2022-2023学年北京市朝阳区八年级上册数学期中专项提升模拟题（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年北京市朝阳区八年级上册数学期中专项提升模拟题（AB卷）含解析，共62页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京市海淀区八年级上册数学期中专项突破模拟题（卷一）
一、选一选（本题共30分，每小题3分）
1. 下列图形中，即是轴对称图形又是对称图形的是（ ）．
A. B. C. D.
2. 如图，在平行四边形 ABCD中，AB=3，BC=5，∠ABC的平分线交AD于点E，则DE的长为（　　）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
3. 已知一个菱形周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ）
A. 12cm2 B. 24cm2 C. 48cm2 D. 96cm2
4. 如图，将平行四边形ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论没有一定成立的是(　　)

A. AF＝EF B. AB＝EF C. AE＝AF D. AF＝BE
5. 如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（　　）

A. （1，1） B. （0，1） C. （﹣1，1） D. （2，0）
6. 如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为（ ）

A. B. C. 3 D.
7. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，∠B=30°，若AD=CD=6，则AB的长等于（　　）．

A. 9 B. 12 C. D. 18
8. 如图，函数与轴交于点，与轴交于点，过点作垂线交轴于点，连接，以为边向上作正方形（如图所示），则点的坐标为（ ）．

A. B. C. D.
9. 甲、乙两名同学在一段2000m长的笔直公路上进行自行车比赛，开始时甲在起点，乙在甲的前方200m处，他们同时同向出发匀速前进，甲的速度是8m/s，乙的速度是6m/s，先到达终点者在终点处等待．设甲、乙两人之间的距离是y（m），比赛时间是x（s），整个过程中y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）
A. B.
C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，，，连接，点是轴上的一个动点，连接、，当的周长最小时，对应的点的坐标和的最小周长分别为（ ）．

A. ， B. ， C. ， D. ，
二、填 空 题（本题共24分，每小题3分）
11. 函数中，自变量x的取值范围为_______．
12. 函数y=2x﹣1的图象点（a，3），则a=__．
13. 若一直角三角形的两边长为4、5，则第三边的长为________ .
14. 如图，小明将一张长为，宽为的长方形纸剪去了一角，量得，，则剪去的直角三角形的斜边长为______．

15. 如图，在平行四边形中，，，于，则_____．

16. （2011山东烟台，17，4分）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的，则阴影部分的面积是 .
17. 如图，已知、分别是正方形的边、上的点，、分别与对角线相交于、，若，则__________．

18. 在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作对角线等于已知线段的菱形．
已知：两条线段、．

求作：菱形，使得其对角线分别等于和．
小军的作法如下：
如图

（）画一条线段等于．
（）分别以、为圆心，大于的长为半径，在线段的上下各作两条弧，两弧相交于、两点．
（）作直线交于点．
（）以点为圆心，线段长为半径作两条弧，交直线于、两点，连接、、、．
所以四边形就是所求的菱形．
老师说：“小军的作确”．
该作图的依据是__________和___________．
三、解 答 题（本题共46分）
19. 如图，已知和点．将绕点顺时针旋转得到．

（）在网格中画出．
（）若，直接写出平行四边形的顶点的坐标．
20. 已知：在△ABC中，∠A=90°，∠ABC=30°，BC=4，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△EBD，且满足DE∥BC,求CE长．

21. 如图，在平面直角坐标系，函数的图象点且与函数的图象交于点．

（）求正比例函数的解析式及函数解析式．
（）设函数的图象与轴交于点，求的面积．
22. 如图，在中，，为边上的中线，过点作上于，过点作的平行线与的延长线交于点，连接，．

（）求证：四边形为菱形；
（）若四边形的面积为，，求的长．
23. 阅读下列材料：
五个边长为的小正方形如图①放置，要求用两条线段将它们分割成三部分后把它们拼接成一个新的正方形．

小辰是这样思考的：图①中五个边长为的小正方形的面积的和为，拼接后的正方形的面积也应该是，故而拼接后的正方形的边长为，因此想到了依据勾股定理，构造长为的线段，即：，因此想到了两直角边分别为和的直角三角形的斜边正好是，如图②，进而拼接成了一个便长为的正方形．
参考上面的材料和小辰的思考方法，解决问题：
（）五个边长为的小正方形如图④放置，类似图③，在图④中画出分割线和拼接后的正方形（只要画出一种即可）．
（）十个边长为的小正方形如图⑤放置，类似图③，在图⑤中画出两条分割线将它们分割成三部分，并画出拼接后的正方形（只要画出一种即可）．
（）五个边长为的小正方形如图⑥放置，类似图③，在图⑥中画出两条分割线将它们分割成三部分，并画出拼接后的正方形（只要画出一种即可）．

24. 已知，中，，，点是线段的中点，连接，将绕点逆时针旋转度得到，连接，点是线段的中点，连接，．
（）如图，当时，直接写出线段和之间的位置关系和数量关系．
（）如图，当时，探究线段和之间位置关系和数量关系，并给出完整的证明过程．
（）如图，直接写出当在绕点逆时针旋转的过程中，线段的值和最小值．


25. 定义：把函数和函数（其中，是常数，且，）称为一对交换函数，其中一个函数是另一个函数的交换函数．比如，函数是函数的交换函数，等等．
（）直接写出函数的交换函数：___________；并直接写出这对交换函数和轴所围图形的面积为___________．
（）若函数和其交换函数与轴所围图形的面积为，求的值．
（）如图，在平面直角坐标中，矩形中，点，，分别是线段、的中点，将沿着折痕翻折，使点的落点恰好落在线段的中点，点是线段的中
点，连接，若函数和与线段始终都有交点，则的取值范围为__________．

















