-1，可得，再两边取倒数，即得证.

【详解】证明：（1）∵bc≥ad，bd>0，∴，

∴＋1≥＋1，∴≤.

（2）∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0.

∵a>b>0，∴

又∵c>0，∴，∴，

又c－a>0，c－b>0，∴

.

14．（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）利用作差法可求两者的大小关系.

（1）利用（1）的结果可证明不等式成立.

【详解】证明：（1）∵

∴；

（2）

由（1）得，故，

而，所以.

15．（1）证明见解析，（2）证明见解析

【分析】（1）利用作差法证明即可，

（2）利用不等式的性质证明即可

【详解】（1）因为，，

所以

，

所以

（2）因为，所以，

因为，所以，

所以，

所以，

所以，

因为，

所以，

即

16．A

【分析】令，列方程组可得，根据不等式的性质及题干条件，即得解

【详解】由题意，

故，解得

由﹣1＜a+b＜3，可得；

由2＜a﹣b＜4，可得；

故

故选：A

17．A

【分析】用作差法比较大小．

【详解】，

所以．

故选：A．

18．C

【分析】利用作差法、不等式的基本性质结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】由可得，

由已知且，若，则，所以，，则，矛盾.

若，则，从而，合乎题意.

综上所述，“”是“”的充要条件.

故选：C.

19．B

【分析】根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案

【详解】解：对于A，如果，，那么，故A错误；

对于B，易得，所以，所以化简得，故B正确；

对于C，如果，，那么，故C错误；

对于D，因为满足，那么，故D错误；

故选：B

20．B

【分析】把“x=3”代入不等式即可解得.

【详解】将“x=3”代入不等式可得，解得：.

故选：B

21．C

【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.

【详解】对于A:取则，故A错，

对于B:若，则，故B错误，

对于C:由同号可加性可知：a>b，c>d，则a+c>b+d，故C正确，

对于D:若，则，，故D错误.

故选：C

22．A

【分析】根据不等式的性质逐一判断即可

【详解】对于选项A，∵，∴，又， 成立，故A正确；

对于选项B，当，时，结论明显错误，故B错误

对于选项C，当时，，所以结论错误，故C错误

对于选项D，当时，，所以结论错误，故D错误

故选：A

23．D

【分析】利用不等式的性质，逐一分析即可得出答案.

【详解】，，，故A，B正确；

，即，故C正确；

对两边同除得，故D错误.

故选：D.

24．B

【分析】利用不等式的性质逐项判断可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，若，，则，故，A错；

对于B选项，若，，则，所以，，

故，B对；

对于C选项，若，则，则，C错；

对于D选项，若，则，所以，，D错.

故选：B.

25．B

【分析】取判断A；由不等式的性质判断BC；由基本不等式判断D.

【详解】当时，不成立，A错误．因为，所以，，B正确，C错误．当，时，，当且仅当时，等号成立，而，D错误．

故选：B

26．ACD

【分析】利用不等式的性质判断A、C，利用特殊值判断B，再利用作差法判断D；

【详解】解：因为，所以，故A正确；

令、、、，满足，此时，故B错误；

因为，所以，，所以，故C正确；

因为，则，因为，，

所以，即，故D正确；

故选：ACD

27．BC

【分析】取，，可判断A；当，可得，由，利用不等式的基本性质可判断B；当时，利用不等式的基本性质可判断C；取，可判断D.

【详解】解析：若，，时，不成立，A错误；

因为，当，时，，故，，B正确；

因为，当时，，故，

因为，当时，，故

所以C正确；

若，，不满足，D错误．

故选：BC.

28．ABC

【分析】利用不等式的性质即可判断.

【详解】对于A，由，则，则，即，故A不正确；

对于B，由，则，故B错误；

对于C，当时，，当时，，故C不正确；

对于D，由，，所以，故D正确.

故选：ABC.

