2022-2023学年广东省汕头市津怀中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省汕头市津怀中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，则=

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．

【详解】由题意得，，则

．故选C．

【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．

2．下列函数中，定义域是R且为增函数的是（    ）

A．y=︱x︱ B．y=x3 C． D．

【答案】B

【分析】直接判断每个选项中函数的单调性或者定义域来确定即可.

【详解】A.y=︱x︱，当时，，其为减函数，排除；

B. y=x3，定义域是R且为增函数，符合；

C.，定义域为，排除；

D.，定义域为，排除；

故选：B

3．设，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】解出含绝对值的不等式，根据两者所表示的集合之间的关系即可得到答案.

【详解】，解得，因为“”推不出“”，而“”也不能推出“”，故前者是后者的既不充分也不必要条件，

故选：D.

4．函数y=︱x+1︱+︱x-2︱的值域为（    ）

A．[1，2] B．[3，+∞） C．[1，+∞） D．[2，+∞）

【答案】B

【分析】对绝对值函数进行分类讨论后去括号写成分段函数，做出图像即可得值域.

【详解】解：由题意得：

图像如图所示：

”

所以函数的值域为

故选：B

5．已知偶函数的定义域为R，当时，单调递增，则，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据偶函数的性质，结合单调性即可选出答案.

【详解】因为为偶函数，所以，．又当时，单调递增，且，所以，即．

故选：B．

6．设,若,则

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【详解】由时是增函数可知,若,则,所以,由得,解得,则,故选C.

【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．

7．如下折线图统计了2020年2月27日至2020年3月11日共14天全国（不含湖北）新冠肺炎新增确诊人数和新增疑似人数，记2020年2月27日至2020年3月11日的日期为t（t∈N*），t的取值如下表.

新增确诊人数记为f（t）（图中粗线），新增疑似人数记为g（t）（图中细线），则下列结论正确的是（    ）A．f（t）与g（t）的值域相同              B．f（9）>g（10）

C．，使 D．，且.

【答案】D

【分析】结合函数列表法，图像法进行逐一判断即可.

【详解】解：由题意得：

对于选项A：由图像可知：的值域是，的值域是，不相同，故A错误；

对于选项B：当时，所对应的日期为，由图可知，，当时，所对应的日期为，由图可知，，故，故B错误；

对于选项C：函数的图像在函数图像的下方，所以不存在，使得，故C错误；

对于选项D：由图可知，，且时，函数的图像在函数图像的下方，故.

故选：D

8．已知符号函数，，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据题意，求出的解析式，根据新函数的定义，分类讨论可得，即可得出答案．

【详解】解：根据题意，，，

当时，可知，，则，

当时，可知，，则，

当时，可知，，则，

则有，

所以.

故选：C.

【点睛】本题考查分段函数的应用，涉及新函数的定义，属于基础题．

二、多选题

9．若集合M＝{﹣1，1，3，5}，集合N＝{﹣3，1，5}，则正确的是（    ）

A．xN，xM B．xN，xM

C．MN＝{1，5} D．MN＝{﹣3，﹣1，3}

【答案】BC

【解析】根据集合M＝{﹣1，1，3，5}，集合N＝{﹣3，1，5}，逐个判断即可得解.

【详解】对A，﹣3 N，﹣3M，故A错误；

对B， 1N，1M，故B正确；

对C，MN＝{1，5}，故C正确；

对D，MN＝{﹣3，﹣1，1，3，5}，故D错误.

故选：BC.

【点睛】本题考查了集合及元素相关关系，也考查了集合的运算，其方法是对集合的元素进行分析判断，属于基础题.

10．若．且，则下列不等式恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】结合基本不等式对选项进行分析，由此确定正确选项.

【详解】，当且仅当时等号成立，

则或，

则，

即AB错误，D正确.

对于C选项，，C选项正确.

故选：CD

11．下列说法正确的是（    ）

A．不等式的解集是或 B．不等式的解集是或

C．若不等式的解集是，那么a的值是2 D．关于x的不等式解集是，则的值为

【答案】BD

【分析】对A,B直接解出相关不等式即可判断，对C选项利用韦达定理得到，解出即可，对于D选项利用韦达定理中两根之和得到即，即可判断.