2022-2023学年北京市海淀区八年级上册数学期中专项突破模拟题（卷一）
一、选一选（本题共30分，每小题3分）
1. 下列图形中，即是轴对称图形又是对称图形的是（ ）．
A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】A、是轴对称图形，是对称图形，故本选项正确；B是轴对称图形，没有是对称图形，故本选项错误；C没有是轴对称图形，没有是对称图形，故本选项错误；D没有是轴对称图形，也没有是对称图形，故本选项错误；故选A.
点睛：本题考查了轴对称图形与对称图形，掌握对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合； 对称图形是要寻找对称，旋转180度后与原图重合．
2. 如图，在平行四边形 ABCD中，AB=3，BC=5，∠ABC的平分线交AD于点E，则DE的长为（　　）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【正确答案】D

【分析】由在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，易证得△ABE是等腰三角形，继而求得答案．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=5，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3，
∴DE=AD−AE=2．
故选D．
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义．注意证得△ABE是等腰三角形是解此题的关键．
3. 已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ）
A. 12cm2 B. 24cm2 C. 48cm2 D. 96cm2
【正确答案】B

【分析】设菱形的对角线分别为8x和6x，首先求出菱形的边长，然后根据勾股定理求出x的值，根据菱形的面积公式求出面积的值．
【详解】解：设菱形的对角线分别为8x和6x，
已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，
根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，
即可知（4x）2+（3x）2=25，
解得x=1，
故菱形的对角线分别为8cm和6cm，
所以菱形的面积=×8×6=24cm2，
故选B．
本题主要考查菱形的性质的知识点，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题比较简单．
4. 如图，将平行四边形ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论没有一定成立的是(　　)

A. AF＝EF B. AB＝EF C. AE＝AF D. AF＝BE
【正确答案】C

【分析】根据平行四边形的性质及折叠变换进行推理，可知A、B、D均成立，只有C没有成立．
【详解】解：∵平行四边形ABCD沿AE翻折
∴△ABE≌△AFE，
∴AB=AF，BE=EF，∠AEB=∠AEF，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAF，
∴∠AEF=∠EAF，
∴AF=EF，
∴AF=BE
∴四边形ABEF为平行四边形，
∴AB=EF=AF=BE，
∴以上结论中只有C没有成立．
故选：C．
本题主要考查了翻折变换，解答本题的关键是图形折叠的性质和平行四边形的性质，此题难度一般，是一道比较没有错的试题．
5. 如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（　　）

A （1，1） B. （0，1） C. （﹣1，1） D. （2，0）
【正确答案】B

【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转的距离相等，可知，只要连接两组对应点，作出对应点所连线段的两条垂直平分线，其交点即为旋转．
【详解】解：如图，

连接AD、BE，作线段AD、BE的垂直平分线，
两线的交点即为旋转O′.其坐标是(0,1)．
故选B．
题目主要考查图形旋转的性质，熟练掌握找寻旋转的方法是解题关键．
6. 如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为（ ）

A. B. C. 3 D.
【正确答案】D

【详解】∵为直角三角形且D为AB中点，
∴．
根据勾股定理得，
，
∴．
故选D．
点睛：本题考查勾股定理的逆定理和直角三角形的性质,利用了勾股定理的逆定理和直角三角形的性质求解.解决此类题目要熟记斜边上的中线等于斜边的一半.注意勾股定理的应用.
7. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，∠B=30°，若AD=CD=6，则AB的长等于（　　）．

A. 9 B. 12 C. D. 18
【正确答案】D

【详解】过作交于．

∴．
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
．
在中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．故选D.
点睛：本题考查梯形，菱形、直角三角形的相关内容，解决本题的关键是把梯形分割为菱形和直角三角形，然后利用菱形和直角三角形的性质来求解.
8. 如图，函数与轴交于点，与轴交于点，过点作的垂线交轴于点，连接，以为边向上作正方形（如图所示），则点的坐标为（ ）．

A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】过D作DF⊥x轴交于F，

∵正方形，
∴，，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴≌，
∴．
∵直线与轴交于．
∴，
∴，
∴．
∴．
代入得，
∴．
故选C
9. 甲、乙两名同学在一段2000m长的笔直公路上进行自行车比赛，开始时甲在起点，乙在甲的前方200m处，他们同时同向出发匀速前进，甲的速度是8m/s，乙的速度是6m/s，先到达终点者在终点处等待．设甲、乙两人之间的距离是y（m），比赛时间是x（s），整个过程中y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）
A. B.
C. D.
【正确答案】C

【分析】先算出甲到达终点的时间，由此算出二者之间的距离，再算出乙到达终点的时间，由此找出点的坐标，点的坐标利用待定系数法求出函数解析式，根据函数解析式分析四个选项即可得出结论．
【详解】解：当甲骑到终点时所用的时间为：2000÷8＝250（s），
此时甲乙间的距离为：2000﹣200﹣6×250＝300（m），
乙到达终点时所用的时间为：（2000﹣200）÷6＝300（s），
∴点坐标为（250，300）．
甲追上乙时，所用时间为（s）
当0≤x≤100时，设y关于x的函数解析式为y＝k1x+b1，
有
解得：
此时y＝﹣2x+200；
当100＜x≤250时，设y关于x的函数解析式为y＝k2x+b2，
有
解得：
此时y＝2x﹣200；
当250＜x≤300时，设y关于x的函数解析式为y＝k3x+b3，
有
解得：
此时y＝-6x+1800．
∴整个过程中y与x之间的函数图象是C．
故选：C．
此题考查了函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题中的关键点，利用待定系数法求得每段函数解析式．
10. 如图，在平面直角坐标系中，，，连接，点是轴上的一个动点，连接、，当的周长最小时，对应的点的坐标和的最小周长分别为（ ）．

A. ， B. ， C. ， D. ，
【正确答案】D

【详解】作关于轴的对称点，
连接与轴的交点即为点．

∵，，
∴轴，
∴．
∵与关于轴对称，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
∴，
∴．
在中，，
∴，
∴的周长为．
故选D．
二、填 空 题（本题共24分，每小题3分）
11. 函数中，自变量x的取值范围为_______．
【正确答案】.

