数学必修 第二册3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理练习

【精选】3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理-1同步练习

一．填空题

1．设．是两条不同的直线，．是两个不同的平面，对于以下命题：

（1）若，，那么与所成的角和与所成的角相等；

（2）若，，，则；

（3）若，，则；

（4）若，，则.

其中正确命题的序号是________.

2．长方体中，若.则当最大时，三棱锥的体积为_______

3．给出以下关于线性方程组解的个数的命题．

①，②，③，④，

（1）方程组①可能有无穷多组解；

（2）方程组②可能有且只有两组不同的解；

（3）方程组③可能有且只有唯一一组解；

（4）方程组④可能有且只有唯一一组解．

其中真命题的序号为________________．

4．点为棱长是的正方体的内切球的球面上的动点，点为的中点，若满足，则动点的轨迹的长度为________

5．三个平面最多把空间分割成              个部分。

6．在长方体中，，，点为线段的中点，点为对角线上的动点，点为底面上的动点，则的最小值为______．

7．已知某个机械零件是由两个有公共底面的圆锥组成的，且这两个圆锥有公共点的母线互相垂直，把这个机械零件打磨成球形，该球的半径最大为1，设这两个圆锥的高分别为，则的最小值为__________．

8．已知平面，和直线，，给出下列命题：①，，，则；②若，，，则；③若，，，则；④若，，，则，其中是真命题的是______（填写所有真命题的序号）.

9．已知正方体的体积为1，点M在线段BC上（点M异于B．C两点），点N为线段的中点，若平面AMN截正方体所得的截面为五边形，则线段BM的取值范围是______.

10．中,为的中点，将沿折叠，使之间的距离为1，则三棱锥外接球的体积为__________．

11．在四面体中，面与面成的二面角，顶点在面上的射影是的垂心，是的重心．若，则______．

12．如图所示是正方体的平面展开图，在这个正方体中：

①与平行；

②与是异面直线；

③与成角；

④与垂直.

以上四个结论中，正确的是______.

13．在棱长为1的正方体中，平面与正方体每条棱所成的角均相等，则平面截正方体所形成的三角形截面中，截面面积最大值为_____________.

14．如图，已知正方体，,E为棱的中点，则与平面所成角为_____________.（结果用反三角表示）

15．如图,边长为的正方形纸片ABCD,沿对角线AC对折,使点D在平面ABC外,若BD=则三棱锥的体积是________.

参考答案与试题解析

1．【答案】（1）（2）

【解析】在（1）中，由线线．面面平行和线面所成角的定义可以判断；

在（2）中，运用线面垂直的判定和性质．面面垂直的定义即可判断；

在（3）中，由面面垂直的性质定理可判断；

在（4）中，运用线面平行的性质定理和面面垂直的性质定理即可判断.

【详解】

在（1）中，若，，则与．与所成的角相等，与．与所成的角相等，可得（1）正确；

在（2）中，若，，，．平移为相交直线，确定一个平面与．相交使得交线垂直，由面面垂直的定义可得，可得（2）正确；

在（3）中，若，，则或，可知（3）错误；

在（4）中，，，过作平面，使得，由线面平行的性质定理可得，但与不一定垂直，则与也不一定垂直.

故答案为：（1）（2）.

【点睛】

本题考查线面角的定义以及空间线面关系．面面关系有关命题的判断，可充分利用相应的定义以及线面．面面平行和垂直的判定与性质定理进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.

2．【答案】

【解析】为了研究最大值，我们设，，并且有，

将用表示出来，根据结构，考虑用基本不等式的变形式来研究最值，然后根据等号的成立条件即可求出三棱锥的体积。

【详解】

解：设，，则，

当且仅当时等号成立，此时，

三棱锥的体积=，

故答案为：。

【点睛】

本题考查利用代数方法来研究几何的最值，其中及时使用基本不等式的变形式：

来求最值是关键，是中档题。

3．【答案】①④

【解析】将①④的解看作平面上直线交点，将②③的解看作空间平面相交，由此判断出正确命题的序号.

【详解】

将①④的解看作平面上直线交点，将②③的解看作空间平面相交.

对于①，当平面两条直线重合时，方程组①有有无穷多组解，①正确；

对于②，空间三个平面相交，如果有两组不同的解，则三个平面必有一条公共直线，即方程组②的解有无数个，故②错误.

对于③，空间两个平面相交，则两个平面有一条公共直线，即方程组③的解有无数个，故③错误.

对于④，当平面三条直线相交于一点时，方程组④有且只有唯一一组解，正确.

故真命题的序号为：①④.

故答案为：①④.

【点睛】

本小题主要考查线性方程组解的个数问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.

4．【答案】

【解析】取的中点，连接，可证得平面，由题意，点M的轨迹是内切球O的球面与平面相交得到的小圆，利用垂径定理即可得出结论．

【详解】

正方体的内切球的半径，

由题意，取的中点，连接，

则，，∴平面，

∴动点的轨迹就是平面与内切球的球面相交得到的小圆，

∵正方体的棱长是，

∴到平面的距离为，截面圆的半径，

所以动点的轨迹的长度为截面圆的周长.

