必修 第二册5.2 平面与平面垂直课堂检测

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2．已知正方体的棱长为2，点分别是棱,的中点，点在平面 内，点在线段上，若，则长度的最小值为__________.
3．如图，底面为正方形，四边形为直角梯形，，平面，，，则异面直线与所成的角为________.
4．正方体的棱长为2，是的中点，则到平面的距离______．
5．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，则二面角D﹣AF﹣B的平面角余弦值的取值范围是_____．
6．设..是三个不同的平面，..是三条不同的直线，则的一个充分条件为________．
①； ②；
③； ④.
7．已知六棱锥的七个顶点都在球的表面上，若，底面，且六边形是边长为的正六边形，则球的体积为____________________.
8．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，有下列四个命题：
①若，则；②若，则
③若，则；
④若与所成角相等，则．
其中正确的命题有_____．（填写所有正确命题的编号）
9．已知，，，是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面，，则该球的体积为______．
10．正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值等于
11．三棱锥中，．．两两互相垂直，且，，则点到平面的距离为________
12．某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的四个侧面中,直角三角形有__________个
13．如图，三棱柱中，侧棱底面，，，，外接球的球心为，点是侧棱上的一个动点．有下列判断：①直线与直线是异面直线；②一定不垂直于； ③三棱锥的体积为定值；④的最小值为．其中正确的序号是______．
14．在正四棱柱中，底面的边长为，与底面所成角的大小为，则该正四棱柱的高等于__________
15．已知球内接三棱锥中，平面ABC，为等边三角形，且边长为，又球的体积为，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为________.
参考答案与试题解析
1．【答案】
【解析】过点作于，连接.设，则，，在与中，根据，得，从而求解即可.
【详解】
连接交于，连接，，过点作于.
设，则，，
在等腰直角三角形中，斜边.
，
，.
点在平面上的射影在线段上.
平面.
则，，.
在中
在中
在中
则，即
∴，则的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
本题考查立体几何求线段长度的取值范围，属于较难的一道题.
2．【答案】
【解析】取的中点为,则平面,即,由,得到,从而点在以为圆心,1为半径的位于平面内的半圆上,可得到的距离减去半径,即为长度的最小值.
【详解】
如图所示:取的中点为,则平面,即,
因为,所以,
所以点在以为圆心,1为半径的位于平面内的半圆上,
可得到的距离减去半径即为长度的最小值,
作于,
△的面积为:,
又,
所以,所以,
所以的长度的最小值为:.
故答案为:.
【点睛】
本题考查了正方体的结构特征,解题关键是将空间问题转化为平面问题解决,本题属于中档题.
3．【答案】
【解析】设正方形的中心为，可得，得到直线与所成角为（或其补角），根据余弦定理，可得的值，从而得到答案.
【详解】
如图，
设正方形的中心为，连接，，
则
因为，
所以，
所以为平行四边形，
所以，
所以直线与所成角等于与所成的角，即（或其补角），
因为，
在三角形中，根据余弦定理，可知，
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题考查求异面直线所成的角的大小，属于简单题.
4．【答案】
【解析】利用线面平行，将点到平面的距离，转化为到平面的距离来求解.
【详解】
由于，所以平面，因此到平面的距离等于到平面的距离.连接，交点为，由于，所以平面，所以为所求点到面的距离，由正方形的性质可知.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查空间点到面的距离，考查线面平行的判定，考查空间想象能力，属于基础题.
5．【答案】（，1）．
【解析】由于平面ABD⊥平面ABC，因此作DK⊥AB，则DK⊥平面ABCF，作DO⊥AF，则OK⊥AF，
则∠DOK为所求二面角的平面角，而cs∠DOK，设，，然后计算（可在矩形中计算），把表示为的函数，求得其取值范围．
【详解】
作DK⊥AB，则DK⊥平面ABCF，作DO⊥AF，则OK⊥AF，
则∠DOK为所求二面角的平面角，cs∠DOK，
设DF＝x，AF，AD2＝AO？AF，则AO，OD，
由平面图形ABCD知，∠DAF＝90°﹣∠FAB，
故tan∠FABct∠DAF，
所以OKOA，
所以cs∠DOK，x∈（1，2），
故答案为：（，1）．
【点睛】
本题考查求二面角，解题时首先要作出二面角的平面角并证明，这可利用题设中的面面垂直的性质，然后引入变形，把所求二面角的余弦值表示为的函数，从而可得取值范围．
6．【答案】②③
【解析】对四个条件逐一分析，由此确定能够推导出的条件的序号.
【详解】
对于①，，此时可能在平面内，不能推出，故①不符合.
对于②，由于，所以；由于，所以成立，故②符合.
