高中北师大版 (2019)5.1 直线与平面垂直复习练习题

【优编】5.1 直线与平面垂直-3课时练习

一．填空题

1．在正方体中，与平面所成角的大小为______.

2．如图，在四棱锥中，底面是底边为的菱形，，，，当直线与底面所成角为时，二面角的正弦值为______.

3．如图是一几何体的平面展开图,其中为正方形,分别为的中点,在此几何体中,给出下面四个结论:①直线与直线异面;②直线与直线异面;③直线平面;④平面平面;其中正确的是_____.

4．如图，在棱长为1的正方体中，点．是棱．的中点，是底面上（含边界）一动点，满足，则线段长度的最小值为__________.

5．在中，，，是边上的中线，将沿折起，使二面角等于，则四面体外接球的体积为______.

6．正四棱柱的底面边长为1，若与底面所成角为，则和底面ABCD的距离是________.

7．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.已知鳖臑满足平面，，，D为中点，过A点作交于点E，则面积的最大值为________.

8．已知三棱锥的三条侧棱，，两两互相垂直，且，则三棱锥的外接球与内切球的半径比为______．

9．在三棱锥中，平面，，且三棱锥的最长的棱长为，则此三棱锥的外接球体积为_____________.

10．在四棱锥中，，，，则______.

11．在三棱锥中，平面平面，和均为边长为的等边三角形，若三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为____________.

12．如图所示，在棱锥中，底面是正方形，边长为，，，在这个四棱锥中放入一个球则球的最大半径为____________．

13．在三棱锥中，已知，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为______.

14．已知直角梯形中，//，，，现将沿折起，使平面平面，则三棱锥的外接球的体积为__________.

15．已知正方体的棱长为2,则点到平面的距离为______.

参考答案与试题解析

1．【答案】30

【解析】过C点作平面的垂线，找到直线在平面中的射影，再利用三角函数求解.

【详解】

根据题意，连接AC交BD于H，连接，作图如下：

因为AC，，

故直线平面，

故即为所求线面角.

设正方体的棱长为2，

在中，容易知：

，

故，

又因为线面角的范围为：

故=30

故答案为：30.

【点睛】

本题考查线面角的求解，其一般步骤为：过直线上一点作平面的垂线，找到该直线在平面中的射影，最后利用三角函数求解.

2．【答案】1

【解析】取中点，过作于点；由等腰三角形三线合一和线面垂直的判定定理可证得平面，从而得到；再根据线面垂直判定定理得到面，由线面角定义可知，通过勾股定理可求得，由此可知在直线上，从而得到面面垂直关系，可知二面角为，从而得到正弦值.

【详解】

取中点，连接并延长，过作于点

，为中点   

四边形为菱形，    为等边三角形   

平面，    平面

平面   

又，平面，    面

直线与底面所成角为   

在中，由余弦定理得：

，又    在延长线上

平面    平面平面

二面角的大小为，正弦值为

故答案为：

【点睛】

本题考查立体几何中二面角的求解问题，涉及到线面垂直的判定与性质．面面垂直的判定定理．直线与平面所成角．勾股定理等知识的应用；关键是能够通过线面垂直关系确定直线与平面所成角的位置.

3．【答案】②③

【解析】对①，根据三角形的中位线定理可得四边形是平面四边形，直线与直线共面；对②，由异面直线的定义即可得出；对③，由线面平行的判定定理即可得出；对④，可举出反例

【详解】

由展开图恢复原几何体如图所示：

对①，在中，由，，根据三角形的中位线定理可得，

又，，因此四边形是梯形，故直线与直线不是异面直线，故①不正确；

对②，由点不在平面内，直线不经过点，根据异面直线的定义可知：直线与直线异面，故②正确；

对③，由①可知：，平面，平面，直线平面，故③正确；

对④，如图：假设平面平面．过点作分别交．于点．，在上取一点，连接．．，，又，．若时，必然平面与平面不垂直．故④不一定成立．

综上可知：只有②③正确.

故答案为：②③

【点睛】

本题考查空间中直线．平面的平行与垂直的判定与性质定理．异面直线的定义，考查转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意侧展图与直观图的联系.

4．【答案】

【解析】如图所示：连接，，故平面，故在线段上，计算得到答案.

详解：如图所示：

连接，，易知，，故，

，故平面，故，，

故平面，故在线段上，故线段长度的最小值为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了立体几何中线段的最值问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

5．【答案】

【解析】由题意可知折起的三棱锥是一条侧棱垂直于底面的棱锥，由题意求出高及底面外接圆的半径，利用公式求出外接球的半径，进而求出外接球的体积．

【详解】

因为，为的中点，所以，

在折起的过程中，，，，所以平面，

因为二面角等于，所以，且，

，在中，，

外接圆半径为，

设外接球的半径为，则，

因此，所以外接球的体积为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球半径与三棱锥棱长的关系及球的体积公式，考查计算能力，属于中档题．

6．【答案】

【解析】确定与底面所成角,再利用直角三角形中的边角关系求解即可.

【详解】

连接,因为平面,故与底面所成角为.

所以为等腰直角三角形.

所以和底面ABCD的距离.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了线面角的辨析与立体几何中的求解,属于基础题.

7．【答案】2.

