北师大版 (2019)必修 第二册第二章 平面向量及其应用6 平面向量的应用6.1 余弦定理与正弦定理课后测评

【名师】6.1 余弦定理与正弦定理-1优选练习

一．填空题

1．在平面四边形中，点分别是边的中点，且，，．若，则的值为____　　．

2．是所在平面上的一点，满足，若的面积为，则的面积为______________.

3．在长江南岸渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江,则航向为北偏西________度.

4．以下命题：①若，则∥；②=（－1，1）在==（3，4）方向上的投影为；③若△ABC中，a=5,b =8,c =7，则·=20；④若非零向量．满足，则．其中所有真命题的标号是              。

5．在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若，则的最小值是      

6．若是两个非零向量，且，则与的夹角的取值范围是____.

7．设为的外心，且，则的内角的余弦值为         

8．已知单位向量的夹角为，若平面向量满足，则有序实数对称为向量在“仿射”坐标系下的“仿射”坐标，记作.有下列命题：

①已知,，则；

②已知，，其中，则且仅当时，向量的夹角取得最小值；

③已知，则；

④已知，则线段的长度为.

其中真命题有__________.（填写真命题的所有序号）

9．质量m＝2.0 kg的物体，在4 N的水平力作用下，由静止开始在光滑水平面上运动了3 s，则水平力在3 s内对物体所做的功为________．

10．直线与的夹角的大小为__________.

11．设R，向量，且，则                          

12．如图，等边△中，，则        ．

13．已知，则与的夹角为______________

14．已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为__________.

15．已知菱形ABCD的边长为2， ,E．F分别为CD，BC的中点，则=     

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】设为该平面内任意一点，则由点分别是边的中点可得，所以，则，即；由，，把两式展开相减可得，所以.

2．【答案】

【解析】由平行四边形法则，可知点为边上的中点，点为的中点如图所示，所以.

3．【答案】30

【解析】

4．【答案】①②④

【解析】

5．【答案】-2

【解析】由题意画出草图分析，由于在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，所以=2，所以═？2，而|OA|+|OM|=2≥2利用均值不等式即可求得解：由题意画出草图：

由于点M为△ABC中边BC的中点，∴=2，

∴？（）=？2=﹣2|OA|？|OM|．

∵O为中线AM上的一个动点，即A．O．M三点共线

∴|AM|=|OA|+|OM|=2≥2  （当且仅当“OA=OM“时取等号）？|OA|？|OM|≤1，

又？2=﹣2|OA|？|OM|≥﹣2，所以则的最小值为﹣2．

故答案为-2．

6．【答案】

【解析】不妨令，则，于是，设为与的夹角，则，因为，所以，即.

7．【答案】

【解析】

8．【答案】③④

【解析】

9．【答案】36 J

【解析】水平力在3 s内对物体所做的功：F·s＝F·at2＝F·t2＝F2t2＝××42×32＝36(J)．

10．【答案】

【解析】

11．【答案】

【解析】

12．【答案】．

【解析】根据题意，由于等边△中，，则可知,

．

答案：．

13．【答案】

【解析】

14．【答案】

【解析】

15．【答案】

【解析】因为，所以.