2022-2023学年山西省太原市小店区第一中学校高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年山西省太原市小店区第一中学校高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据交集的定义计算可得.

【详解】解：因为，，

所以；

故选：B

2．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据全称命题的否定，可得答案.

【详解】命题“”的否定是“”，

故选：A.

3．不等式的解集是（    ）

A． B．

C．或 D．

【答案】C

【分析】直接求出一元二次不等式的解集作答.

【详解】解不等式得：或，

所以不等式的解集是或.

故选：C

4．“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】直接利用充分条件和必要条件的判断方法，判断即可得出答案.

【详解】解：因为“”能推出“”，

而“”推不出“”，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

5．下列结论正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【分析】根据不等式的性质，对四个选项一一验证：

对于A：利用不等式的可乘性的性质进行判断；

对于B：取进行否定；

对于C：利用不等式的可乘性的性质进行证明；

对于D：取进行否定.

【详解】对于A：当时，若取，则有.故A不正确；

对于B：当时，取时，有.故B不正确；

对于C：当，两边同乘以，则.故C正确；

对于D：当，取时，有.故D不正确.

故选：C.

【点睛】（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；

（2）判断不等式成立的解题思路：

①取特殊值进行否定；②利用不等式的性质直接判断.

6．下列四个函数中，与表示同一函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据相等函数的判断性质进行定义域和对应法则的判断.

根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，这样的两个函数是同一函数，进行判断即可．

【详解】解：对于选项A：，与的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误； 

对于选项B：，与的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数，故B正确； 

对于选项C：，与的对应关系不同，所以不是同一函数，故C错误；

对于选项D：，与的定义域不同，所以不是同一函数，故D错误．

故选：B．

7．函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数解析式，建立不等式组，解得答案.

【详解】由，则，解得或，即函数的定义域为，

故选：C.

8．设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定的分段函数，分段代入计算即可作答.

【详解】函数，所以.

故选：B

9．若y1＝2x2－2x＋1，y2＝x2－4x－1，则y1与y2的大小关系是（    ）

A．y1>y2 B．y1＝y2

C．y1<y2 D．随x值变化而变化

【答案】A

【分析】采用作差法，判断差的正负，从而可判断y1与y2的大小关系.

【详解】 ,

故 ，

故选：A

10．设x，y为正数，则的最小值为（    ）

A．6 B．9 C．12 D．15

【答案】B

【分析】根据基本不等式进行求解即可.

【详解】，

因为x，y为正数，所以（当且仅当时取等号，即当时取等号），

因此，

故选：B

11．已知，则函数（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据，令，则，代入求解.

【详解】因为已知，

令，则，

则，

所以，‘

故选：A

12．已知命题．若p为假命题，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【分析】求出存在量词命题的否定，再借助一元二次方程无实根求出a的范围作答.

【详解】命题是存在量词命题，于是得，

因为假命题，则为真命题，显然，则，解得或，

所以实数a的取值范围是或.

故选：C

二、填空题

13．不等式的解集是，则______．

【答案】

【分析】由一元二次不等式的解集可得求a、b，即可确定目标式的结果.

【详解】由题设，，可得，

∴.

故答案为：

14．若，则的最小值为______．

【答案】3

【分析】运用基本不等式即可.

【详解】因为，

当且仅当时，即，等号成立，

所以的最小值为3.

即答案为:3.

15．若两个正实数 满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为___________．

【答案】

【分析】将变形为，利用基本不等式求得的最小值，则可将不等式恒成立，转化为，即可求得答案.

【详解】因为两个正实数 满足，所以，

故

，当且仅当时取等号，

由不等式恒成立，则，

解得，即实数m的取值范围为，

故答案为：

16．已知函数是上是减函数，则a的取值范围___________

【答案】

【分析】根据函数是上的减函数，则每一段都是减函数且左侧的函数值不小于右侧的函数值.

【详解】函数是上的减函数，

所以，

解得.

故答案为：.

【点睛】易错点睛：分段函数在上是单调函数，除了保证在各段内单调性一致，还要注意在接口处单调.

三、解答题

17．已知，，.

（Ⅰ）求实数、的值，并确定的解析式；

（Ⅱ）试用定义证明在内单调递增.

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）见解析

【解析】（Ⅰ）代入化简求解即可.

（Ⅱ）设,再化简求解证明即可.

【详解】（Ⅰ）由有，解得，所以

（Ⅱ）证明：设，则.

∵，∴，即，

∴在上单调递增.

【点睛】本题主要考查了根据函数值求解解析式中的参数问题与根据定义证明函数单调性的问题.属于基础题型.

18．已知集合，集合．

(1)求，，．

(2)若集合，且，求实数a的取值范围．

【答案】(1)或；；或；

(2)且.

【分析】（1）解分式不等式化简集合B，再利用补集、交集、并集的定义求解作答.

（2）利用给定的结果，结合集合的包含关系列式求解作答.

【详解】(1)不等式化为，解得或，即或，而，

所以或，，或.

(2)因，又，即，

当时，，解得，

当时，，解得，因此或，

所以实数a的取值范围是且．

19．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.

（l）求函数的解析式；

（2）求关于的不等式的解集.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）利用奇函数的性质得出，设，可得出，求出的表达式，利用奇函数的性质可得出函数在区间上的解析式，综合可得出函数的解析式；

（2）作出函数的图象，可知函数是定义在区间上的减函数，由可得出，然后利用函数的单调性和定义域列出关于实数的不等式组，解出即可.

【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，则，满足.

设，则，所以，，

此时，.

综上所述，；

（2）作出函数的图象如下图所示：

由图象可知，函数在定义域上既为奇函数，又为减函数，

由可得，

所以，解得或，

因此，关于的不等式的解集为.

【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数解析式，同时也考查了利用函数的奇偶性与单调性解不等式，考查运算求解能力，属于中等题.

20．已知函数．

(1)去掉绝对值，写出的分段解析式；

(2)画出的图象，并写出的最小值．

【答案】(1)；

(2)作图见解析；.

【分析】（1）根据绝对值的意义分段求解，再写成分段函数作答.

（2）由（1）的函数式，结合二次函数图象分段作图，再分段求出最值作答.

【详解】(1)函数，当时，，当时，，

所以.

(2)当时，的图象是以直线为对称轴，开口向上的抛物线的一部分，

当时，的图象是以直线为对称轴，开口向上的抛物线的一部分，函数的图象如图：

当时，，在上单调递减，在上单调递增，，

当时，，在上单调递增，，

因此当时，，所以的最小值为．

21．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.

(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

【答案】(1)400；

(2)不能获利，至少需要补贴35000元.

【分析】(1)每月每吨的平均处理成本为，利用基本不等式求解即得最低成本；

(2)写出该单位每月的获利f(x)关于x的函数，整理并利用二次函数的单调性求出最值即可作答.

【详解】(1)由题意可知：，

每吨二氧化碳的平均处理成本为：

，

当且仅当，即时，等号成立，

∴该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低；

(2)该单位每月的获利：

，

因，函数在区间上单调递减，

从而得当时，函数取得最大值，即，

所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.