北师大版 (2019)必修 第二册2.4 积化和差与和差化积公式同步测试题

【基础】2.4 积化和差与和差化积公式-1作业练习

一．填空题

1．已知，则_________

2．若，则________.

3．定义运算，若，，，则__________．

4．已知，则__________.

5．以轴的非负半轴为始边的角，其终边经过点，则的值为______．

6．若当时,函数取最大值,则______.

7．定义运算，若，，，则__________．

8．在中，，则______．

9．已知，，，则 _____

10．已知，，则的值为______.

11．已知，则________.

12．已知函数y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=1对称，则sin2φ    ．

13．已知过原点且倾斜角为的直线与圆相切，则的值为__________．

14．的值等于_________.

15．已知，其中为锐角，则的值为__________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】因为，，

所以，=。

考点：本题主要考查三角函数诱导公式。

点评：简单题，注意观察角之间的关系，灵活选用公式。

2．【答案】

【解析】由题意可得：

，

即：，

解方程可得：.

3．【答案】

【解析】根据题干定义得到，利用同角三角函数关系得到：，，代入式子：得到结果.

【详解】

根据题干得到

，，

，，代入上式得到结果为：

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了两角差的正弦公式的应用，以及同角三角函数关系的应用，特殊角的三角函数值的应用，难度中等.

4．【答案】

【解析】首先利用，将其两边同时平方，利用同角三角函数关系式以及倍角公式得到，从而求得，利用诱导公式求得，得到结果.

【详解】

因为，所以，即，

所以，

故答案是.

【点睛】

该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，倍角公式，诱导公式，属于简单题目.

5．【答案】

【解析】根据可求得，然后和差公式展开可求得的值.

【详解】

根据题意得， ，

【点睛】

本题主要考查利用终边上一点的坐标求三角函数值以及和差公式的应用.

6．【答案】

【解析】根据两角差的正弦公式化简函数，利用最大值求出，即可求解.

【详解】

因为，

所以当,即时函数取得最大值1，

此时.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了两角差的正弦公式的逆用，正弦函数的最值，属于中档题.

7．【答案】

【解析】根据题干定义得到，利用同角三角函数关系得到：，，代入式子：得到结果.

【详解】

根据题干得到

，，

，，代入上式得到结果为：

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了两角差的正弦公式的应用，以及同角三角函数关系的应用，特殊角的三角函数值的应用，难度中等.

8．【答案】

【解析】由已知求得，进一步求得，即可求出．

【详解】

由，

得，

即，，

则，

，，则．

【点睛】

本题主要考查应用两角和的正切公式作三角函数的恒等变换与化简求值。

9．【答案】

【解析】利用诱导公式化简可得，根据角所处的范围和同角三角函数关系可求得和；根据，利用两角和差余弦公式可求得，根据可求得结果.

【详解】

        ，则

    ，又   

本题正确结果：

【点睛】

本题考查利用三角恒等变换公式求解角度的问题，涉及到诱导公式的应用．同角三角函数值的求解．两角和差余弦公式的应用等知识；关键是能够通过构造的方式，将所求角用已知角表示出来.

10．【答案】

【解析】根据角的范围和同角三角函数关系可求得；利用二倍角公式可求得和；将所求角拆为，利用两角和差正弦公式求得结果.

【详解】

    ，又

，

本题正确结果：

【点睛】

本题考查三角恒等变换的求值问题，涉及到同角三角函数关系．二倍角的正弦和余弦公式．两角和差正弦公式的应用；关键是能够将所求角拆分为两个已知三角函数值的角的形式，从而利用两角和差公式来进行求解.

11．【答案】-3.

【解析】由两角差的正切公式展开，解关于的方程。

【详解】

因为，所以。

【点睛】

本题考查两角差正切公式的简单应用，注意公式的特点：分子是减号，分母是加号。

12．【答案】

【解析】利用辅助角公式结合三角函数的对称性，结合二倍角公式进行求解即可．

解：y=sin（πx+φ）﹣2cos（πx+φ）=sin（πx+φ﹣α），其中sinα=，cosα=．

∵函数的图象关于直线x=1对称，

∴π+φ﹣α=+kπ，

即φ=α﹣+kπ，

则sin2φ=sin2（α﹣+kπ）=sin（2α﹣π+2kπ）=sin（2α﹣π）=﹣sin2α=﹣2sinαcosα

=﹣2××=，

故答案为：

考点：两角和与差的正弦函数．

13．【答案】

【解析】设直线，由题意，所以，应填答案。

14．【答案】

【解析】利用三角函数的诱导公式和两角和的正弦函数的公式，准确运算，即可求解.

【详解】

由题意，可得

.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的诱导公式，以及两角和的正弦公式的化简．求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

15．【答案】

【解析】