2022-2023学年江西省崇仁县八年级下册数学期末专项提升模拟卷（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年江西省崇仁县八年级下册数学期末专项提升模拟卷（AB卷）含解析，共51页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江西省崇仁县八年级下册数学期末专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选
1. 下面给出的5个式子中：①3＞0，②4x+3y＞0，③x=3，④x－1，⑤x+2≤3，其中没有等式有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2. 已知等腰三角形两边长是8cm和4cm，那么它的周长是（ ）
A 12cm B. 16cm C. 16cm或20cm D. 20cm
3. 若，则下列各式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
4. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则底角的度数为（　　）
A. 60° B. 120° C. 60°或120° D. 60°或30°
5. 在△ABC中，∠ACB为直角，∠A=30°，CD⊥AB于D，若BD=1，则AB的长度是（　　）

A 4 B. 3 C. 2 D. 1
6. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；其中正确的是（　　）个．

A 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填 空 题
7. 用没有等号“＞、＜、≥、≤”填空：a2+1______0．
8. 一个等腰三角形的两边长分别为5和2，则这个三角形的周长为__________
9. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为10cm，那么△ABC的周长为_____cm．

10. 已知“x的3倍大于5，且x的一半与1的差没有大于2”，则x的取值范围是________________．
11. 如图，，，在上，，在上，且，，，则的度数是______度.

12. 平面直角坐标系中，A（0，4），B（-3，0），C在x轴正半轴上，且△ABC等腰三角形，则C点坐标为___________
三、解 答 题
13. 解下列没有等式(组)，并把解集在数轴上表示出来．
(1)
(2).

14. 如图，在△ABC中，∠Ｃ=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，如果DE=5cm，∠CAD=32°，求CD的长度及∠B的度数．

15. 已知：如图，点D是△ABC内一点，AB＝AC，∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC．

16. 已知：如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，点D在BC边上．
求证：AD＝BE．

17. 如图，在中，，是边上中点，于点，于点．求证：．

18. 用无刻度尺作图:
（1）在图中找一点O，使OA=OB=OC；
（2）在AC上找一点P，使得P到AB，BC的距离相等.

19. 如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，DE是AC的垂直平分线，线段DE=1cm，则BD的长为_____.

20. 解没有等式组，并在数轴上表示没有等式组的解集．
21. 某校计划组织师生共300人参加大型公益，如果租用6辆大客车和5辆小客车，恰好全部坐满，已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个．
（1）求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；
（2）由于参加的人数增加了30人，学校决定调整租车，在保持租用车辆总数没有变的情况下，且所有参加的师生都有座位，求租用小客车数量的值．
22. 如图，直线l1：y1=﹣x+m与y轴交于点A（0，6），直线l2：y=kx+1分别与x轴交于点B（﹣2，0），与y轴交于点C，两条直线交点记为D．

（1）m=　 　，k=　 　；
（2）求两直线交点D的坐标；
（3）根据图象直接写出y1＜y2时自变量x的取值范围．
23. 如图（1），Rt△AOB中，∠A＝90°，，OB＝2，∠AOB的平分线OC交AB于C，过作与垂直的直线．动点从点出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线以相同的速度运动，当点到达点时，同时停止运动．
（1）OC＝　 　，BC＝　 　；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．



















2022-2023学年江西省崇仁县八年级下册数学期末专项提升模拟卷（A卷）
一、选一选
1. 下面给出的5个式子中：①3＞0，②4x+3y＞0，③x=3，④x－1，⑤x+2≤3，其中没有等式有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【正确答案】B

【分析】根据没有等式的概念可直接进行排除选项．
【详解】解：由题意得：3＞0；4x+3y＞0；x+2≤3是没有等式．
故选B．
本题主要考查没有等式的定义，熟练掌握没有等式的定义是解题的关键．
2. 已知等腰三角形两边长是8cm和4cm，那么它的周长是（ ）
A. 12cm B. 16cm C. 16cm或20cm D. 20cm
【正确答案】D

【分析】根据题意可分当腰长为8cm和当腰长为4cm，然后三角形的三边关系可求解．
【详解】解：由题意可得：
当腰长为8cm，则有底边长为4cm，符合三边关系，所以它的周长为：8+8+4=20cm；
当腰长为4cm，则有底边长为8cm，4+4=8，没有符合三边关系，
综上所述：等腰三角形的边长为8cm，8cm，4cm，它的周长为20cm．
故选D．
本题主要考查等腰三角形的定义及三角形的三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键．
3. 若，则下列各式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】若，，，，当c＞0时，
故选：B
4. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则底角的度数为（　　）
A. 60° B. 120° C. 60°或120° D. 60°或30°
【正确答案】D

【详解】当高在三角形的内部时，如图一，因为∠BDC=90°，∠CBD=30°，所以∠C=60°；当高在三角形的外部时，如图二，因为∠BDC=90°，∠ABD=30°，所以∠DAB=60°，所以∠ABC+∠C=60°，所以∠C=30°，故选D.