对于③，两个相交平面同时和第三个平面垂直，则它们相交的交线与第三个平面垂直，故③符合.证明如下：，设，，在平面内，过分别作的垂线，垂足分别为，如图所示.根据面面垂直的性质定理可知，所以，而，所以.
对于④，，当时，可能在平面内，不能推出，故④不符合.
故答案为：②③
【点睛】
本小题主要考查线面垂直关系的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查充分条件的判断，属于基础题.
7．【答案】
【解析】根据底面为正六边形，可知底面外接圆的半径为，由勾股定理可求外接球的半径，即可求出体积.
【详解】
解：在六棱锥中，由于底面正六边形的边长为1，
故底面外接圆半径，
，底面，
设外接球的半径为
则解得
故答案为：
【点睛】
本题考查锥体的外接球的体积计算，属于基础题.
8．【答案】③
【解析】由两个平面的位置关系，结合面面垂直的定义可判断①；由面面垂直的性质和线线的位置关系可判断②；由面面平行的性质定理可判断③；由线面角的定义和面面的位置关系可判断④．
【详解】
解：是两条不同的直线，是三个不同的平面，
①，若，可能相交或，故①错误；
②，若，可能平行或相交或异面，故②错误；
③，若，由面面平行的性质定理可得，故③正确；
④，若与所成角相等，可能相交或平行，故④错误．
故答案为：③．
【点睛】
本题考查空间线线．线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题．
9．【答案】
【解析】根据题意画出几何体，找出球的球心，再根据球的体积公式即可求解.
【详解】
由题意可知为三棱锥，把三棱锥扩展为三棱柱，画出几何体如下：
可以看出，上下底面中心连线中点与顶点连线即为球的半径，
由已知，，
根据勾股定理可得，
则该球的体积为
故答案为：
【点睛】
本题主要考查空间几何体以及球的体积公式，考查了学生的空间想象能力，同时需熟记球的体积公式，此题属于中档题.
10．【答案】
【解析】
如图，连接交于点，连接。因为是正方体，所以面，从而可得，所以面，从而有，所以是二面角的平面角。设正方体的边长为1，则，所以在中有
11．【答案】
【解析】根据题意利用等体积计算点到平面的距离，求出的面积即可．
【详解】
．．两两互相垂直，且，，
，
到的距离为
的面积为
设点到平面的距离为，则
即点到平面的距离为
故答案为：
【点睛】
本题考查点到面的距离，解题的关键是利用等体积法进行求解．
12．【答案】3
【解析】根据三视图先还原成四棱锥，然后在该四棱锥的四个侧面中判断，即可得出．
【详解】
如图所示，该四棱锥是一个底面为直角梯形，一条侧棱PA垂直于底面的四棱锥．
由三视图可知，，．
因为面，所以都是直角三角形．
在中，，所以
，也是直角三角形．
在中，，而，所以不是直角三角形．因此，该四棱锥的四个侧面中，直角三角形有3个．
故答案为：3
【点睛】
本题主要考查三视图还原成几何体，线面垂直的定义．勾股定理及其逆定理的应用，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．
13．【答案】①③④
【解析】对四个判断逐一分析，由此确定正确判断的序号.
【详解】
对于①，由于平面外一条直线与平面相交于一点，则此直线与平面内不过交点的直线互为异面直线，所以①正确.
对于②，过作，交于.由于，所以平面，而，所以平面.所以，所以平面，所以，所以②错误.
对于③，由于两两垂直，所以三棱柱的外接球直径为（或），也即球心在与的交点处.由于,所以平面，所以动点到平面的距离为定值，而三角形面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以③正确.
对于④，将两个半平面与展开成矩形（平面图形）,则的最小值为.故④正确.
故答案为：①③④
【点睛】
本小题主要考查空间点线面位置关系，考查锥体体积计算，考查空间距离和的最小值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
14．【答案】
【解析】连结辅助线,证明与底面所成的角为,再根据正切值求解.
【详解】
解：连结,因为为四棱柱,
所以面,
则与底面所成的角为,
,即,
解得该正四棱柱的高.
故答案为：
【点睛】
本题考查了正四棱柱的性质,正四棱柱的高的计算,考查了线面角的定义,关键是找到直线与平面所成的角.
15．【答案】
【解析】先根据正弦定理求出小圆的半径,根据球的体积求出球的半径,再根据垂径定理求得,根据勾股定理求得,,取的中点,连,可得就是直线PC与平面PAB所成的角,在直角三角形中可求得.
【详解】
如图:
由正弦定理得小圆的半径为:,则,
又由,得球的半径R,
所以,取的中点,连接, ,则就是直线PC与平面PAB所成的角,
又,
,
所以.
直线PC与平面PAB所成角的余弦值为.
【点睛】
本题考查了直线与平面所成的角,垂径定理,属中档题.