【详解】试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母没有为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须.
考点：1.函数自变量的取值范围；2.分式有意义的条件.

12. 函数y=2x﹣1的图象点（a，3），则a=__．
【正确答案】2

【详解】解，将点（a，3）代入函数y=2x－1得，3=2a-1,解得a=2
13. 若一直角三角形的两边长为4、5，则第三边的长为________ .
【正确答案】 或3##3或

【详解】解：当4和5都是直角边时，则第三边是 ；
当5是斜边时，则第三边是 ；
故答案是：和3．
14. 如图，小明将一张长为，宽为的长方形纸剪去了一角，量得，，则剪去的直角三角形的斜边长为______．

【正确答案】

【详解】
．

在中，，
∴．故答案为;20cm.
15. 如图，在平行四边形中，，，于，则_____．

【正确答案】

【分析】由平行四边形ABCD中，易得∠BCD=∠A，又因为DB=DC，所以∠DBC=∠DCB；再根据CE⊥BD，可得∠BCE=25°．
【详解】解：∵平行四边形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
故25°．
此题是平行四边形的性质与等腰三角形的性质的综合应用，解题时注意图形的性质应用．
16. （2011山东烟台，17，4分）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的，则阴影部分的面积是 .
【正确答案】2

【详解】解：正方形为旋转对称图形，绕旋转每90°便与自身重合. 可判断每个阴影部分的面积为正方形面积的，这样可得答案填2.
17. 如图，已知、分别是正方形的边、上的点，、分别与对角线相交于、，若，则__________．

【正确答案】

【详解】连接AC,

则AC所在直线为BD的垂直平分线，
∴AM=AN=CM=CN，
在△AMN和△CMN中， ，
∴△AMN≌△CMN，即∠EAF=∠MCN=50°
∴∠AMC+∠ANC=360°-50°-50°=260°，
∵∠CNF=180°-∠ANC，
∠CME=180°-∠CMA，
∴∠CME+∠CNF=180°-∠CMA+180°-∠ANC=100°
故答案为 100．
点睛：本题考查了全等三角形判定,考查了正方形对角线互相平分的性质,考查了四边形内角和为360°的性质,本题中求证是解题的关键.
18. 在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作对角线等于已知线段的菱形．
已知：两条线段、．

求作：菱形，使得其对角线分别等于和．
小军的作法如下：
如图

（）画一条线段等于．
（）分别以、为圆心，大于的长为半径，在线段的上下各作两条弧，两弧相交于、两点．
（）作直线交于点．
（）以点为圆心，线段的长为半径作两条弧，交直线于、两点，连接、、、．
所以四边形就是所求的菱形．
老师说：“小军的作确”．
该作图的依据是__________和___________．
【正确答案】 ①. 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 , ②. 对角线互相垂直平分的四边形为菱形

【详解】分析：根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可得出结论.
本题解析：由作图可得AB与CD互相垂直平分，所以四边形ACBD为菱形，则小军的作图依据为：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上,对角线互相垂直平分的四边形为菱形.
三、解 答 题（本题共46分）
19. 如图，已知和点．将绕点顺时针旋转得到．

（）在网格中画出．
（）若，直接写出平行四边形的顶点的坐标．
【正确答案】(1)见解析；（2）

【详解】分析：（1）根据网格结构找出点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网点结构找出点D，再根据平面直角坐标系写出点D的坐标即可.
本题解析：
（）如图即所求．

（）．
20. 已知：在△ABC中，∠A=90°，∠ABC=30°，BC=4，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△EBD，且满足DE∥BC,求CE的长．

【正确答案】2

【详解】先根据旋转及平行的性质得出△BCE是直角三角形，再利用勾股定理求解即可.
解：在△ABC中，
∵∠A=90°，∠ABC=30°，
∴AC＝，
由勾股定理得，AB＝，
∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△EBD，
∴BE=AB=,∠A=90°，
∵DE∥BC,
∴90°，
在Rt△BCE中，由勾股定理得，
.
21. 如图，在平面直角坐标系，函数的图象点且与函数的图象交于点．

（）求正比例函数的解析式及函数解析式．
（）设函数的图象与轴交于点，求的面积．
【正确答案】（1）；（2）2

【详解】分析：(1)将A坐标代入正比例函数解析式中求出m的值,即可确定出反比例函数解析式;将A与B坐标代入函数解析式中求出k与b的值,即可确定出函数解析式;
（2）利用函数解析式，令y=0，得到点C坐标，求出OC的长，再利用点A纵坐标的值即可求出三角形AOC的面积；
本题解析：
（）∵函数过点，，
∴
解得
∴函数解析式为．
（）∵函数与轴交于
∴
作交于点．
∴．
∵，
∴，
∴．
22. 如图，在中，，为边上的中线，过点作上于，过点作的平行线与的延长线交于点，连接，．