图一 图二
5. 在△ABC中，∠ACB为直角，∠A=30°，CD⊥AB于D，若BD=1，则AB的长度是（　　）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【正确答案】A

【详解】因为CD⊥AB，∠ACB是直角，∠A=30°，所以∠BCD=30°，所以BC=2BD，AB=2BC，所以AB=4BD=4×1=4，故选A.
6. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；其中正确的是（　　）个．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】D

【详解】因为∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，所以CD=ED，则①正确；因为∠B+∠BDE=90°，∠B+∠BAC=90°，所以∠BDE=∠BAC，则③正确；由AAS可证明△AED≌△ACD，所以∠EDA=∠CDA；AC=AE，因为AE+BE=AB，所以AC+BE=AB，则②④正确，故选D.
二、填 空 题
7. 用没有等号“＞、＜、≥、≤”填空：a2+1______0．
【正确答案】＞

【详解】试题解析：根据a2≥0，
∴a2+1＞0.
考点：1.没有等式的定义；2.非负数的性质：偶次方．
8. 一个等腰三角形的两边长分别为5和2，则这个三角形的周长为__________
【正确答案】12

【分析】分5作腰和2作腰，两种情形求解即可.
【详解】解：当5为等腰三角形的腰时，三边长分别为5,5,2，
满足两边之和大于第三边，
此时，等腰三角形存在，
且周长为5+5+2=12；
当2为等腰三角形的腰时，三边长分别为5,2,2，
没有满足两边之和大于第三边，
此时，等腰三角形没有存在，
综上所述，等腰三角形的周长为12，
故答案为12.
本题考查了等腰三角形的按边分类的周长计算问题，正确进行分类是解题的关键.
9. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为10cm，那么△ABC的周长为_____cm．

【正确答案】16

【分析】根据DE是AC的垂直平分线以及AE＝3cm，即可得出DA＝DC且AC＝6cm，再根据△ABD的周长和△ABC的周长之间的关系即可得出C△ABC的值．
【详解】∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，
∴AC＝2AE＝6cm，DA＝DC，
∵C△ABD＝AB+BD+DA，C△ABC＝AB+BD+DC+CA＝AB+BD+DA+CA＝C△ABD+CA，且C△ABD＝10cm，
∴C△ABC＝10+6＝16cm，
故答案为16．
本题考查了线段垂直平分线的性质以及三角形的周长，解题的关键是找出△ABD的周长和△ABC的周长之间的关系．解决该题型题目时，根据线段垂直平分线的性质找出相等的线段是关键．
10. 已知“x的3倍大于5，且x的一半与1的差没有大于2”，则x的取值范围是________________．
【正确答案】＜x≤6

【详解】解：依题意有，解得＜x≤6．
故x的取值范围是：＜x≤6．
故＜x≤6．
11. 如图，，，在上，，在上，且，，，则的度数是______度.

【正确答案】100

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到角之间的关系，利用这些关系可得到答案．
【详解】解：∵AB=BC=CD，EC=ED=EF
∴∠ACB=∠A=20°
∴∠BDC=∠CBD=40°
∴∠EDC=∠DCE=∠CDB+∠A=60°
∴∠DEC=180°-60°-60°=60°
∴∠DFE=∠EDF=∠DEC+∠A=80°
∴∠FEG=∠DFE +∠A =100°．
故答案为100．
本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质；反复运用三角形的外角的性质和等腰三角形的性质，找准角之间的关系式正确解答本题的关键．
12. 平面直角坐标系中，A（0，4），B（-3，0），C在x轴正半轴上，且△ABC为等腰三角形，则C点坐标为___________
【正确答案】（，0）（3,0）（2,0）

【详解】如图，当AB=AC1时，OC1=OB=3，所以C1（3，0）；当BA=BC2时，因为OA=4，OB=3，∠AOB=90°，所以AB=5，所以BC2=5，则OC2=5-3=2，所以C2（2，0）；③当AC3=BC3时，点C3在AB垂直平分线上，BD=，所以BC3=，则OC3=-3=，所以C3（，0），故答案为（，0）（3,0）（2,0）.

三、解 答 题
13. 解下列没有等式(组)，并把解集在数轴上表示出来．
(1)
(2).

【正确答案】（1）x1；在数轴上表示见解析；（2）-1
【详解】试题分析：（1）去分母，移项合并，将x系数化为1，即可求出解集，表示在数轴上即可；
（2）分别求出没有等式组中两没有等式解集，表示在数轴上，找出解集的公共部分即可得到没有等式组的解集．
试题解析：（1）去分母得：5x-1≤4x，
移项合并得：x≤1，
表示在数轴上，如图所示：

（2） ，
由①解得：x＞-1；
由②解得：x≤2，
表示在数轴上，如图所示：

则没有等式组的解集为-1＜x≤2．
14. 如图，在△ABC中，∠Ｃ=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，如果DE=5cm，∠CAD=32°，求CD的长度及∠B的度数．

【正确答案】CD的长度为5cm,∠B的度数为26°．

【详解】试题分析：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE；再根据角平分线的定义求出∠BAC，然后利用直角三角形两锐角互余求解即可．
试题解析：∵AD平分∠BAC ，ＤE⊥AB，DC⊥AＣ，∴CD=ＤE=5cm，
又∵AD平分∠BAC，∴∠BAC=2∠CAD=2×32°=64°，
∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣64°=26°．
15. 已知：如图，点D是△ABC内一点，AB＝AC，∠1＝∠2．求证：AD平分∠BAC．

【正确答案】见解析．

【分析】易证△ABD≌△ACD，则可得证.
【详解】解：证明：∵∠1＝∠2，
∴BD＝CD，
在△ABD与△ACD中，AB＝AC，BD＝CD，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，
即AD平分∠BAC．
此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法.
16. 已知：如图，△ABC和△CDE都等边三角形，点D在BC边上．
求证：AD＝BE．

【正确答案】证明见解析.

