2021-2022学年陕西省西安市新城区爱知中学八年级（下）第一次月考数学试卷(解析版)

这是一份2021-2022学年陕西省西安市新城区爱知中学八年级（下）第一次月考数学试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年陕西省西安市新城区爱知中学八年级（下）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  满足下列条件的中，不是直角三角形的是(    )A.  B.
C. ：：：： D. ：：：：2.  如图，点、分别在直线、上，且直线，以点为圆心，长为半径画弧交直线于点，连接，若，则(    )A.  B.  C.  D. 3.  在课堂上，张老师布置了一道画图题：
画一个，使，它的两条边分别等于两条已知线段．小明和小强同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．

那么小明和小强同学作图确定三角形的依据分别是(    )A. ， B. ， C. ， D. ，4.  如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接若的周长为，，则的周长为(    )A.  B.  C.  D. 5.  如图，是一张顶角为的三角形纸片，，，现将折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为(    )A.  B.  C.  D.  6.  如图，为内一点，平分，，，若，，则的长度为(    )A.      B.        C.  D. 7.  如图，在中，，，平分交于点于点，若，则线段的长为(    )A.       B.      C.  D. 8.  在中，，，直角的顶点是的中点，两边、分别交、于、，给出以下四个结论：当在内绕旋转时点不与、重合，；；是等腰直角三角形；；的最小值为；则正确结论有(    )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.  等腰三角形的一个内角为，则顶角的度数为______．10.  “等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是______．11.  将一副三角尺如图所示叠放在一起，如果，那么______． 12.  如图，在 中，，，，的垂直平分线 交 的延长线于，则 的长为______ ．13.  如图，是等边三角形，是等腰三角形，且，点是边上的一点，满足，如果，，那么的长是______． 14.  如图，等边的边长为，是边上的中线，是上的动点，是边上一点，若，的最小值为______ ．  三、解答题（本大题共7小题，共58.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.  本小题分
解下列不等式组，并把第题的解集在数轴上表示出来：
；
．  16.  本小题分
如图，已知，为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点，使保留作图痕迹，不写作法
17.  本小题分
如图，已知，点、点在线段上，与交于点，且，求证：．
18.  本小题分
如图所示，在等边三角形中，、的平分线交于点，和的垂直平分线交于、，求证：．    19.  本小题分
时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有、两种型号的手机，进价和售价如表所示：型号价格 进价元部售价元部某营业厅购进、两种型号手机共花费元，手机销售完成后共获得利润元．
营业厅购进、两种型号手机各多少部？
若营业厅再次购进、两种型号手机共部，其中型手机的数量不多于型手机数量的倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？ 20.  本小题分
如图，中，，于点，于点，，与交于点，连接．
求证：；
若，求的长．  21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知点，为等边三角形，是轴上一个动点不与原点重合，以线段为一边在其右侧作等边三角形．
求点的坐标；
在点的运动过程中，的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由．
当时，求的面积．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、，，
，
，
，
是直角三角形，
故A不符合题意；
B、，，
，
，
是直角三角形，
故B不符合题意；
C、：：：：，
设，，，
，
不能组成三角形，
故C符合题意；
D、：：：：，，
，
是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：．
利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及三角形内角和定理是解题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：在中，，，
，
．
又直线，
．
故选：．
在中，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出的度数，由直线，利用“两直线平行，内错角相等”可求出的度数．
本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及平行线的性质，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理，求出的度数是解题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：小明同学先确定的是直角三角形的两条直角边，
确定依据是定理；
小强同学先确定的是直角三角形的一条直角边和斜边，
确定依据是定理．
故选：．
分别根据全等三角形的判定定理进行解答即可．
本题考查的是作图复杂作图，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接．
是的垂直平分线，
，
的周长为，
，
，
的周长为：．
故选：．
首先根据题意可得是的垂直平分线，即可得，又由的周长为，求得的长，则可求得的周长．
此题考查了线段垂直平分线的性质与作法．题目难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用．
 5.【答案】 【解析】解：，
，
根据折叠的性质，，，
，
，
，
，
，，
．
故选：．
根据折叠的性质，，，又，可知，根据所对的直角边等于斜边的一半，可知，．
本题主要考查了折叠的性质、等腰三角形的性质以及所对的直角边等于斜边的一半，熟悉折叠的性质是解决问题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：延长交于点，