【详解】对于A,,由得,

解得或,

不等式的解集为或故A错误;

对于B，,或.故B正确;

对于C，由题意可知和为方程的两个根.

.故C错误;

对于D,依题意,是方程的两根,

,即,故D正确.

故选：BD.

12．已知为定义在R上的函数，对任意的R，都有，并且当时，有，则（    ）

A．

B．若，则

C．在上为增函数

D．若，且，则实数的取值范围为

【答案】ACD

【解析】取即可求得的值，令，易得，从而可判断其奇偶性；设，且，作差后判断其符号即可证得为上的增函数；依题意可得，原不等式等价于，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可；

【详解】解：取得，则，即；故A正确；

取代入，得，又，于是，

为奇函数；

因为，所以，故B错误；

设，且，

则，

由知，，所以

，

函数为上的增函数．故C正确；

因为，所以，

所以等价于，

即

所以

等价于，即，解得或，故D正确；

故选：ACD

【点睛】本题主要考查抽象函数的应用，函数奇偶性的判断以及函数不等式的解法，利用函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．

三、填空题

13．已知二次函数，则f(x)＝________.

【答案】

【分析】解法一：利用换元法，令，代入求出解析式；

解法二：配凑法，，即可得到结果；

解法三：待定系数法，设，代入求出结果

【详解】解法一：(换元法)令()，则，

所以，

所以

解法二：(配凑法)

因为

所以

解法三：(待定系数法)

因为是二次函数，所以设，

则

因为

，解得

所以

【点睛】本题主要考查了求函数解析式，可以运用换元法、配凑法、待定系数法来求解，掌握不同解法

14．已知函数，则f（f（3））=______

【答案】

【分析】根据分段函数求值代入即可求解.

【详解】解：由题意得：

故答案为：

15．函数 的值域为________________．

【答案】

【分析】，分别讨论和时，由基本不等式求得的范围即可求解.

【详解】定义域为，

当时，，

当且仅当即时等号成立，所以，

当时，，

当且仅当即时等号成立，所以，

所以函数的值域为，

故答案为：.

16．已知，非空集，若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围是______

【答案】

【分析】先求出集合P，再根据PS的包含关系列不等式求解即可.

【详解】由已知，又

若x∈P是x∈S的必要条件

则，

，解得

故答案为：

四、解答题

17．设，已知命题p：函数有零点；命题q：

(1)当时，判断命题q的真假

(2)若p和q为假命题，求t的取值范围.

【答案】(1)真命题

(2)

【分析】（1）直接代入，根据单调性得到，即可判断真假；

（2）当命题为假命题时，则，，而命题为假命题，先求为真命题时，则求得或,则为假命题时，最后取交集即可.

【详解】（1）将代入得命题：，设，设，根据减函数加上减函数为减函数，则为减函数，所以，故命题为真命题.

（2）若命题为假命题时，则，解得，

根据（1）中单调性可知命题为真命题时，

,即,

解得或,

由此得到,当为假命题时,,

的取值范围是.

则若和为假命题，则的取值范围为.

18．在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中．

已知函数，且_______，

（1）求的定义域，并判断的奇偶性；

（2）判断的单调性，并用定义给予证明．

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.

【解析】选择①，可得，选择②，可得.

（1）使函数有意义，只需；再求出与的关系即可求解.

（2）根据证明函数单调性的步骤：取值、作差、变形、定号即可证明.

【详解】选择①，因为，所以.

（1）要使函数有意义，只需，

所以函数的定义域为.

因为，

所以为奇函数．

⑵ 函数在区间和均为增函数．

证明如下： ，且，

  则

，

因为，所以，，，

所以，即，

故函数在区间为增函数；

同理可证，函数在区间为增函数；

所以函数在区间和均为增函数．

选择②，因为，所以．

（1）要使函数有意义，只需，

所以函数的定义域为.