（）求证：四边形为菱形；
（）若四边形的面积为，，求的长．
【正确答案】（1）见解析；（2）

【详解】分析：（1）由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，利用菱形的判定即可求解；（2）利用菱形的面积公式求出AC=6, 进而求出四边形ACFD为菱形，再利用面积相等得出AF的值.
本题解析：
（）∵，为边上中线，
∴．
∵，
∴平分，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形．
（）综合（）的结论可知
菱形的面积为，
∴，
．
∵为的中点，为的中点，
∴，
∴．
∴
即
又．
∴，
∴．
∵，
∴．
∵
∵，，
∴四边形为菱形．
∵且，
∴，
∴，
．
点睛：本题考查了勾股定理，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，直角三角形的性质应用，能熟记菱形的性质和判定定理是解本题的关键.
、
23. 阅读下列材料：
五个边长为的小正方形如图①放置，要求用两条线段将它们分割成三部分后把它们拼接成一个新的正方形．

小辰是这样思考的：图①中五个边长为的小正方形的面积的和为，拼接后的正方形的面积也应该是，故而拼接后的正方形的边长为，因此想到了依据勾股定理，构造长为的线段，即：，因此想到了两直角边分别为和的直角三角形的斜边正好是，如图②，进而拼接成了一个便长为的正方形．
参考上面的材料和小辰的思考方法，解决问题：
（）五个边长为的小正方形如图④放置，类似图③，在图④中画出分割线和拼接后的正方形（只要画出一种即可）．
（）十个边长为的小正方形如图⑤放置，类似图③，在图⑤中画出两条分割线将它们分割成三部分，并画出拼接后的正方形（只要画出一种即可）．
（）五个边长为的小正方形如图⑥放置，类似图③，在图⑥中画出两条分割线将它们分割成三部分，并画出拼接后的正方形（只要画出一种即可）．

【正确答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【详解】分析：（1）由①可知，拼接后的长方形的长为三个正方形组成的矩形的对角线长，根据5个小正方形的面积的和等于拼成的正方形的面积，根据勾股定理确定截线的长度，即可确定分法，分割线的画法如图所示（画出其中一种情况即可）；（2）同（1）中方法即可作图，拼接后符合题意的长方形如图所示（画出其中一种情况即可）；（3）同（1）中方法即可作图，拼接后符合题意的长方形如图所示（画出其中一种情况即可）
本题解析：
（1）

（）

（）

24. 已知，中，，，点是线段的中点，连接，将绕点逆时针旋转度得到，连接，点是线段的中点，连接，．
（）如图，当时，直接写出线段和之间的位置关系和数量关系．
（）如图，当时，探究线段和之间的位置关系和数量关系，并给出完整的证明过程．
（）如图，直接写出当在绕点逆时针旋转的过程中，线段的值和最小值．


【正确答案】（1），；（2）见解析；（3）

【详解】分析：（1）由旋转的性质可得△ABC≌△ANM,再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得到PN和之间的位置关系和数量关系；（2）结论一样，证明的方法与（1）一样；（3）连接OP，利用勾股定理可得出线段PN的值和最小值.
本题解析：
（），．
（）连接，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵≌，
∴，，
∴，
又∵
∴四边形为正方形．
∵为中点，为中点，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴．
≌，
∴，．
∵，
∴，
∴．
（）值为，最小值为．
解析：连接．
∵，为，中点，
∴．
在中
∵，，
∴．
．
∵，
∴．
25. 定义：把函数和函数（其中，是常数，且，）称为一对交换函数，其中一个函数是另一个函数的交换函数．比如，函数是函数的交换函数，等等．
（）直接写出函数的交换函数：___________；并直接写出这对交换函数和轴所围图形的面积为___________．
（）若函数和其交换函数与轴所围图形的面积为，求的值．
（）如图，在平面直角坐标中，矩形中，点，，分别是线段、的中点，将沿着折痕翻折，使点的落点恰好落在线段的中点，点是线段的中
点，连接，若函数和与线段始终都有交点，则的取值范围为__________．

【正确答案】（）；（）；（）．

【详解】分析：（1）根据交换函数的定义即可求解；（2）根据和其交换函数与轴所围图形的面积为3，三角形的面积公式的求法即可得出答案．（3）由折叠的性质可得AB=AE,再由直线为矩形的对称轴可得为等边三角形，然后利用勾股定理求出点E,F的坐标，函数和与线段EF的交点即可求出m的取值范围.
本题解析：
（）；
（）其交换函数为，
与轴交点分别为，，
解之得，
∴，
．
（）连接
由翻折可得．
∵，分别为，中点，
∴直线为矩形的对称轴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
在中，
，
∴，．
∵和与线段始终有交点
当时，，
∴
．



2022-2023学年北京市海淀区八年级上册数学期中专项突破模拟题（卷二）
一、选一选：（本题共30分，每小题3分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是　　
A. B. C. D.
2. 如图，在平行四边形 ABCD中，AB=3，BC=5，∠ABC的平分线交AD于点E，则DE的长为（　　）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
3. 已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ）
A. 12cm2 B. 24cm2 C. 48cm2 D. 96cm2
4. 如图，将平行四边形ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论没有一定成立的是(　　)

A. AF＝EF B. AB＝EF C. AE＝AF D. AF＝BE
5. 如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（　　）

A （1，1） B. （0，1） C. （﹣1，1） D. （2，0）
6. 如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为（ ）

A. B. C. 3 D.
7. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，∠B=30°，若AD=CD=6，则AB长等于（　　）．

A. 9 B. 12 C. D. 18
8. 如图，函数与轴交于点，与轴交于点，过点作的垂线交轴于点，连接，以为边向上作正方形（如图所示），则点的坐标为（ ）．

A. B. C. D.
9. 甲、乙两名同学在一段2000m长笔直公路上进行自行车比赛，开始时甲在起点，乙在甲的前方200m处，他们同时同向出发匀速前进，甲的速度是8m/s，乙的速度是6m/s，先到达终点者在终点处等待．设甲、乙两人之间的距离是y（m），比赛时间是x（s），整个过程中y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）
A. B.
C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，A(1，2)，B(3，2)，连接AB，点P是x轴上的一个动点，连接AP、BP，当△ABP的周长最小时，对应的点P的坐标和△ABP的最小周长分别为( )