【分析】根据等边三角形的性质可得AC=BC，EC=DC，∠ACD=∠BCE=60°，然后利用“边角边”证明△ACD和△BCE全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可．
【详解】证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，EC=DC，∠ACD=∠BCE=60°．
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质以及全等三角形的判定方法是解题的关键．
17. 如图，在中，，是边上的中点，于点，于点．求证：．

【正确答案】见解析

【分析】如图，连接．根据，点是边上的中点，得出平分，、分别垂直、于点和，即可．
【详解】证明：如图，连接．

，点是边上的中点，
平分，
、分别垂直、于点和．
．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，角平分线性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
18. 用无刻度尺作图:
（1）在图中找一点O，使OA=OB=OC；
（2）在AC上找一点P，使得P到AB，BC的距离相等.

【正确答案】证明见解析.

【详解】整体分析：
（1）利用格点作出AB，BC的垂直平分线的交点；（2）利用格点作出∠ABC的平分线与AC的交点.
解：（1）如图，分别取AB，BC的中点D，E，作AB，BC的垂直平分线交于点O，则OA=OB=OC；
（2）取点F，使点F到AB，BC距离都等于2，作射线BF交AC于点P，则P到AB，BC的距离相等.

19. 如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，DE是AC的垂直平分线，线段DE=1cm，则BD的长为_____.

【正确答案】4 cm

【详解】试题解析：如图，连接AD,

∵是等腰三角形，

∵DE是AC的垂直平分线，



在中，CD=2DE，
在中，BD=2AD，


∴BD的长为
故答案为
点睛：线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
20. 解没有等式组，并在数轴上表示没有等式组的解集．
【正确答案】-1≤x＜2，数轴见解析

【分析】先求出每个没有等式的解集，再求出没有等式组的解集即可．
【详解】解：，
∵解没有等式①得：x≥-1，
解没有等式②得：x＜2，
∴没有等式组的解集为-1≤x＜2，
在数轴上表示没有等式组的解集为

本题考查了解一元没有等式组，没有等式组的整数解，在数轴上表示没有等式组的解集的应用，解此题的关键是能求出没有等式组的解集，此题属于中档题目，难度适中．
21. 某校计划组织师生共300人参加大型公益，如果租用6辆大客车和5辆小客车，恰好全部坐满，已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个．
（1）求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；
（2）由于参加的人数增加了30人，学校决定调整租车，在保持租用车辆总数没有变的情况下，且所有参加的师生都有座位，求租用小客车数量的值．
【正确答案】（1）每辆小客车的乘客座位数是18个，每辆大客车的乘客座位数是35个；（2）租用小客车数量的值为3．

【分析】（1）根据题意每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个以及师生共300人参加大型公益，分别得出等式求出答案；
（2）根据（1）中所求，进而利用总人数为300＋30，进而得出没有等式求出答案．
【详解】（1）设每辆小客车的乘客座位数是个，大客车的乘客座位数是个，
根据题意可得：

解得
答：每辆小客车的乘客座位数是18个，大客车的乘客座位数是35个；
（2）设租用a辆小客车才能将所有参加的师生装载完成，则
18a＋35（11−a）≥300＋30，
解得.
符合条件的a整数为3，
答：租用小客车数量的值为3．
本题主要考查了一元没有等式的应用以及二元方程组的应用，解题关键是正确得出没有等式的关系．
22. 如图，直线l1：y1=﹣x+m与y轴交于点A（0，6），直线l2：y=kx+1分别与x轴交于点B（﹣2，0），与y轴交于点C，两条直线交点记为D．

（1）m=　 　，k=　 　；
（2）求两直线交点D的坐标；
（3）根据图象直接写出y1＜y2时自变量x的取值范围．
【正确答案】（1）6，；（2）D点坐标为（4，3）；（3）y1＜y2时，x＞4．

【详解】整体分析：
（1）把A（0，6）代入y1=﹣x+m求m的值，把B（﹣2，0）代入y=kx+1求k值；（2）解由这两个直线方程组成的方程组；（3）y1＜y2即是直线y1在直线y2的下方时x的范围.
解：（1）把A（0，6），代入y1=﹣x+m，得到m=6，
把B（﹣2，0）代入y=kx+1，得到k=
故答案为6，；
（2）联立l1，l2解析式，即，解得：，
∴D点坐标为（4，3）；
（3）观察图象可知：y1＜y2时，x＞4．
23. 如图（1），Rt△AOB中，∠A＝90°，，OB＝2，∠AOB的平分线OC交AB于C，过作与垂直的直线．动点从点出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线以相同的速度运动，当点到达点时，同时停止运动．
（1）OC＝　 　，BC＝　 　；
（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．