因为，

所以奇函数．

⑵ 函数在区间和均为减函数．

证明如下：，且，

则

，

因为，所以，，，

所以，即，

故函数在区间为减函数；

同理可证，函数在区间为减函数；

所以函数在区间和均为减函数．

19．解关于x的不等式：．

【答案】见解析

【解析】由题意，将不等式变形为，分三种情况讨论，分别求解不等式的解集，即可得到答案．

【详解】将不等式变形为.

当a <0或时，有a < a2，所以不等式的解集为或；

当a =0或时，a = a2=0，所以不等式的解集为且；

当0< a <1时，有a > a2，所以不等式的解集为或；

【点睛】本题主要考查了含参数的一元二次不等式的求解问题，其中解含参数的一元二次不等式的步骤：（1）若二次项含有参数，应先讨论参数是等于0、小于0，还是大于0，然后整理不等式；（2）当二次项系数不为0时，讨论判别式与0的关系，判断方程的根的个数；（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式.

20．已知函数的定义域为，函数.

(1)求函数的定义域；

(2)若为奇函数，并且在定义域上是单调递减，求不等式的解.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据函数的单调性列不等式并求解；

（2）根据函数的奇偶性与单调性列不等式求解.

【详解】（1）解：由题意可知，解得，的定义域为.

（2）解：由得，.

是奇函数，，

又在上单调递减， ，解得.

不等式的解集为.

21．2020年我国面对前所未知，突如其来，来势汹汹的新冠肺炎疫情，中央出台了一系列助力复工复产好政策．城市快递行业运输能力迅速得到恢复，市民的网络购物也越来越便利．根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t（单位：分钟）满足：，，平均每趟快递车辆的载件个数(单位：个)与发车时间间隔t近似地满足，其中．

(1)若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1600个，试求发车时间间隔t的值；

(2)若平均每趟快递车辆每分钟的净收益(单位：元)，问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益(结果取整数)．

【答案】(1)

(2)发车时间间隔为6分钟时，净收益最大为140（元）

【分析】（1）根据，分段讨论求解；

（2）建立净收益函数得，求其最大值即可.

【详解】（1）解：当时，，不满足题意，舍去．

当时，，即．

解得（舍）或．

∵且，∴．

所以发车时间间隔为5分钟．

（2）由题意可得．

当，时，（元），

当且仅当，即时，等号成立，

当，时，（元）

所以发车时间间隔为6分钟时，净收益最大为140（元）．

22．已知函数f (x)＝x2－4x＋a，g(x)＝ax＋5－a．

(1)若函数y＝f (x)在区间[－1，0]上存在零点，求实数a的取值范围；

(2)若对任意的x1∈[-1，3]，总存在x2∈[-1，3]，使得f (x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)[－5，0]

(2)

【分析】（1）根据二次函数的单调性及零点存在性定理建立不等式求解即可；

（2）由题意转化为当x∈[-1，3]时函数y＝f (x)的函数值组成的集合为函数y＝g(x)的函数值组成的集合的子集，先求出的值域，在分类讨论求的值域，根据子集建立不等式组求解.

【详解】（1）因为函数f (x)的对称轴是x＝2，

所以y＝f (x)在区间[－1，0]上是减函数，

因为函数y＝f (x)在区间[－1，0]上存在零点，则必有

即解得－5≤a≤0．

故所求实数a的取值范围[－5，0]．

（2）若对任意的x1∈[-1，3]，总存在x2∈[-1，3]，

使得f (x1)＝g(x2)成立，只需当x∈[-1，3]时函数y＝f (x)的函数值组成的集合为函数y＝g(x)的函数值组成的集合的子集．

f (x)＝x2－4x＋a在区间x∈[-1，3]的函数值组成的集合为[a－4，a＋5]，

①当a＝0时，g(x)＝5为常数，不符合题意，舍去；

②当a>0时，g(x)在区间[-1，3]的值域为[5－2a，5+2a]，

所以， 解得．

③当a<0时，g(x)在区间[-1，3]的值域为[5+2a， 5－2a]，

所以，．

综上所述，实数a的取值范围为．