A. (1，0)， B. (3，0)， C. (2,0), D. (2,0),
二、填 空 题（本题共24分，每小题3分）
11. 写出函数中的自变量x的取值范围____________________________．
12. 函数y=2x﹣1的图象点（a，3），则a=__．
13. 若一直角三角形的两边长为4、5，则第三边的长为________ .
14. 如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸剪去了一角，量得AB=3cm，CD=4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为_______________．

15. 如图，在□ABCD中，DB＝DC、∠A＝65°，CE⊥BD于E，则∠BCE＝______

16. （2011山东烟台，17，4分）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的，则阴影部分的面积是 .
17. 如图，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若∠EAF=50°，则∠CME+∠CNF=___________________．

18. 在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作对角线等于已知线段的菱形．
已知：两条线段、．

求作：菱形，使得其对角线分别等于和．
小军的作法如下：
如图

（）画一条线段等于．
（）分别以、为圆心，大于的长为半径，在线段的上下各作两条弧，两弧相交于、两点．
（）作直线交于点．
（）以点为圆心，线段的长为半径作两条弧，交直线于、两点，连接、、、．
所以四边形就是所求菱形．
老师说：“小军的作确”．
该作图的依据是__________和___________．
三、解 答 题：（本题共46分，第19-21题每题6分，第22题7分，第23题6分，第24题8分，第25题7分）
19. 如图，已知△ABC和点O．将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1．
(1)在网格中画出△A1B1C1；
(2)若B(1，2)，C(-1，0)，直接写出平行四边形BCOD的顶点D的坐标．

20. 已知：在△ABC中，∠A=90°，∠ABC=30°，BC=4，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△EBD，且满足DE∥BC,求CE的长．

21. 如图，在平面直角坐标系，函数图象点且与函数的图象交于点．

（）求正比例函数的解析式及函数解析式．
（）设函数的图象与轴交于点，求的面积．
22. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，过点D作DE⊥BC于E，过点C作AB的平行线与DE的延长线交于点F，连接BF，AF．
(1)求证：四边形BDCF为菱形：
(2)若四边形BDCF的面积为24，CE：AC=2：3，求AF的长．

23. 阅读下列材料：
五个边长为的小正方形如图①放置，要求用两条线段将它们分割成三部分后把它们拼接成一个新的正方形．

小辰是这样思考的：图①中五个边长为的小正方形的面积的和为，拼接后的正方形的面积也应该是，故而拼接后的正方形的边长为，因此想到了依据勾股定理，构造长为的线段，即：，因此想到了两直角边分别为和的直角三角形的斜边正好是，如图②，进而拼接成了一个便长为的正方形．
参考上面的材料和小辰的思考方法，解决问题：
（）五个边长为的小正方形如图④放置，类似图③，在图④中画出分割线和拼接后的正方形（只要画出一种即可）．
（）十个边长为的小正方形如图⑤放置，类似图③，在图⑤中画出两条分割线将它们分割成三部分，并画出拼接后的正方形（只要画出一种即可）．
（）五个边长为的小正方形如图⑥放置，类似图③，在图⑥中画出两条分割线将它们分割成三部分，并画出拼接后的正方形（只要画出一种即可）．

24. 已知，△AOB中，AB=BC=2,∠ABC=90°，点O是线段AC的中点，连接OB，将△AOB绕点A逆时针旋转α度得到△ANM，连接CM，点P是线段CM的中点，连接PN、PB.
（1）如图1，当α=180°时，直接写出线段PN和PB之间的位置关系和数量关系；
（2）如图2，当α=90°时，探究线段PN和PB之间的位置关系和数量关系，并给出完整的证明过程；
（3）如图3，直接写出当△AOB在绕点A逆时针旋转的过程中，线段PN的值和最小值．


25. 定义：把函数y=bx+a和函数y=ax+b（其中a，b是常数，且a≠0，b≠0）称为一对交换函数，其中一个函数是另一个函数的交换函数．比如，函数y=4x+1是函数y=x+4的交换函数，等等．
(1)直接写出函数y=2x+1的交换函数；_________________；并直接写出这对交换函数和x轴所围图形的面积为_____________________________；
(2)若函数y=ax+2a和其交换函数与x轴所围图形的面积为3，求a的值．
(3)如图，在平面直角坐标xOy中，矩形OABC中，点C(0，)，M、N分别是线段OC、AB的中点，将△ABD沿着折痕AD翻折，使点B的落点E恰好落在线段MN的中点，点F是线段BC的中点，连接EF，若函数和与线段EF始终都有交点，则m的取值范围为_____________________.