【正确答案】（1）2,2；（2）；（3）或

【分析】（1）先求出，根据含30度角的直角三角形的性质求出OA，求出AB，在△AOC中，根据勾股定理得出关于OC的方程，求出OC即可；
（2）有四种情况：①当P在BC上，Q在OC上时，t<2，过P作PH上OC于H，求出PH，根据三角形的面积公式求出即可；②当t=2时，P在C点，Q在O点，此时，△CPQ没有存在；③当P在OC上，Q在ON上时，过P作PG上ON于G，过C作CZ上ON于Z，求出CZ和PG的值，求出△OCQ和△OPQ的面积，相减即可；④t=4时，过作于，于， P在O点，Q在ON上，求出BM根据三角形的面积公式求出即可；
（3）有三种情况：①OM=PM时，求出OP=2OQ，代入求出即可；②PM=OP时，此时没有存在等腰三角形；③OM=OP时，过P作PG上ON于G，求出OG和QG的值，代入OG+QG=t-2，即可求出答案.
详解】（1），
，
，
，
平分，
，
，
在中，，
，
，
故2，2；
（2）①当P在BC上，Q在OC上时，，
则，
过作于，

，
，
，
即，
②当时，在C点，Q在O点，此时，△CPQ没有存在；
，
③当P在OC上，Q在ON上时，过P作PG上ON于G，过C作CZ上ON于Z，

，
，，
，
，


，
即，
④当时，过作于，于， P在O点，Q在ON上，

,由（1）知，
，
，
，
，
，
综上所述，与的函数关系式是：；
（3）如图，

，
，
，
，
平分，
，
，
①时，，
，
，
，
解得：，
②当时，
此时，
，
，
此时没有存在；
③当时，
过作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：．
综上所述，当为或者时，是等腰三角形．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，函数自变量的取值范围，勾股定理，含30度角的直角三角形性质等知识点的运用，运用了方程思想和分类讨论思想是解题的关键．

2022-2023学年江西省崇仁县八年级下册数学期末专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分）
1. 下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为对称图形的是（ ）．
A. B. C. D.
2. 下列根式中，与是同类二次根式的------------------------------------（ ）
A. B. C. D.
3. 在，，，，，中分式的个数有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
4. 如图，已知平行四边形中，，则（ ）

A. 18° B. 36° C. 72° D. 144°
5. 矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为-----------------------------------------------------（ ）
A. 10cm B. 5cm C. 6cm D. 8cm
6. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①ABCD，ADBC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④ABCD，AD=BC．其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有（　　）
A 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
7. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论没有正确的是（ ）
A. 当时，它菱形 B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形
8. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于点F，∠ADB=30°，则EF=（ ）．

A.
B. 2
C. 3
D. 3
9. 如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为，把CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点 的坐标是（　　）

A. （2，10） B. （﹣2，0）
C. （2，10）或（﹣2，0） D. （10，2）或（﹣2，0）
10. 在△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝BC＝1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF＝45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：
①AB＝； ②当点E与点B重合时，MH＝； ③AF＋BE＝EF；④F、E分别没有与端点A、B重合时，总有S△AGF+ S△EBH= S△FEM，其中正确结论为--------------------------（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
二、填 空 题（本大题共9空，每空2分，共计18分）
11. 当 =______时，分式的值为零；
12. 计算：__________；___________；
13. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为__________．
14. 实数x、y满足y＝ －＋2，则x－y＝__________.
15. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若DF⊥AC，∠ADF：∠FDC=3：2，则∠BDF=_____．

16. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点E，交AB于点F，F为垂足，连接DE，则∠CDE＝ ____度

17. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为______．


18. 如图，长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B落在点B'处．当△CEB'为直角三角形时，求BE的长？

三、解 答 题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤．）
19. 计算
（1） （2） -
（3） （4）
20. 已知a=+,b=－，求下列各式的值．
（1）a2－ab+b2 （2）a2－b2
21. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标A1　 　．
（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标A2　 　．
（3）△ABC是否为直角三角形？答　 　（填是或者没有是）．
（4）利用格点图，画出BC边上的高AD，并求出AD的长，AD＝　 　．

22. 如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．


23. 已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB．求证：四边形AEDF是菱形．

24. 已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是BC、AD、BD、AC的中点，AB=CD，
EF与GH有什么位置关系？请说明理由．

25. 已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB=4，∠BCD=120°，求四边形AODE的面积．

26. 在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，△ABC绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），点A、B对应点分别是点D、E．
（1）如图1，当点D恰好落在边AB上时，试判断DE与AC的位置关系，并说明理由．

（2）如图2，当点B、D、E三点恰好在一直线上时，旋转角α=__°，此时直线CE与AB的位置关系是__．
（3）在（2）条件下，联结AE，设△BDC的面积S1，△AEC的面积S2，则S1与S2的数量关系是_____．
（4）如图3，当点B、D、E三点没有在一直线上时，（3）中的S1与S2的数量关系仍然成立吗？试说明理由．

27. 如图1，四边形ABCD是菱形，AD=5，过点D作AB的垂线DH，垂足为H，交对角线AC于M，连接BM，且AH=3．
(1)求证：DM=BM；
(2)求MH的长；
(3)如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，
设△PMB的面积为S(S≠0)，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；
(4)在(3)的条件下，当点P在边AB上运动时是否存在这样的t值，使∠MPB与∠BCD互为余角，若存在,则求出t值，若没有存,在请说明理由.













