北师大版 (2019)必修 第二册1.2 复数的几何意义随堂练习题

1.2　复数的几何意义

课后训练巩固提升

1.与x轴同方向的单位向量e1和与y轴同方向的单位向量e2,它们对应的复数分别是(　　).

A.e1对应实数1,e2对应虚数i

B.e1对应虚数i,e2对应虚数i

C.e1对应实数1,e2对应虚数-i

D.e1对应实数1或-1,e2对应虚数i或-i

解析:e1=(1,0),e2=(0,1).

答案:A

2.当<m<1时,复数z=(3m-2)+(m-1)i在复平面上对应的点位于(　　).

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析:∵<m<1,∴3m-2>0,m-1<0,

∴点(3m-2,m-1)在第四象限.

答案:D

3.(多选题)在复平面内,复数z对应的点为(1,1),则(　　).

A.z=1+i B.=-1+i

C.|z|= D.||=

解析:因为在复平面内,复数z对应的点是(1,1),所以z=1+i,

所以=1-i,|z|=,||=.

答案:ACD

4.已知平行四边形OABC,O,A,C三点对应的复数分别为0,1+2i,3-2i,则向量的模||等于(　　).

A. B.2 

C.4 D.

解析:由于四边形OABC是平行四边形,故,因此||=||=|3-2i|=.故选D.

答案:D

5.复数z=1+cos α+isin α(π<α<2π)的模为(　　).

A.2cos B.-2cos

C.2sin D.-2sin

解析:|z|==2.

∵π<α<2π,∴<π,cos<0,于是|z|=-2cos.

答案:B

6.已知复数z对应的点在第二象限,它的模是3,实部是-,则z为(　　).

A.-+2i B.--2i

C.+2i D.-2i

解析:设z=x+yi(x,y∈R),则x=-,

由|z|=3,得(-)2+y2=9,即y2=4,得y=±2.

∵复数z对应的点在第二象限,∴y=2.

∴z=-+2i.

答案:A

7.在复平面内,复数z1,z2对应点分别为A,B.已知A(1,2),|AB|=2,|z2|=,则z2=(　　).

A.4+5i B.5+4i

C.3+4i D.5+4i或i

解析:设z2=x+yi(x,y∈R),

由题意得,

解得

答案:D

8.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z在复平面内对应的点的轨迹为(　　).

A.一个圆 B.线段 

C.两点 D.两个圆

解析:∵|z|2-2|z|-3=0,

∴(|z|-3)(|z|+1)=0,∴|z|=3,表示一个圆.

答案:A

9.复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面上对应的点在同一条直线上,则实数a的值为　　　　　. 

解析:由点(3,-5),(1,-1),(-2,a)共线可知,得a=5.

答案:5

10.复数z=1+cos α-isin α(π<α<2π)的模的取值范围为　　　　　. 

解析:|z|=,

∵π<α<2π,∴-1<cosα<1.

∴0<2+2cosα<4.∴|z|∈(0,2).

答案:(0,2)

11.已知i为虚数单位,复数z1=1+i,在复平面中将z1绕着原点逆时针旋转165°得到z2,则z2=　　　　　. 

解析:z1=1+i在复平面内对应的点为A(1,),所以|OA|==2,且OA与x轴正方向的夹角为60°,将其逆时针旋转165°后落在第三象限,且与x轴负半轴的夹角为60°+165°-180°=45°,所以对应的点为(-,-),所以z2=-i.

答案:-i

12.若复数z=(m2-9)+(m2+2m-3)i是纯虚数,其中m∈R,则|z|=　　　　　. 

解析:由条件知

解得m=3,∴z=12i,∴|z|=12.

答案:12

13.在复平面内,模为4,且其共轭复数对应的点位于第二象限的复数为　　　　　.(写出两个即可) 

解析:设复数为a+bi(a,b∈R),满足题意的复数为=4,a<0,b<0,故复数可以为-1-i,-2-2i等.

答案:-1-i,-2-2i(答案不唯一)

14.已知复平面内的点A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,其中θ∈(0,π).设对应的复数是z.

(1)求复数z;

(2)若复数z对应的点P在直线y=x上,求θ的值.

解:(1)因为点A,B对应的复数分别是

z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos2θ,

所以点A,B的坐标分别是A(sin2θ,1),B(-cos2θ,cos2θ),

所以=(-cos2θ,cos2θ)-(sin2θ,1)=(-cos2θ-sin2θ,cos2θ-1)=(-1,-2sin2θ),

所以对应的复数z=-1+(-2sin2θ)i.

(2)由(1)知点P的坐标是(-1,-2sin2θ),代入y=x,得-2sin2θ=-,即sin2θ=,所以sinθ=±.

又因为θ∈(0,π),所以sinθ=,

所以θ=.