2022-2023学年北京市海淀区八年级上册数学期中专项突破模拟题（卷二）
一、选一选：（本题共30分，每小题3分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是对称图形的是　　
A. B. C. D.
【正确答案】D

【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
B. 没有是轴对称图形，是对称图形，故没有符合题意；
C. 是轴对称图形，但没有是对称图形，故没有符合题意；
D. 既是轴对称图形又是对称图形，故符合题意．
故选D．
本题考查了轴对称图形和对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和对称图形的定义是解答本题的关键．
2. 如图，在平行四边形 ABCD中，AB=3，BC=5，∠ABC的平分线交AD于点E，则DE的长为（　　）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【正确答案】D

【分析】由在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，易证得△ABE是等腰三角形，继而求得答案．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=5，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3，
∴DE=AD−AE=2．
故选D．
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义．注意证得△ABE是等腰三角形是解此题的关键．
3. 已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ）
A. 12cm2 B. 24cm2 C. 48cm2 D. 96cm2
【正确答案】B

【分析】设菱形的对角线分别为8x和6x，首先求出菱形的边长，然后根据勾股定理求出x的值，根据菱形的面积公式求出面积的值．
【详解】解：设菱形的对角线分别为8x和6x，
已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，
根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，
即可知（4x）2+（3x）2=25，
解得x=1，
故菱形的对角线分别为8cm和6cm，
所以菱形的面积=×8×6=24cm2，
故选B．
本题主要考查菱形的性质的知识点，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题比较简单．
4. 如图，将平行四边形ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论没有一定成立的是(　　)

A. AF＝EF B. AB＝EF C. AE＝AF D. AF＝BE
【正确答案】C

【分析】根据平行四边形的性质及折叠变换进行推理，可知A、B、D均成立，只有C没有成立．
【详解】解：∵平行四边形ABCD沿AE翻折
∴△ABE≌△AFE，
∴AB=AF，BE=EF，∠AEB=∠AEF，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAF，
∴∠AEF=∠EAF，
∴AF=EF，
∴AF=BE
∴四边形ABEF为平行四边形，
∴AB=EF=AF=BE，
∴以上结论中只有C没有成立．
故选：C．
本题主要考查了翻折变换，解答本题的关键是图形折叠的性质和平行四边形的性质，此题难度一般，是一道比较没有错的试题．
5. 如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是（　　）

A. （1，1） B. （0，1） C. （﹣1，1） D. （2，0）
【正确答案】B

【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转的距离相等，可知，只要连接两组对应点，作出对应点所连线段的两条垂直平分线，其交点即为旋转．
【详解】解：如图，

连接AD、BE，作线段AD、BE的垂直平分线，
两线的交点即为旋转O′.其坐标是(0,1)．
故选B．
题目主要考查图形旋转的性质，熟练掌握找寻旋转的方法是解题关键．
6. 如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为（ ）

A. B. C. 3 D.
【正确答案】D

【详解】∵为直角三角形且D为AB中点，
∴．
根据勾股定理得，
，
∴．
故选D．
点睛：本题考查勾股定理的逆定理和直角三角形的性质,利用了勾股定理的逆定理和直角三角形的性质求解.解决此类题目要熟记斜边上的中线等于斜边的一半.注意勾股定理的应用.
7. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，∠B=30°，若AD=CD=6，则AB长等于（　　）．

A. 9 B. 12 C. D. 18
【正确答案】D

【详解】过作交于．

∴．
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
．
在中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．故选D.
点睛：本题考查梯形，菱形、直角三角形的相关内容，解决本题的关键是把梯形分割为菱形和直角三角形，然后利用菱形和直角三角形的性质来求解.
8. 如图，函数与轴交于点，与轴交于点，过点作的垂线交轴于点，连接，以为边向上作正方形（如图所示），则点的坐标为（ ）．

A. B. C. D.
【正确答案】C

【详解】过D作DF⊥x轴交于F，

∵正方形，
∴，，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴≌，
∴．
∵直线与轴交于．
∴，
∴，
∴．
∴．
代入得，
∴．
故选C.
9. 甲、乙两名同学在一段2000m长的笔直公路上进行自行车比赛，开始时甲在起点，乙在甲的前方200m处，他们同时同向出发匀速前进，甲的速度是8m/s，乙的速度是6m/s，先到达终点者在终点处等待．设甲、乙两人之间的距离是y（m），比赛时间是x（s），整个过程中y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）
A. B.
C. D.
【正确答案】C

【分析】先算出甲到达终点的时间，由此算出二者之间的距离，再算出乙到达终点的时间，由此找出点的坐标，点的坐标利用待定系数法求出函数解析式，根据函数解析式分析四个选项即可得出结论．
【详解】解：当甲骑到终点时所用的时间为：2000÷8＝250（s），
此时甲乙间的距离为：2000﹣200﹣6×250＝300（m），
乙到达终点时所用的时间为：（2000﹣200）÷6＝300（s），
∴点坐标为（250，300）．
甲追上乙时，所用时间为（s）
当0≤x≤100时，设y关于x的函数解析式为y＝k1x+b1，
有
解得：
此时y＝﹣2x+200；
当100＜x≤250时，设y关于x的函数解析式为y＝k2x+b2，
有
解得：
此时y＝2x﹣200；
当250＜x≤300时，设y关于x的函数解析式为y＝k3x+b3，
有
解得：
此时y＝-6x+1800．
∴整个过程中y与x之间的函数图象是C．
故选：C．
此题考查了函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题中的关键点，利用待定系数法求得每段函数解析式．
10. 如图，在平面直角坐标系中，A(1，2)，B(3，2)，连接AB，点P是x轴上的一个动点，连接AP、BP，当△ABP的周长最小时，对应的点P的坐标和△ABP的最小周长分别为( )

A. (1，0)， B. (3，0)， C. (2,0), D. (2,0),
【正确答案】D

【详解】作A关于x轴的对称点N（1，-2），连接BN与x轴的交点即为点P的位置，此时△ABP的周长最小.