2022-2023学年江西省崇仁县八年级下册数学期末专项提升模拟卷（B卷）
一、选一选（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分）
1. 下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为对称图形的是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】C

【分析】根据对称图形定义逐一分析即可．
【详解】A．∵此图形旋转180°后没有能与原图形重合，∴此图形没有是对称图形，故此选项没有符合题意；
B.∵此图形旋转180°后没有能与原图形重合，∴此图形没有是对称图形，故此选项没有符合题意；
C．此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是对称图形，故此选项符合题意；
D∵此图形旋转180°后没有能与原图形重合，∴此图形没有是对称图形，故此选项没有符合题意．
故选C．
本题考查对称图形应用，掌握对称的概念是解决问题的关键．
2. 下列根式中，与是同类二次根式的------------------------------------（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B

【详解】解：，，，，故选B．
3. 在，，，，，中分式的个数有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【正确答案】B

【分析】根据分式的定义进行判断；
【详解】，，，，中分式有：，，共计3个.
故选B．
考查了分式的定义，解题关键抓住分式中分母含有字母．
4. 如图，已知平行四边形中，，则（ ）

A. 18° B. 36° C. 72° D. 144°
【正确答案】B

【分析】利用平行四边形的对角相等，邻角互补的性质即可解答.
【详解】解：在平行四边形ABCD中，

∵BC∥AD，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠B=4∠A，
∴∠A=36°，
∴∠C=∠A=36°，
故选：B．
本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的几何性质．
5. 矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为-----------------------------------------------------（ ）
A. 10cm B. 5cm C. 6cm D. 8cm
【正确答案】B

【详解】如图，由题意可知，在矩形ABCD中，AC+BD=10cm，∠AOB=60°，
∴AC=BD=10cm，
∴AO=BO=5cm，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=5cm.
故选B.

6. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①ABCD，ADBC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④ABCD，AD=BC．其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有（　　）
A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组
【正确答案】C

【分析】根据平行四边形的判定方法逐个判断即可．
【详解】如图，（1）∵ABCD，ADBC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（3）∵在四边形ABCD中，AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（4）∵在四边形ABCD中，ABCD，AD＝BC，
∴四边形ABCD可能是等腰梯形，也可能是平行四边形；
综上所述，上述四组条件一定能判定四边形ABCD是平行四边形的有3组．
故选：C．

此题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法．
7. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论没有正确的是（ ）
A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形
【正确答案】D

【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理判断即可．
【详解】解：A. 当AB＝BC时，它是菱形，正确，没有符合题意；
B. 当AC⊥BD时，它是菱形，正确，没有符合题意；
C. 当∠ABC＝90°时，它是矩形，正确，没有符合题意；
D. 当AC＝BD时，它是矩形，原选项没有正确，符合题意．
故选：D．
本题考查了菱形、矩形、正方形的判定，解题关键是熟记相关判定定理，准确进行判断．
8. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于点F，∠ADB=30°，则EF=（ ）．

A
B. 2
C. 3
D. 3
【正确答案】A

【详解】试题分析：把图中有关角度标上数字，如图所示：根据折叠角相等得出：∠1=∠2=30°，则∠3=30°，∴∠4=∠5=90°-30°=60°，∵DC=AB=BE=3，∴tan60°===，解得：EF=．故选A．

考点： 1．翻折变换（折叠问题）；2．锐角三角函数；3．矩形性质．
9. 如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为，把CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点 的坐标是（　　）

A. （2，10） B. （﹣2，0）
C. （2，10）或（﹣2，0） D. （10，2）或（﹣2，0）
【正确答案】C

【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．
【详解】解：∵点D（5，3）在边AB上，
∴BC＝5，BD＝5﹣3＝2，
①若顺时针旋转，则点在x轴上，O＝2，
所以，（﹣2，0），
②若逆时针旋转，则点到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，
所以，（2，10），
综上所述，点的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．
故选：C．
本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论．
10. 在△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝BC＝1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF＝45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：
①AB＝； ②当点E与点B重合时，MH＝； ③AF＋BE＝EF；④F、E分别没有与端点A、B重合时，总有S△AGF+ S△EBH= S△FEM，其中正确结论为--------------------------（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
【正确答案】B

【详解】（1）∵在△ABC中，∠ACB＝90º，AC＝BC＝1，
∴AB=，故①正确；
（2）如下图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，
∴MB⊥BC，∠MBC=90°，
∵MG⊥AC，
∴∠MGC=∠C=∠MBC=90°，
∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，
∴MH=MB=CG，
∵∠FCE=45°=∠ABC，∠A=45°=∠ACF，
∴AF=CF=BF，
∴FG是△ACB的中位线，
∴GC=AC=，
∴MH=GC=，故②正确；

（3）如下图2所示，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠5=45°．
将△ACF顺时针旋转90°至△BCD，则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45°，BD=AF；
∵∠2=45°，
∴∠1+∠3=∠3+∠4=45°，
∴∠DCE=∠2，
∵在△ECF和△ECD中，CF=CD，∠2=∠DCE，CE=CE，
∴△ECF≌△ECD（SAS），
∴EF=DE，
∵∠5=45°，
∴∠BDE=90°，
∴DE2=BD2+BE2，即EF2=AF2+BE2，故③错误；

