高中数学5.2 平面与平面垂直随堂练习题

这是一份高中数学5.2 平面与平面垂直随堂练习题，共18页。
【优选】5.2 平面与平面垂直-1作业练习一．填空题1．长方体的八个顶点均在同一个球面上，，则两点间的球面距离为______．    
2．正方体棱长为3，点在边上，且满足，动点在正方体表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为______．3．在三棱锥中，是边长为4的正三角形，，平面分别与，，，交于，，，且，分别是，的中点，如果直线平面，那么四边形的面积为______．4．正方体中，异面直线与所成角的大小为________.5．正四棱柱的底面边长，若直线与底面所成的角的大小为，则正四棱柱的侧面积为________6．在四棱锥中，底面为正方形，底面，且．为棱上的动点，若的最小值为，则______．7．如图，天花板上悬挂着灯管，，灯线，为了提高灯管高度，将灯管绕过中点的铅垂线旋转，则该灯管升高了______.8．已知正方体的棱长为1，则平面和平面的距离为________.9．已知等边的边长为，，分别为，的中点，将沿折起得到四棱锥.点为四棱锥的外接球球面上任意一点，当四棱锥的体积最大时，到平面距离的最大值为______.10．如图，平面，为正方形，且，，分别是线段，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______．11．已知点是边长为1的等边三角形所在平面外一点，且，则点到平面的距离是________________；12．在四面体中，，当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为________.13．设表示平面,表示直线,给定下列四个命题：①②③④其中正确的命题是___________(填序号).14．正方体的体对角线与面对角线所成的角的集合是______．15．《九章算术》中称四个面均为直角三角形的四面体为鳖臑，如图所示，若四面体为鳖臑，且平面，，则与平面所成角大小为________（结果用反三角函数值表示）
参考答案与试题解析1．【答案】【解析】先计算球半径为，再计算夹角为，利用球面距离公式计算得到答案.【详解】如图所示：设球心为，在中：则球面距离为：故答案为：【点睛】本题考查了外接球问题，计算球半径是解题的关键. 2．【答案】【解析】在棱上分别取点，使得，得到点的轨迹为，即可求得轨迹的周长，得到答案.【详解】由题意，在正方体中，可得平面，在棱上分别取点，使得，分别连接，则，所以平面平面，所以平面，即点的轨迹为等边，又由正方体的棱长为3，所以,所以，所以的周长为，即点的轨迹的周长为.故答案为：. 【点睛】本题主要考查了正方体的几何性质的应用，以及线面垂直关系的应用，其中解答中熟练应用正方体的结构特征，得到点的运动轨迹是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.3．【答案】10【解析】取的中点为，连接，可证，根据平面及为中点可证也为中点，从而四边形为矩形，最后根据题设中的数据可求矩形的面积.【详解】取的中点为，连接，因为，，所以，同理，因为，所以平面，因为平面，所以.因为平面，平面平面，平面，所以，因，故，同理.所以，所以四边形为平行四边形.又，故，故 ，所以四边形为矩形.而，所以矩形的面积为.故答案为：10. 【点睛】空间中线线平行的证明有如下方法：（1）利用平面几何的知识，如果三角形的中位线．梯形的中位线．同一平面中两条直线平行的判定方法等；（2）利用线面平行的性质定理；（3）利用面面平行的性质定理；（4）同垂直于一个平面的两条直线相互平行.而线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.4．【答案】【解析】画出空间几何体,根据线面关系即可求得异面直线与所成角的大小.【详解】根据题意,画出空间几何体如下图所示:连接则由为正方体可知所以平面又因为所以,即异面直线与所成角的大小为故答案为: 【点睛】本题考查了空间几何体中异面直线的夹角,先观察位置关系,再通过证明垂直等也是求得角度的一种方法,属于基础题.5．【答案】32【解析】根据线面垂直关系．线面角的定义可知，从而得到，根据底面边长可求得侧棱长，进而得到所求的侧面积.【详解】四棱柱为正四棱柱四边形为正方形，平面直线与底面所成角为    正四棱柱的侧面积：故答案为：【点睛】本题考查棱柱侧面积的求解，关键是能够根据线面角的定义确定线面角的具体位置，从而得到长度关系，属于基础题.6．【答案】3【解析】由,可得平面,则将沿棱翻折至与底面共面，点在AB的延长线上，则问题转化为上的动点到定点，的距离和的最小值，显然当三点共线时最小，即可计算求解.【详解】易证平面，则，将沿棱翻折至与底面共面，如图所示．