设直线BN的解析式为，
∵N(1，-2)，B(3，2)，
∴ ，
解得，
∴，
当时，，
解得，，
∴点P的坐标为（2，0）；
∵A(1，2)，B(3，2)，
∴AB//x轴，
∵AN⊥x轴，
∴AB⊥x轴，
在Rt△ABC中，AB＝2，AN＝4，
由勾股定理得，
BN＝，
∵AP=NP,
∴△ABP的周长最小值为：AB+BP+AP=AB+BP+PN=AB+BN=2+2.
故选D.
点睛：本题考查最短路径问题.利用轴对称作出点P的位置是解题的关键.
二、填 空 题（本题共24分，每小题3分）
11. 写出函数中的自变量x的取值范围____________________________．
【正确答案】x≠2

【详解】当时，函数有意义，
即x≠2.
故答案为x≠2.
12. 函数y=2x﹣1的图象点（a，3），则a=__．
【正确答案】2

【详解】解，将点（a，3）代入函数y=2x－1得，3=2a-1,解得a=2
13. 若一直角三角形两边长为4、5，则第三边的长为________ .
【正确答案】 或3##3或

【详解】解：当4和5都是直角边时，则第三边是 ；
当5是斜边时，则第三边是 ；
故答案是：和3．
14. 如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸剪去了一角，量得AB=3cm，CD=4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为_______________．

【正确答案】20cm

【详解】延长AB、DC相交于F，

在Rt△BFC中，
∵BF=AF-AB=15-3=12,FC=DF-CD=20-4=16,
由勾股定理得BC=，
∴剪去的直角三角形的斜边长为20cm.
故答案为20cm.
15. 如图，在□ABCD中，DB＝DC、∠A＝65°，CE⊥BD于E，则∠BCE＝______

【正确答案】25°

【详解】试题解析：∵∠A=65°，
∴∠BCD=65°；
∵DB=DC，
∴∠BCD=∠DBC=65°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEB=90°，
∴∠BCE=90°-∠DBC=25°．
主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
16. （2011山东烟台，17，4分）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的，则阴影部分的面积是 .
【正确答案】2

【详解】解：正方形为旋转对称图形，绕旋转每90°便与自身重合. 可判断每个阴影部分的面积为正方形面积的，这样可得答案填2.
17. 如图，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若∠EAF=50°，则∠CME+∠CNF=___________________．

【正确答案】100°

【详解】∵正方形ABCD关于BD对称，
∴∠MCN=∠EAF=50°，
在四边形AMCN中，
∵∠EAF +∠AMC+∠MCN+∠ACN＝360°，
∴∠AMC+∠ACN＝260°，
∵∠CME+∠AMC +∠ACN+∠CNF＝180°+180°=360°，
∴∠CME+∠CNF＝100°.
故答案为100°.
点睛：本题考查正方形的性质.应用正方形的轴对称性质是解题的关键.
18. 在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作对角线等于已知线段的菱形．
已知：两条线段、．

求作：菱形，使得其对角线分别等于和．
小军的作法如下：
如图

（）画一条线段等于．
（）分别以、为圆心，大于的长为半径，在线段的上下各作两条弧，两弧相交于、两点．
（）作直线交于点．
（）以点为圆心，线段的长为半径作两条弧，交直线于、两点，连接、、、．
所以四边形就是所求的菱形．
老师说：“小军的作确”．
该作图的依据是__________和___________．
【正确答案】 ①. 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 , ②. 对角线互相垂直平分的四边形为菱形

【详解】分析：根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可得出结论.
本题解析：由作图可得AB与CD互相垂直平分，所以四边形ACBD为菱形，则小军的作图依据为：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上,对角线互相垂直平分的四边形为菱形.
三、解 答 题：（本题共46分，第19-21题每题6分，第22题7分，第23题6分，第24题8分，第25题7分）
19. 如图，已知△ABC和点O．将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1．
(1)在网格中画出△A1B1C1；
(2)若B(1，2)，C(-1，0)，直接写出平行四边形BCOD的顶点D的坐标．

【正确答案】(1)画图见解析；(2)点D的坐标为(1，1)

【详解】利用旋转的性质分别得出对应点A1，B1，C1的位置进而得出答案．
解：（1）△A1B1C1如图所示，

（2）点D的坐标为(1，1).
20. 已知：在△ABC中，∠A=90°，∠ABC=30°，BC=4，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△EBD，且满足DE∥BC,求CE的长．

【正确答案】2

【详解】先根据旋转及平行的性质得出△BCE是直角三角形，再利用勾股定理求解即可.
解：在△ABC中，
∵∠A=90°，∠ABC=30°，
∴AC＝，
由勾股定理得，AB＝，
∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△EBD，
∴BE=AB=,∠A=90°，
∵DE∥BC,
∴90°，
在Rt△BCE中，由勾股定理得，
.
21. 如图，在平面直角坐标系，函数的图象点且与函数的图象交于点．

（）求正比例函数的解析式及函数解析式．
（）设函数图象与轴交于点，求的面积．
【正确答案】（1）；（2）2

【详解】分析：(1)将A坐标代入正比例函数解析式中求出m的值,即可确定出反比例函数解析式;将A与B坐标代入函数解析式中求出k与b的值,即可确定出函数解析式;
（2）利用函数解析式，令y=0，得到点C的坐标，求出OC的长，再利用点A纵坐标的值即可求出三角形AOC的面积；
本题解析：
（）∵函数过点，，
∴
解得
∴函数解析式为．
（）∵函数与轴交于
∴
作交于点．
∴．
∵，
∴，
∴．
22. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，过点D作DE⊥BC于E，过点C作AB的平行线与DE的延长线交于点F，连接BF，AF．
(1)求证：四边形BDCF为菱形：
(2)若四边形BDCF的面积为24，CE：AC=2：3，求AF的长．

【正确答案】(1) 见解析；(2)