（4）∵△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°，
∵MG⊥AC，MH⊥BC，
∴∠AGF=∠BHE=90°，
∴∠AFG=∠BEH=45°，
∴∠MFE=∠AFG=45°，∠MEF=∠BEH=45°，
∴△AGF、△BEH、△MEF都是等腰直角三角形，
∴AG=FG=AF，BH=HE=BE，ME=MF=EF，
∴S△AGF=AF2，S△BEH=BE2，S△MEF=EF2，
∵EF2=AF2+BE2，
∴S△AGF+S△BEH=S△MEF，故④正确.
综上所述，正确的结论是①②④.
故选B
二、填 空 题（本大题共9空，每空2分，共计18分）
11. 当 =______时，分式的值为零；
【正确答案】-5

【详解】∵分式的值为0，
∴ ，解得.
故答案为-5.
12 计算：__________；___________；
【正确答案】 ①. 3 ②. 30

【详解】（1）原式=3；
（2）原式=
故答案为（1）3；（2）.
13. 若在实数范围内有意义，则的取值范围为__________．
【正确答案】x≤2

【分析】二次根式的被开方数大于等于零，据此解答．
【详解】解：依题意得 2-x≥0
解得 x≤2．
故x≤2．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
14. 实数x、y满足y＝ －＋2，则x－y＝__________.
【正确答案】-1

【详解】∵实数x、y满足y＝ －＋2，
∴ ，解得：，
∴，
∴.
故-1.
点睛：本题解题的关键是根据二次根式的被开方数是非负数得到，由此求得x的值，进而求得y的值，从而使问题得到解决.
15. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若DF⊥AC，∠ADF：∠FDC=3：2，则∠BDF=_____．

【正确答案】18°

【详解】试题分析：根据∠ADC=90°，求出∠CDF和∠ADF，根据矩形性质求出OD=OC，推出∠BDC=∠DCO，求出∠BDC，即可求出答案．

解：设∠ADF=3x°，∠FDC=2x°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∴2x+3x=90，
x=18°，
即∠FDC=2x°=36°，
∵DF⊥AC，
∴∠DMC=90°，
∴∠DCO=90°﹣36°=54°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=2OC，BD=2OD，AC=BD，
∴OD=OC，
∴∠BDC=∠DCO=54°，
∴∠BDF=∠BDC﹣∠CDF=54°﹣36°=18°，
故答案为18°．
考点：矩形的性质．
16. 如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点E，交AB于点F，F为垂足，连接DE，则∠CDE＝ ____度

【正确答案】60°

【分析】连接BE，根据菱形的性质得到∠BAC=40°，再根据垂直平分线的性质得到AE=BE，故∠ABE=∠BAC，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC，再求出∠CBE，故可得到∠CDE的度数.
【详解】如图，连接BE，
在菱形ABCD中，∠BAC=∠BAD=×80°=40°
∵EF是AB的垂直平分线，
∴AE=BE
∴∠ABE=∠BAC=40°
∵菱形ABCD的对边AD∥BC，
∴∠ABC=180°-∠BAD=100°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=60°，
由菱形的对称性可得∠CDE=∠CBE=60°

此题主要考查菱形的性质，解题的关键是熟知垂直平分线的性质定理.
17. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为______．


【正确答案】##

【详解】∵四边形ABCD是正方形，其边长为4，BD是其对角线，
∴∠BAD=90°，∠ABD=∠ADB=45°，BD=，
又∵∠BAE=22.5°，
∴∠DAE=90°-22.5°=67.5°，
∴∠AED=180°-45°-67.5°=67.5°=∠DAE，
∴DE=AD=4，
∴BE=，
∵EF⊥AB于点F，∠ABD=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF=．
故答案为．
18. 如图，长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接AE，把△ABE沿AE折叠，使点B落在点B'处．当△CEB'为直角三角形时，求BE的长？

【正确答案】3或6

【详解】试题分析：①、当B′EC为直角时，则∠BEB′也是直角，根据折叠的性质可得∠AEB=45°，则△ABE为等腰直角三角形，则BE=AE=6；②、当∠EB′C为直角时，根据折叠可得∠AB′E=∠ABE=90°，则点A、点B′、点C三点共线，则AB′=AB=6，AC=10，则B′C=10－6=4，设BE=x，则CE=8－x，B′E=x，根据Rt△B′EC的勾股定理可得：，解得x=3，即BE=3.
考点：折叠图形的性质、勾股定理.
三、解 答 题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤．）
19. 计算
（1） （2） -
（3） （4）
【正确答案】(1) ；(2) －15；（3）； (4)

【详解】试题分析：
（1）按实数的相关运算法则计算即可；
（2）（3）（4）属于二次根式的混合运算，按二次根式的相关运算法则计算即可.
试题解析：
（1）
=-2+2
=
（2）
=1-3-（13-）
=-15
（3）
=
=
（4）
=
=
=.
20. 已知a=+,b=－，求下列各式的值．
（1）a2－ab+b2 （2）a2－b2
【正确答案】(1)9 (2)4

【详解】试题分析：
（1）先将原式应用完全平方公式变形为，再代值计算即可；
（2）先将原式用“平方差公式”分解为，再代值计算即可.
试题解析：
∵，
∴，，
∴（1）原式=
=
=
（2）原式=
=
=.
点睛：本题的解题要点是由：先得到，，再将原式分别用“完全平方公式”和“平方差公式”变形后再代值计算，这样可使计算过程更简单.
21. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标A1　 　．
（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标A2　 　．
（3）△ABC是否为直角三角形？答　 　（填是或者没有是）．
（4）利用格点图，画出BC边上的高AD，并求出AD的长，AD＝　 　．

【正确答案】 ①. （2.-4） ②. （-2,4） ③. 没有是 ④.