设，则，当，，三点共线时，取得最小值，故，解得，则．【点睛】几何体中，最短路径问题通常将曲面展开，研究两点连线最短的问题，从而将曲面的最短路径问题转化为平面最短路径问题.7．【答案】10【解析】先求出,然后在中根据勾股定理求，则即为灯管上升的高度.【详解】由题意可知，平面,,所以为正三角形，即,在中，,所以,故该灯管升高了10.故答案为：10【点睛】本题主要考查立体几何知识在实际生活中的应用，关键是建立几何模型，考查空间想象能力与运算求解能力，属于中档题.8．【答案】1【解析】由正方体的性质得AB为平面和平面的距离【详解】因为正方体的对面互相平行，AB均于平面和平面垂直，故AB为平面和平面的距离，即为1故答案为：1.【点睛】本题考查正方体的基本性质，考查空间中线线．线面．面面间的位置关系等基础知识，是基础题．9．【答案】【解析】折叠为空间立体图象，得出四棱锥的外接球的球心，求得四棱锥的外接球的半径，则，由此能求出四棱锥的体积的最大时，点到平面距离的最大值．【详解】由题意得，取的中点,则是等腰梯形外接圆圆心，是的外心，作平面，平面，则是四棱锥的外接球的球心，且，设四棱锥的外接球半径为，则，，所以当四棱锥的体积最大时，点到平面距离的最大值．【点睛】本题主要考查了折叠问题与几何体的性质，同时考查了面面垂直．线面垂直的判定定理和性质定理的应用，以及点到平面距离的计算，对于立体几何问题中点到平面的距离常转化为几何体的高，构造方程方程求解，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题．10．【答案】【解析】作BD的平行线FG,即可证明 （或其补角）就是异面直线与所成的角，计算出EF,EG,FG的长度，在△EFG中，利用余弦定理即可求解.【详解】如图，取的中点，连接，，,则，通过异面直线所成角的性质可知 （或其补角）就是异面直线与所成的角．设，则，同理可得．又，所以在中，，故异面直线与所成角的余弦值为．【点睛】用平移法求异面直线所成角的3个步骤(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．11．【答案】【解析】由于，所以点在平面的射影为底面等边三角形的重心，设重心为点，所以，，在三角形求解。【详解】解：设等边三角形的重心为点，连接因为且，所以，平面所以，在等边中，在中，。【点睛】点到面的距离常见解决方法是：1.找出点到面的距离对应线段；2.等体积法求解。12．【答案】；【解析】先利用勾股定得出是以为斜边的直角三角形，求得其外接圆的直径，再由平面时，四面体的体积取得最大值，求得外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解．【详解】由题意，可知，则,所以是以为斜边的直角三角形，且该三角形的外接圆的直径为，当平面时，四面体的体积取得最大值，此时外接球的直径为,所以四面体的外接球的表面积为．【点睛】本题主要考查了球的表面积的计算，以及球的组合体的性质的应用，其中解答中选择合适的几何模型，求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题．13．【答案】②④【解析】利用线面垂直的判定方法．线面垂直的性质定理及线面平行的判断方法．性质,对已知中的四个结论逐一进行分析,即可得到答案.【详解】对于①,与平行．相交或，故①错误;对于②,,由直线与平面垂直的性质：两条直线平行,其中一条直线垂直与一个平面,则另外一条直线也垂直此平面..故②正确;对于③,,由线面垂直的性质可得,或,故③错误;对于④,，由垂直于同一平面的两直线平行,，故④正确;故答案为: ②④【点睛】本题考查立体几何中的线面垂直的判定．线面垂直的性质和线面平行的判定．线面平行的性质;线面垂直性质的应用是求解本题的关键;属于中档题;14．【答案】【解析】利用正方体的性质．线面垂直的判定与性质以及线面角的定义即可得出．【详解】如下图所示，连接．，则，．，平面，平面，.体对角线与面对角线所成角为.设正方体的棱长为，则，，.体对角线与面对角线所成角为．正方体的体对角线与面对角线所成的角的集合是.故答案为：.【点睛】本题考查正方体的性质．线面垂直的判定与性质，考查空间中线线．线面．面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．15．【答案】【解析】先由线面垂直判定定理，得到平面，推出为与平面所成角，再由题中数据，即可得出结果.【详解】因为平面，所以；又四面体四个面均为直角三角形，，所以，又，平面，平面；所以平面，所以，因此为与平面所成角，又，所以，因此与平面所成角大小为【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，根据线面角的定义找出线面角，即可求解，属于常考题型.