29．AC

【分析】A、C、D利用作差法转化为商或积的形式，结合已知条件、不等式性质判断正误；B令结合充分性定义即可判断正误.

【详解】A：，而，若为负数，则，当时，此时成立，正确；

B：当时，的大小不确定，即“”不能推出“”，充分性不成立，错误；

C：，而，，，则，故，，故，即，正确；

D：，故时，原不等式也成立，错误.

故选：AC

30．BCD

【分析】根据不等式的基本性质逐项判断即可．

【详解】对于选项A，若，则，故A错误；

对于选项B，若，∵，∴，故B正确；

对于选项C，若，则，故，故C正确；

对于选项D，若，则，故D正确．

故选：BCD．

31．AC

【分析】首先利用时间和速度的关系表示三人的时间，再利用不等式的关系，结合选项，比较大小，即可判断选项.

【详解】由题意，所以，，，

根据基本不等式可知，故，当且仅当时等号全部成立，故A选项正确，B选项错误；

，故C选项正确；，故D选项错误．

故选：AC．

32．．

【分析】结合不等式的性质，按的正负分类讨论．

【详解】，

若，则，

若，则，，所以，

综上．

故答案为：．

33．

【分析】利用作差法直接比大小.

【详解】

,

故答案为：.

34．##

【分析】分析可得，利用不等式的基本性质可求得的最小值.

【详解】设，则，解得，

所以，，

因此，的最小值是.

故答案为：.

35．≤

【分析】先平方，整理可得，结合的符号可得答案.

【详解】因为，所以，

所以.

当时，等号成立

故答案为：

36．②③

【分析】①取检验即可；②和③利用不等式两端同时乘以一个正数，不等式的方向不改变；④取检验即可

【详解】①若，当时，则，故①错误；

②若，不等式两边同时乘以，则，故②正确；

③若，不等式两边同时乘以，则，故③正确；

④若，当时，则，故④错误；

故答案为：②③

37．①②

【分析】利用作差法及不等式性质，即可作出判断.

【详解】①a2－2a＋3＝(a－1)2＋2＞0，正确；

②a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，正确；

③a5－a3b2＋b5－a2b3＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a＋b)(a－b)2(a2＋ab＋b2)，

若a＝b，则上式＝0，不正确；

④若a＜0，则a＋＜0不正确.

∴①②一定成立.

故答案为：①②

38．(1)

(2)

【分析】（1）用作差法比较大小；

（2）用作差法比较大小．

（1）

－．

所以；

（2）

∵，∴，，

∴，

所以．

39．(1)，；

(2)．

【分析】（1）设，，即得，，根据不等式的性质即可求出，的取值范围；

（2）由（1）可知，，即可根据不等式的性质求出取值范围．

（1）

设，，则，，，，

由，则，，

则的取值范围是，的取值范围是；

（2）

，由，，则，，则.

40．（1）证明见解析；（2）答案见解析.

【分析】（1）作差后变形化简证明即可；

（2）利用作差法，分类讨论证明即可.

【详解】（1)

，

因为，所以， ，

所以，

故 .

(2) ．

由于，所以当时，，即；当时， ，即．

41．(1);

(2);

(3).

【分析】(1)通过比较与的大小来确定与的大小；

(2)通过作差法来比较的大小；

(3) 通过作差法或作商法比较与的大小.

（1）

解：，，

因为，

所以，

即；

（2）

解：

．

因为，，所以，，

所以，

即；

（3）

方法一（作差法）

．

因为，所以，，，．

所以，

所以．

方法二（作商法） 因为，所以，，，

所以，

所以．

42．(1)

(2)证明见解析

【分析】(1)利用比差法比较与的大小；

(2)利用反证法证明.

（1）

因为是四个正数，，所以，

所以，

因为，所以，

因为是四个正数，所以，

所以

所以

（2）

假设都不小于1，则，

那么与已知条件矛盾，所以假设不成立，所以中至少有一个小于1．