故答案为

【点睛】

本题考查了学生的空间想象力，求出点M的轨迹是关键，属于中档题．

5．【答案】 8

【解析】两个平面相交把空间分成四部分，第三个平面从中间截开，把每一部分一分为二，故可把空间分成八部分。

考点：空间两个平面的位置关系。

6．【答案】

【解析】画出图形,利用折叠与展开法则使和在同一个平面,转化折线段为直线段距离最小,即可求得的最小值．

【详解】

当的最小值,即到底面的距离的最小值与的最小值之和.为底面上的动点,当是在底面上的射影,即是最小值.

展开三角形与三角形在同一个平面上,如图:

长方体中，，

长方体体对角线长为:

在中: 故

故

过点作,即为最小值.

在,

故答案为:.

【点睛】

解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些条件发生了变化,哪些条件没有发生变化.这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据.

7．【答案】

【解析】根据题意作出轴截面的示意图，由等面积法得出两圆锥的母线的长度关系，再运用均值不等式和勾股定理可得出的最小值．

【详解】

由题意可知,打磨后所得半径最大的球是由这两个圆锥构成的组合体的内切球,如图1所示，内切球的半径R =1,如图2为这个组合体的轴截面示意图，圆0为内切球的轴截面，E,F,G,H分别为切点,连接，由题意可知，

则四边形ABCD的面积为，

即，

所以

由基本不等式可得，则，当且仅当时等号成立，

所以，当且仅当时等号成立，

所以的最小值为，

故填：。

【点睛】

本题考查数学的应用化，将生活实际问题转化为数学问题，根据等面积法．均值不等式和勾股定理得其最小值是本题的关键，属于中档题.

8．【答案】③④

【解析】①②根据直线与平面平行，直线的方向无法确定来判断；

③④将的方向向量分别看成平面的法向量来判断。

【详解】

①直线与平面平行，直线的方向无法确定，的位置关系都有可能，故是错误的；

②直线与平面平行，直线的方向无法确定，的位置关系都有可能，故是错误的；

③将的方向向量分别看成平面的法向量，两个平面的法向量互相垂直，则两个平面也垂直，故是正确的；

④将的方向向量分别看成平面的法向量，两个平面互相垂直，则两个平面的法向量也互相垂直，故是正确的；

故答案为：③④

【点睛】

本题考查了直线与平面平行和垂直的性质，对于不正确的命题，找出反例即可。本题属于基础题。

9．【答案】

【解析】根据截面作法确定线段BM的取值范围

【详解】

当时,截面为五边形，如图，

当时, 截面为四边形，如图，

故答案为：

【点睛】

本题考查正方体中截面问题，考查基本分析判断能力，属基础题.

10．【答案】

【解析】中, ,又为的中点，,故对折后三棱锥M-ABC的底面为边长为1的等边三角形,如图所示, 其外接球可化为以MAB为底面,以MC为高的正三棱柱的外接球,设三棱锥M-ABC外接球的球心为O,则球心到MAB的距离,平面MAB的外接球半径,故三棱锥M-ABC外接球的半径,则体积为 ,故填.

11．【答案】

【解析】【详解】

如图，设面AHD与BC交于点F.

因为AB = AC，所以，点G在AF上，且.

则，.

在△GFH中，由余弦定理得.

12．【答案】③④

【解析】将展开图还原为正方体，根据图像对四个结论逐一分析，由此确定结论正确的序号.

【详解】

展开图复原的正方体如图，不难看出：

①与平行；错误的，是异面直线；

②与是异面直线，错误；是平行线；

③从图中连接，，由于几何体是正方体，故三角形是等边三角形，所以与的夹角是，又，故与成；正确；

④由于，所以平面，所以与垂直.正确

判断正确的答案为③④.

故答案为：③④.

【点睛】

本小题主要考查空间异面直线所成的角，考查空间想象能力，属于基础题.

13．【答案】

【解析】利用正方体棱的关系，判断平面所成的角都相等的位置，然后求解截此正方体所得截面三角形面积的最大值．

【详解】

解：正方体的所有棱中，实际上是组平行的棱，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，如图所示的正三角形所在平面或其平行平面为平面时，满足平面与正方体每条棱所成的角均相等，

并且如图所示的正三角形为平面截正方体所形成的三角形截面中，截面面积最大者．

因为正三角形的边长为，

所以最大截面为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查直线与平面所成角的大小关系，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．

14．【答案】

【解析】作出辅助线，由题意首先找到AE与平面所成角，然后结合几何关系求解线面角的大小即可.

【详解】

如图所示，连结BE,

由题意可知：，

∵AB⊥平面B1BCC1,∴∠AEB是AE与平面B1BCC1所成的角，

，

.

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查线面角的计算，空间几何体中的线面关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

15．【答案】

【解析】取的中点，连接．，由正方形的性质可以求得其对角线长度是，折起后的图形中，，又知，由此三角形三边已知，求出，解出三角形的面积，可求得三棱锥的体积。

【详解】

如图取的中点，连接．，

由题意知，

由勾股定理可证得

故三角形面积是

又正方形的对角线互相垂直，且翻折后，与，仍然垂直，故，分别是以面为底的两个三棱锥的高

故三棱锥的体积为，

故答案为：

【点睛】

在折叠图形中要把握数量关系不变的量，哪些几何元素位置关系不变．