【解析】利用线面垂直的判定定理证明出平面，进而可以证明出，再利用线面垂直的判定定理证明出平面，所以可以证明出，利用勾股定理．直角三角形的性质．重要不等式．三角形面积公式，求出面积的最大值.

【详解】

因为平面，平面，所以，又因为，

，平面，所以平面，而平面，所以有，又因为，，平面，所以平面，而平面，所以.D为中点，平面，平面，所以，所以.

因此有（当且仅当时取等号）.

【点睛】

本题考查了求三角形面积最大值问题，考查了线面垂直的判定定理和性质定理，考查了直角三角形的性质，考查了重要不等式，考查了数学运算能力.

8．【答案】

【解析】将三棱锥放在长方体中，外接球半径即为长方体对角线的一半，内切球的半径利用等体法进行求解.

【详解】

以，，为过同一顶点的三条棱，作长方体，

由，可知此长方体即为正方体.

设外接圆半径为，则，

设内切圆半径为，则内切圆的圆心到四个面的距离均为，

由，解得

所以，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了多面体的内切球外接球问题．等体法求距离，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.

9．【答案】

【解析】根据题意可得，平面，所以，得出为三棱锥的最长边，，根据直角三角形的性质，边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等，所以为球心，球直径即为.

【详解】

平面，平面，,

平面，，

，

所以三棱锥中最长边为，

设中点为，在中，

，所以三棱锥的外接球的球心为，

半径为.

故答案为:.

【点睛】

本题考查几何体的“切”“接”球问题，确定球心是解题的关键，考查空间垂直的应用，属于中档题.

10．【答案】

【解析】由勾股定理逆定理证得，，从而得线面垂直，也即得，由勾股定理计算．

【详解】

依题意可得，，则，同理可得.因为，

所以平面，则.因为，所以.

故答案为：．

【点睛】

本题考查线面垂直，考查空间想象能力.

11．【答案】.

【解析】因为和是全等的等边三角形，所以取中点，连接，过两个三角形外接圆的圆心做的高，交点就是外界球的球心，根据所构造的平面图形求半径，最后求球的表面积.

【详解】

由题意可知，设和的外心的半径为，，

则，，，，，

，，

所以球的表面积为.

【点睛】

本题考查了几何体外接球的表面积的求法，考查了空间想象能力，以及转化与化归和计算能力，属于中档题型，这类问题，需先确定球心的位置，一般可先找准底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，垂线上的点到底面各顶点的距离相等，然后再满足某点到顶点的距离也相等，找到球心后，利用球心到底面的距离，半径和顶点到底面中心的距离构造直角三角形，求半径.

12．【答案】

【解析】要使在这个四棱锥中放入的球的半径最大，只需该球为四棱锥的内切球，用等体积法即可求解.

详解：设此球半径为，最大的球应与四棱锥各个面都相切，

设球心为，连接，

则把此四棱锥分为五个棱锥，则它们的高均为．

因为底面是正方形，边长为，，

，所以，

所以，

所以平面，

所以平面，，同理，

四棱锥的体积，

四棱锥的表面积．

因为，

所以．

故答案为：

【点睛】

本题考查球与多面体的内切问题，转化为求多面体的体积和表面积，注意空间垂直关系的应用，属于中档题.

13．【答案】

【解析】取的中点，设等边三角形的中心为，连接.根据等边三角形的性质可求得，， 由等腰直角三角形的性质，得，根据面面垂直的性质得平面，，由勾股定理求得，可得为三棱锥外接球的球心，根据球体的表面积公式可求得此外接球的表面积.

【详解】

在等边三角形中，取的中点，设等边三角形的中心为，

连接.由，得，，

由已知可得是以为斜边的等腰直角三角形，,

又由已知可得平面平面，平面，，

，所以，为三棱锥外接球的球心，外接球半径，

三棱锥外接球的表面积为.

故答案为：

【点睛】

本题考查三棱锥的外接球的表面积，关键在于根据三棱锥的面的关系．棱的关系和长度求得外接球的球心的位置，球的半径，属于中档题.

14．【答案】

【解析】采用数形结合，分别取的中点，利用线线．线面关系结合面面垂直的性质定理以及线面垂直的判定定理可得平面，找到球心，可得半径，最后可得结果.

详解：如图，分别取的中点

由题可知：，又平面平面

平面平面，平面

所以平面，又平面

所以，

在图1中，，//

所以

由，…，

所以，

则

又，所以

又//，则

又,平面

所以平面，

又分别是的外心，

可知外接球的球心分别在过垂直平面，平面的垂线上

所以球心为，半径为

故三棱锥的外接球的体积为

故答案为：

【点睛】

本题考查三棱锥外接球的体积，关键在于找到球心以及半径，熟练掌握线线．线面．面面之间的位置关系，考验分析能力，属中档题.

15．【答案】

【解析】连接交于，通过线面垂直的判定，得到平面，根据正方体的棱长，得到点到平面的距离.

【详解】

连接交于，

因为正方体，所以面为正方形，

所以，

在正方体中，平面，

而平面，

所以

平面，

所以平面，

所以为点到平面的距离，

又因为正方体的棱长为，

所以到平面的距离为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查线面垂直的判定，求点到平面的距离，属于简单题.