【详解】（1）求出四边形ADFC是平行四边形，推出CF=AD=BD，根据平行四边形的判定得出四边形BDCF是平行四边形，再证CD=BD即可；
（2）设CE=2x，AC=3x，求出BC=4x，DF=AC=3x，根据菱形的面积公式求出x，再根据勾股定理求出AF即可．
解：(1)证明：DE⊥BC,∠ACB=90°，
∴∠BED=∠ACB，
∴DF∥AC，
∵CF∥AB，
∴四边形ADFC是平行四边形，
∴AD=CF，
∵D为AB的中点，
∴AD=BD，
∴BD=CF，
∵BD∥CF，
∴四边形BDCF是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴DC=BD，
∴四边形BDCF是菱形；
(2)∵CE：AC=2：3，
∴设CE=2x，AC=3x，
∵四边形BDCF是菱形，
∴BE=CE=2x，
∴BC=4x，
∵四边形ADFC是平行四边形，
∴DF=AC=3x，
∵四边形BDCF的面积为24，
∴×BC×DF=24，
∴⋅4x⋅3x=24，
解得：x=2(负数舍去)，
∴CE=4，DF=6，
∴AC=6，EF=DF=3
作FG⊥AC交AC的延长线于点G，可得矩形ECGF,

∴FG=CE=4，AG=AC+CG=6+3=9,
在Rt△AFG中，
由勾股定理得，AF=.
23. 阅读下列材料：
五个边长为的小正方形如图①放置，要求用两条线段将它们分割成三部分后把它们拼接成一个新的正方形．

小辰是这样思考的：图①中五个边长为的小正方形的面积的和为，拼接后的正方形的面积也应该是，故而拼接后的正方形的边长为，因此想到了依据勾股定理，构造长为的线段，即：，因此想到了两直角边分别为和的直角三角形的斜边正好是，如图②，进而拼接成了一个便长为的正方形．
参考上面的材料和小辰的思考方法，解决问题：
（）五个边长为小正方形如图④放置，类似图③，在图④中画出分割线和拼接后的正方形（只要画出一种即可）．
（）十个边长为的小正方形如图⑤放置，类似图③，在图⑤中画出两条分割线将它们分割成三部分，并画出拼接后的正方形（只要画出一种即可）．
（）五个边长为的小正方形如图⑥放置，类似图③，在图⑥中画出两条分割线将它们分割成三部分，并画出拼接后的正方形（只要画出一种即可）．

【正确答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【详解】分析：（1）由①可知，拼接后的长方形的长为三个正方形组成的矩形的对角线长，根据5个小正方形的面积的和等于拼成的正方形的面积，根据勾股定理确定截线的长度，即可确定分法，分割线的画法如图所示（画出其中一种情况即可）；（2）同（1）中方法即可作图，拼接后符合题意的长方形如图所示（画出其中一种情况即可）；（3）同（1）中方法即可作图，拼接后符合题意的长方形如图所示（画出其中一种情况即可）
本题解析：
（1）

（）

（）

24. 已知，△AOB中，AB=BC=2,∠ABC=90°，点O是线段AC的中点，连接OB，将△AOB绕点A逆时针旋转α度得到△ANM，连接CM，点P是线段CM的中点，连接PN、PB.
（1）如图1，当α=180°时，直接写出线段PN和PB之间的位置关系和数量关系；
（2）如图2，当α=90°时，探究线段PN和PB之间的位置关系和数量关系，并给出完整的证明过程；
（3）如图3，直接写出当△AOB在绕点A逆时针旋转的过程中，线段PN的值和最小值．


【正确答案】(1)PN=PB，PN⊥PB；(2)略；(3)

【详解】（1）由旋转的性质可得△ABC≌△ANM,再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得到PN和之间的位置关系和数量关系；（2）结论一样，证明的方法与（1）一样；（3）连接OP，利用勾股定理可得出线段PN的值和最小值.
解：（），．
（）连接，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵≌，
∴，，
∴，,
又∵,
∴四边形为正方形．
∵为中点，为中点，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴．
≌，
∴，．
∵，
∴，
∴．
（）连接．
∵，为，中点，
∴．
在中，
∵，，
∴．
．
∵，
∴．
值为，最小值为．
25. 定义：把函数y=bx+a和函数y=ax+b（其中a，b是常数，且a≠0，b≠0）称为一对交换函数，其中一个函数是另一个函数的交换函数．比如，函数y=4x+1是函数y=x+4的交换函数，等等．
(1)直接写出函数y=2x+1的交换函数；_________________；并直接写出这对交换函数和x轴所围图形的面积为_____________________________；
(2)若函数y=ax+2a和其交换函数与x轴所围图形面积为3，求a的值．
(3)如图，在平面直角坐标xOy中，矩形OABC中，点C(0，)，M、N分别是线段OC、AB的中点，将△ABD沿着折痕AD翻折，使点B的落点E恰好落在线段MN的中点，点F是线段BC的中点，连接EF，若函数和与线段EF始终都有交点，则m的取值范围为_____________________.

【正确答案】 ①. ， ②. ③.

【详解】（1）根据交换函数的定义即可求解；（2）根据和其交换函数与轴所围图形的面积为3，三角形的面积公式的求法即可得出答案．（3）由折叠的性质可得AB=AE,再由直线为矩形的对称轴可得为等边三角形，然后利用勾股定理求出点E,F的坐标，函数和与线段EF的交点即可求出m的取值范围.
解：（）；；
（）其交换函数为，
与轴交点分别为，，

解之得，
∴，
．
（）连接，
由翻折可得．
∵，分别为，中点，
∴直线为矩形的对称轴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
在中，，
，
∴，．
∵和与线段始终有交点，
当时，，
∴，
．
点睛：本题是一道函数综合题.熟练应用函数的性质是解题的关键.