平分，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
在中，，
故选：．
延长交于点，利用角平分线的定义可得，再根据垂直定义可得，从而利用可证≌，然后利用全等三角形的性质可得，，从而可得，再利用等角对等边可得，从而可得，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：平分，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
故选：．
根据角平分线的定义和直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了含角的直角三角形的性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：、都是的余角，
，
，，是中点，
，
，
在与中，
，
≌，
，，故正确；
，
是等腰直角三角形，故正确；
，
，故正确；
，
若，则是中位线，
不能保证结论始终正确，故错误；
，，直角的顶点是的中点，
，，
，，
．
在和中，
，
≌，
，，
，
在中，由勾股定理，得，
，，
故正确；
是等腰直角三角形，
，
当时，取最小值，此时，
，故正确，
综上所述：，共个，
故选：．
根据图形旋转的性质及全等三角形的判定定理得出≌，≌，再根据全等三角形的性质对题中的结论逐一判断．
本题属于三角形综合题，考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，三角形中位线的性质，三角形面积公式的运用，根据题意得出≌，≌是解答此题的关键．
 9.【答案】或 【解析】【分析】
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的运用；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
已知等腰三角形的一个内角为，则这个角有可能是底角，也有可能是顶角，所以应该分情况进行分析，从而得到答案．
【解答】
解：当这个角是顶角时，则顶角的度数为，当这个角是底角时，则顶角的度数，
故其顶角的度数为或．
故填或．  10.【答案】如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形 【解析】解：命题的条件是“一个三角形是等腰三角形”，结论是“两腰上的高相等”将条件和结论互换得逆命题为：如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
 11.【答案】 【解析】解：在中，，，
，
，
，
，
由勾股定理得，，
故答案为：．
根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理计算即可．
本题考查的是勾股定理，直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 12.【答案】 【解析】解：，，，
根据勾股定理得：，
的垂直平分线交的延长线于点，
，，
∽，
：：，即：：，
解得，，
故答案为：．
根据勾股定理求出的长，证明∽，根据相似三角形的性质定理列出比例式计算即可．
本题主要考查线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握线段的垂直平分线的概念、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：连接交于，设与交于点，
是等边三角形，
，，
，，
，，
，
，
，，
为等边三角形，，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
连接交于，证明为等边三角形，求出、，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是线段垂直平分线的判定和性质、等边三角形的性质、勾股定理，根据等边三角形的性质分别求出、是解题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：连接，与交于点则就是的最小值．
取中点，连接．
等边的边长为，，
，
，
又是边上的中线，
是的中位线，
，，
又为的中点，
为的中点，
是的中位线，
，
，
，
．
在直角中，，，
，
．
，
的最小值为．
故答案为：．
要求的最小值，需考虑通过作辅助线转化，的值，从而找出其最小值求解．
此题主要考查了等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．得出点位置是解题关键．
 15.【答案】解：，
，
，
，
；
由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为可得；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 16.【答案】解：如图，点为所作．
 【解析】作的垂直平分线交于，则，所以．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
 17.【答案】证明：，
，即，
在和中，
，
≌
，
． 【解析】证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 18.【答案】证明：在等边三角形中．
、的平分线交于点，和的垂直平分线交于、，
，，．
，                                   
．
． 【解析】先根据线段的垂直平分线的性质和角平分线性质得到有关的角和线段之间的等量关系：，，；再利用三角形的外角等于不相邻的两内角和求出，从而判定是等边三角形即，通过线段的等量代换求证即可．
此题考查了线段的垂直平分线的性质等和三角形的外角等于不相邻的两内角和以及等边三角形的性质；进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
 19.【答案】解：设营业厅购进、两种型号手机分别为部、部，
，
解得，，
答：营业厅购进、两种型号手机分别为部、部；
设购进种型号的手机部，则购进种型号的手机部，获得的利润为元，
，
型手机的数量不多于型手机数量的倍，
，
解得，，
，，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时，，
答：营业厅购进种型号的手机部，种型号的手机部时获得最大利润，最大利润是元． 【解析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
根据题意和表格中的数据，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得营业厅购进、两种型号手机各多少部；
根据题意，可以得到利润与种型号手机数量的函数关系式，然后根据型手机的数量不多于型手机数量的倍，可以求得种型号手机数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少．
 20.【答案】证明：，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
在和中，，
≌，
，
，，
，
；

解：≌，
，
在中，，
，，
，
． 【解析】先判定出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而得证；
根据全等三角形对应边相等可得，然后利用勾股定理列式求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后根据代入数据即可得解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理的应用，以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
 21.【答案】解：如图，过点作轴于点，

为等边三角形，且，
，，
，而，
，，
点的坐标为；
，始终不变．理由如下：
、均为等边三角形，
、、，
，
在与中，
，
≌，
；
如图，过点作轴于，

，
，，，
，，
，，，
由可知，≌，
，
的面积． 【解析】先求，，由直角三角形的边角关系即可解决问题；
由“”可证≌，得到，即可解决问题；
由直角三角形的性质可求，，的长，由全等三角形的性质可求，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．