2021-2022学年北京市顺义区高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】

2021-2022学年北京市顺义区高一下学期3月月考数学试题

一、单选题

1．下列各组向量中，可以作为基底的一组是（　　）

A．，

B．，

C．，

D．，

【答案】D

【分析】判断所给的两个向量是否共线，若不共线，则可以作为一组基底

【详解】选项A：因为，所以向量，共线，故A错误，

选项B：因为，所以向量，共线，故B错误，

选项C：因为，所以向量，共线，故C错误，

选项D：因为，所以向量，不共线，故D正确，

故选：D.

2．函数的最小正周期是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用二倍角公式化简解析式，由此求得其最小正周期.

【详解】依题意，

所以的最小正周期为.

故选：A

3．

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】.

故选：B.

4．已知非零向量满足，且，则与的夹角为

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．

【详解】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．

【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．

5．为了得到函数的图象，只需要将函数图象上所有的点（　　）

A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度

C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度

【答案】C

【分析】根据已知条件，结合“左加右减”的原则即可求解.

【详解】∵，

∴把函数的图形向右平移个单位可得到函数.

故选：C.

6．在中，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用余弦定理直接求解即可.

【详解】因为，所以，

所以，又，

所以.

故选：D

7．设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可.

【详解】∵A､B､C三点不共线,∴

|+|>|||+|>|-|

|+|2>|-|2•>0与

的夹角为锐角.故“与的夹角为锐角”是“|+|>||”的充分必要条件,故选C.

【点睛】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.

8．在平行四边形中，，，，为的中点，则 （　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】作出图形，利用、表示向量、，然后利用平面向量数量积的运算律可求得的值.

【详解】如下图所示：

由题意可得，，

，，，

，

因此，.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量数量积的计算，解答的关键就是利用合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.

9．如果平面向量，.那么下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C．与的夹角为 D．在上的投影向量的模为

【答案】D

【分析】由向量模长的坐标公式、向量共线的坐标公式、向量夹角的坐标公式以及向量的投影求解即可.

【详解】对于A，，则，A错误；

对于B，，则不平行，B错误；

对于C，，又，则，C错误；

对于D，在上的投影向量的模为，D正确.

故选：D.

10．已知O为坐标原点，点P在以为圆心的单位圆上，，则的最大值为（    ）

A．2 B．4 C．6 D．

【答案】C

【分析】由条件可知点的方程，三角换元写出点坐标，用坐标表示，，坐标运算向量的数量积，根据角的范围即可求出最大值.

【详解】解：点在以为圆心的单位圆上，所以点的方程为，设，则，，所以，即的最大值为6.

故选：C

二、填空题

11．已知，则________．

【答案】

【分析】根据正切函数两角和公式直接运算即可.

【详解】.

故答案为：.

三、双空题

12．已知向量，，若，则________，若，则________．

【答案】         

【分析】根据平面向量共线以及垂直的坐标运算，即可得到结果.

【详解】由题意可得，若，则；

若，则

故答案为:;

四、填空题

13．向量，在正方形网格中的位置如图所示，则__________.

【答案】

【分析】建立平面直角坐标系，通过平面向量夹角的坐标运算得到答案.

【详解】根据题意，设正方形网格的边长为1，如图建立坐标系，

则，，

故，，，

故；

故答案为：.

14．在矩形中，，，E为CD的中点，若，，则________．

【答案】

【分析】建立如下图的平面直角坐标系，求出各点坐标，由平面向量线性运算的坐标表示可得的坐标，由，列方程组，解方程组可得和的值即可求解.

【详解】建立如下图的平面直角坐标系，

由已知得，，，，

由得，

设，则，

可得，解得，所以，，

又因为，

所以，解得，，则.

故答案为：.

15．水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转简车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足（，，），

①        ②当时，函数单调递增

③当时，    ④当时，的最大值为

则上面叙述正确的是________．

【答案】①③

【分析】根据题意，结合条件可得的值，从而求得函数的解析式，然后根据正弦型函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】由题意，，，所以，

又点代入可得，解得，

又，所以，故①正确；

因为，当时，，

所以函数先增后减，故②错误；

当时，，的纵坐标为，横坐标为，

所以，故③正确；

当时，点到轴的距离的最大值为，故④错误；

所以说法正确的是①③

故答案为: ①③

五、解答题

16．已知向量与的夹角，且，．

(1)求，；

(2)求；

(3)与的夹角的余弦值．

【答案】(1)，

(2)

(3)

【分析】（1）根据数量积的定义求解，利用数量积的运算；

（2）按照数量积的性质求解模长即可；

（3）根据向量夹角余弦值的公式运算即可.

【详解】（1）已知向量与的夹角，且，，则，

所以；

（2）

（3）与的夹角的余弦值为.

17．已知向量，．

(1)求；

(2)求及在上的投影向量的坐标；

(3)，求m的值．

【答案】(1)

(2)，在上的投影向量的坐标为

(3)

【分析】（1）根据数量积的坐标运算即可；

（2）根据向量坐标的线性运算求解的坐标，即可得；按照投影向量的定义列式求解即可；

（3）由向量垂直得数量积为零，进行计算即可得m的值．

【详解】（1）已知向量，，所以；

（2），

又在上的投影向量的坐标为

（3）因为，所以，解得.

18．已知且．

(1)求，，；

(2)若为锐角，且，求．

【答案】(1)，，.

(2)

【分析】（1）二倍角公式直接求，由的正负判断角的范围，结合解出和的值.

（2）由的值和的范围求出、的值，利用，结合两角差的正弦公式即可求出的值.

【详解】（1）解：因为，所以；

又，，，所以，则，，又，且，解得：，.

（2）因为且，所以，，

因为为锐角，，所以，

则

.

19．设平面向量，，函数．

(1)求的单调增区间；

(2)当时，求函数的值域；

(3)若锐角满足，求的值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）化简得到，取，解得答案.

（2），则，得到值域.

（3）代入数据得到，化简得到，计算得到答案.

【详解】（1）

，

取，，解得，，

故的单调增区间为，

（2），则，故

（3），

.

20．如图，在中，D是BC边上一点，，，．

（1）求AD的长；

（2）若，求角B的大小

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）直接利用余弦定理求出结果．

（2）利用余弦定理和正弦定理求出结果．

【详解】解：（1）在中，，，．

利用余弦定理，

解得．

（2）利用余弦定理，

所以，

在中，利用正弦定理，整理得，

故．

【点睛】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

21．在中，，．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

(1)的大小；

(2)和的值．

条件①：；条件②：．

【答案】(1)若选择①：；若选择②：

(2)若选择①：，；若选择②：．

【分析】选择①：．

（1）在中，由，，结合正弦定理得．由，得，推出；

（2）由，推出．由，推出，，再由正弦定理可得．

选择②：．

（1）在中，因为，，结合正弦定理得．由，得，推出；

（2）因为，推出．由，推出，，再由正弦定理可得．

【详解】（1）选择①：．

在中，因为，，

所以由正弦定理得．

因为，

所以．

所以．

所以．

选择②：．

在中，因为，，

所以由正弦定理得．

在中，，

所以．

所以．

（2）选择①：．

因为，

所以．

所以．

因为，

所以．

所以．

所以．

由正弦定理得，即．

因为，

所以．

选择②：．

因为，

所以．

所以．

因为，

所以．

所以．

所以．

因为，

所以．

由正弦定理得，

所以．