【详解】试题分析：（1）分别找出A、B、C三点关于x轴的对称点，再顺次连接，然后根据图形写出A点坐标；
（2）将△A1B1C1中的各点A1、B1、C1绕原点O旋转180°后，即△A2B2C2与△A1B1C1关于点O成对称，得到相应的对应点A2、B2、C2，连接各对应点即得△A2B2C2；
（3）根据勾股定理逆定理解答即可；
（4）连接BD，过点A作AH∥BD交BC与点H，然后利用面积法求AH的长度即可.
解：（1）如图所示：点A1的坐标（2，-4）；
（2）如图所示，点A2的坐标（-2，4）；
（3）∵AC2=32+12=10, AB2=22+12=5, BC2=42+12=17,
∴AC2+ AB2≠ BC2,
∴△ABC没有是直角三角形；
（4）连接BD，过点A作AH∥BD交BC与点H.
∵BB1=BE, ∠BB1D=∠BEC,B1D=CE,
∴△BB1D=△BEC,
∴∠CBE=∠DBB1.
∵∠DBE=∠DBB1=90°,
∴∠DBE=∠CBE =90°,
∴BD⊥BC,
∴AH⊥BC.
∵BC2=42+12=17,
∴BC=.
∵S△ABC=4×2-×2×1-×3×1-×4×1=,
∴BC·AH=,
∴AH=7,
∴AH= .

22. 如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE＝CF．求证：四边形BFDE是平行四边形．


【正确答案】证明见解析.

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD∥BC，AD＝BC，又由AE＝CF，即可证得DE＝BF，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AE＝CF，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
∴ED＝BF，
又∵AD∥BC，
∴四边形BFDE是平行四边形．
此题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解决问题的关键．
23. 已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB．求证：四边形AEDF是菱形．

【正确答案】见解析

【分析】先证明四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线定义求出∠1=∠2，根据两直线平行，内错角相等求出∠2=∠3，然后求出∠1=∠3，根据等角对等边的性质可得AE=DE，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形判定．
【详解】∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2（角平分线的定义），
∵DE∥AC，
∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等），
∴∠1=∠3（等量代换），
∴AE=DE，
∴平行四边形AEDF是菱形．
本题考查了菱形的判定，角平分线的定义，两直线平行，内错角相等的性质，熟记性质与判定方法是解题的关键．
24. 已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是BC、AD、BD、AC的中点，AB=CD，
EF与GH有什么位置关系？请说明理由．

【正确答案】EF⊥GH

【详解】试题分析：
如图，连接GE、GF、HF、EH，由三角形中位线定理AB=CD可证得EG= GF=FH=EH，由此可得四边形EHFG是菱形，从而可得EF⊥GH.
试题解析：
EF⊥GH，理由如下：
连接GE、GF、HF、EH．
∵E、G分别是AD、BD的中点，∴EG=CD，
同理FH=CD，FG=AB，EH=AB
∵AB=CD，
∴EG= GF=FH=EH，
∴平行四边形EHFG是菱形，
∴EF⊥GH.

点睛：本题的解题要点是：顺次连接题中所告诉的四个中点，这样由“三角形中位线定理”AB=CD即可得到GF=FH=HE=GE，从而使问题得到解决.
25. 已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是矩形；
（2）若AB=4，∠BCD=120°，求四边形AODE的面积．

【正确答案】（1）详见解析；（2）矩形AODE面积为

【分析】（1）根据菱形的性质得出AC⊥BD，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形AODE是矩形；
（2）证明△ABC是等边三角形，得出OA=×4=2，由勾股定理得出OB=2，由菱形的性质得出OD=OB=2，即可求出四边形AODE的面积．
【详解】（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴平行四边形AODE是矩形，
故四边形AODE是矩形；
（2）解：∵∠BCD=120°，AB∥CD，
∴∠ABC=180°-120°=60°，
∵AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴OA=×4=2，
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD
∴由勾股定理OB==2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB=2，
∴四边形AODE的面积=OA•OD=2=4．
本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．

26. 在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，△ABC绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），点A、B的对应点分别是点D、E．
（1）如图1，当点D恰好落在边AB上时，试判断DE与AC的位置关系，并说明理由．

（2）如图2，当点B、D、E三点恰好在一直线上时，旋转角α=__°，此时直线CE与AB的位置关系是__．
（3）在（2）的条件下，联结AE，设△BDC的面积S1，△AEC的面积S2，则S1与S2的数量关系是_____．
（4）如图3，当点B、D、E三点没有在一直线上时，（3）中的S1与S2的数量关系仍然成立吗？试说明理由．

【正确答案】（1）DE∥AC (2) 120°，EC⊥AB；（3）S1=S2；(4) S1=S2仍然成立

【分析】（1）由旋转的性质可得∠EDC=∠BAC，DC=AC∠BAC=60°，可得△ADC是等边三角形，从而可得∠DCA=∠EDC=60°，由此可得DE∥AC；
（2）如图2，在△ABC中，由∠C=90°，∠BAC=60°可得∠ABC=30°，延长EC交AB于点F，由旋转的性质可得CE=BE，∠E=∠ABC=30°，B、D、E的三点在同一直线上可得∠CBE=∠E=30°，从而可得旋转角∠BCE=120°，∠BCE=∠ABC+∠BFC，∠ABC=30°，可得∠BFC=90°，从而可得EC⊥AB；
（3）如图2，过点D作DH⊥BC于点H，由∠DCF=∠ACB=90°易得∠ACF=∠DCH，∠AFC=∠DHC=90°，AC=DC可得△ACF≌△DCH，从而可得AF=DH，BC=EC即可得到S1=S2；
（4）如图3，过D作DH⊥BC于H，过A作AG⊥EC交EC的延长线于G，与（3）同理可得△AGC≌△DHC，从而可得AG=HD，EC=BC即可得到S1=S2仍然成立.
【详解】（1）DE∥AC．理由：
∵△ABC旋转后与△DCE全等，
∴∠A=∠CDE，AC=DC．
∵∠BAC=60°，AC=DC，
∴△DAC是等边三角形．
∴∠DCA=60°．
又∵∠CDE=∠BAC=60°，
∴∠DCA=∠CDE=60°，
∴DE∥AC．
（2）120°；EC⊥AB，理由如下：
如图2，延长EC交AB于点F，

∵在△ABC中，由∠C=90°，∠BAC=60°，
∴∠ABC=30°，
由旋转的性质可得：CE=BE，∠E=∠ABC=30°，
∵B、D、E的三点在同一直线上，
∴∠CBE=∠E=30°，
∴旋转角∠BCE=120°，
又∵∠BCE=∠ABC+∠BFC，∠ABC=30°，
∴∠BFC=120°-30°=90°，
∴EC⊥AB于点F；
（3）S1=S2，理由如下：
如图2，连接AE，过点D作DH⊥BC于点H，
∴∠AFC=∠DHC=90°，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACF=∠DCH，
又∵AC=DC，
∴△ACF≌△DCH，
∴AF=DH，
又∵EC=BC，
∴CE·AF=BC·DH，即S1=S2；
（4）S1=S2仍然成立，理由如下：
如图3所示：过D作DH⊥BC于H，过A作AG⊥EC交EC的延长线于G．

∵DH⊥BC，AG⊥EC，
∴∠AGC=∠DHC=90°
∵△ABC旋转后与△DCE全等
∴∠ACB=∠DCE=90°，AC=DC，BC=CE．
∵∠ACE+∠BCD=180°，∠GCA+∠ECA=180°，
∴∠ACG=∠DCH，
又∵∠AGC=∠DHC，AC=DC，
∴△AGC≌△DHC，
∴AG=DH，
∴EC•AF=CB•DG，即S1=S2．
（1）解第3小题的关键是作出如图所示的辅助线，构造出△ACF≌△DCH，从而可得AF=DH，这样EC=BC即可证得S1=S2了；（2）解第4小题的关键是通过作出如图所示的辅助线，即可把图形转化成和第3小题相似的结构，这样即可参照第3小题的解题思路来解决本题了.
27. 如图1，四边形ABCD是菱形，AD=5，过点D作AB的垂线DH，垂足为H，交对角线AC于M，连接BM，且AH=3．
(1)求证：DM=BM；
(2)求MH的长；
(3)如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，
设△PMB的面积为S(S≠0)，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；
(4)在(3)的条件下，当点P在边AB上运动时是否存在这样的t值，使∠MPB与∠BCD互为余角，若存在,则求出t值，若没有存,在请说明理由.

【正确答案】（1）证明见解析（2）；（3）； （4）．

【详解】试题分析：（1）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据勾股定理即可得到结论；
（3）由△BCM≌△DCM计算出BM=DM，分两种情况计算即可；
（4）由菱形的性质判断出△ADM≌△ABM，再判断出△BMP是等腰三角形，即可得出结论．
试题解析：解：（1）∵AC是菱形ABCD的对角线，∴∠ACD=∠ACB，CD=CB．在△DCM和△BCM中，∵CD=CB，∠DCM=∠BCM，CM=CM，∴△DCM≌△BCM，∴DM=BM；
（2）在Rt△ADH中，AD=5，AH=3，∴DH=4．在Rt△BHM中，BM=DM，HM=DH﹣DM=4﹣DM，BH=AB﹣AH=2，根据勾股定理得：DM2﹣MH2=BH2，即：DM2﹣（4﹣DM）2=4，∴DM=，∴MH=；
（3）在△BCM和△DCM中，∵CM=CN，∠ACD=∠ACB，CB=CD，∴△BCM≌△DCM，∴BM=DM=，∠CDM=∠CBM=90°．
①当P在AB之间时，即0＜t＜2.5时，S=（5﹣2t）×=﹣t+；
②当P在BC之间时，即2.5＜t≤5时，S=（2t﹣5）×=t﹣；
综上所述： ；
（4）存在．∵∠ADM+∠BAD=90°，∠BCD=∠BAD，∴∠ADM+∠BCD=90°．∵∠MPB+∠BCD=90°，∴∠MPB=∠ADM．∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAM=∠BAM．∵AM=AM，∴△ADM≌△ABM，∴∠ADM=∠ABM，∴∠MPB=∠ABM．∴MP=MB．∵MH⊥AB，∴PH=BH=2，∴BP=2BH=4．∵AB=5，∴AP=1，∴t==．
点睛：本题是四边形综合题．∠MPB=∠ABM的判断是解答本题的关键．