2022-2023学年北京市通州区九年级下册数学期中专项提升模拟题（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年北京市通州区九年级下册数学期中专项提升模拟题（AB卷）含解析，共48页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京市通州区九年级下册数学期中专项提升模拟题（A卷）
一、选一选(本大题共10小题,每小题3分,共30分.下列各题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1. 在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,sin A=,则AB的长为(　　)
A. 2 B. C. 12 D. 13
2. 如果∠A为锐角,且cos A≤,那么(　　)
A. 0°<∠A<60° B. 60°≤∠A<90° C. 0°<∠A≤30° D. 30°≤∠A<90°
3. 如图,在笔直的海岸线l上有A,B两个观测站,AB=2 km,从A处测得船C在北偏东45°的方向,从B处测得船C在北偏东22.5°的方向,则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为(　　)

A. 4 km B. km C. 2 km D. km
4. 身高相等的三名同学甲，乙，丙参加风筝比赛，三人放出风筝的线长，线与地面夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝中（　　）
同 学
甲
乙
丙
放出风筝线长
100m
100m
90m
线与地面交角
40°
45°
60°

A. 甲的 B. 丙的 C. 乙的 D. 丙的
5. 在中，，，，则的面积是（ ）
A. 21 B. 14 C. 12 D. 10.5
6. 已知函数是常数，，下列结论正确的是　　
A. 当时，函数图象过点 B. 当时，函数图象与x轴没有交点
C. 若，则当时，y随x的增大而减小 D. 若，则当时，y随x的增大而增大
7. 要将抛物线y=x2+2x+3平移后得到抛物线y=x2,下列平移方确的是(　　)
A. 向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度
B. 向左平移1个单位长度再向下平移2个单位长度
C. 向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度
D. 向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度
8. 西宁广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（ ）


A. y＝－(x－)2＋3 B. y＝－3(x+)2+3
C. y＝－12(x-)2＋3 D. y＝－12(x+)2+3
9. 已知函数y=x2-2x-2的图象如图,根据其中提供的信息,可求得使y≥1成立的x的取值范围是 (　　)

A. -1≤x≤3 B. -3≤x≤1 C. x≥-3 D. x≤-1或x≥3
10. 若二次函数的图象点（﹣1，0），则方程的解为（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
二、填 空 题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
11. 在Rt△ABC中 ∠C=90°,AC=2,AB=3,则tan A=______________________.
12 (cos 30°+sin 45°)(sin 60°-cos 45°)=____.
13. 如图是一张宽为m的矩形台球桌ABCD,一球从点M(点M在长边CD上)出发沿虚线MN射向边BC,然后反弹到边AB上的点P.如果MC=n,∠CMN=α,那么点P与点B的距离为_____. 

14. 函数y=x2+2x+1，当y=0时，x=_______________；当1＜x＜2时，y随x的增大而_____________（填写“增大”或“减小”）
15. 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的点)离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度增加了________米．

16. 已知二次函数y=ax2-bx+c的图象点(-1,0),且a,b,c均为非零实数,则的值是_____.
17. 若点P(1,a),Q(-1,b)都在抛物线y=-x2+1上,则线段PQ的长为_____.

18. 一名男生推铅球，铅球行进的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的关系为，则这名男生这次推铅球的成绩是______米．
三、解 答 题(本大题共6小题,共66分)
19. 已知函数y=2x2+4x-3.
(1)通过配方,写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(2)分别求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标.
20. 下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4 m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1 m,EN,DM,CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于点F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果到0.1 m.参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)

21. 已知二次函数y=x2+mx+n的图象点P（﹣3，1），对称轴是（﹣1，0）且平行于y轴的直线.
(1)求m、n的值；
(2)如图，函数y=kx+b的图象点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA：PB=1：5，求函数的表达式.

22. 图中是抛物线拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测P处，仰角分别为α、β，且tanα=，，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系．

（1）求点P的坐标；
（2）水面上升1m，水面宽多少m（取1．41，结果到0．1m）？
23. 如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，有人在直线AB上点C处(靠点B一侧)竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内，已知AB=4 m，AC=3 m，网球飞行高度OM=5 m，圆柱形桶的直径为0.5 m，高为0.3 m(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略没有计)
（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能没有能落入桶内?
（2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内?

24. 阅读材料：
关于三角函数还有如下公式：


利用这些公式可以将一些没有是角的三角函数转化为角的三角函数来求值．
例：
=
=
=
=
==

根据以上阅读材料，请选择适当公式解答下面问题
（1）计算：sin15°；
（2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（到0.1米，参考数据）





2022-2023学年北京市通州区九年级下册数学期中专项提升模拟题（A卷）
一、选一选(本大题共10小题,每小题3分,共30分.下列各题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1. 在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,sin A=,则AB的长为(　　)
A. 2 B. C. 12 D. 13
【正确答案】D

【详解】试题解析：在Rt△ABC中,

即,

故选D.
2. 如果∠A为锐角,且cos A≤,那么(　　)
A. 0°<∠A<60° B. 60°≤∠A<90° C. 0°<∠A≤30° D. 30°≤∠A<90°
【正确答案】B

【详解】试题解析：当∠A是锐角时,余弦值随角度的增大而减小.


故选B.
点睛：当∠A是锐角时,余弦值随角度的增大而减小.
3. 如图,在笔直的海岸线l上有A,B两个观测站,AB=2 km,从A处测得船C在北偏东45°的方向,从B处测得船C在北偏东22.5°的方向,则船C离海岸线l的距离(即CD的长)为(　　)

A. 4 km B. km C. 2 km D. km
【正确答案】B

【详解】试题分析：根据题意中方位角的特点，过点B作BE⊥AC，交AC于点E，由∠CAB=45°，AB=2km，可知BE=km，根据题意还可知∠BCA=∠BCD=22.5°，因此CB是∠ACD的角平分线，根据角平分线的性质可知BD=BE=km，因此CD=AD=AB+BD=（2+）km.
故选B

考点：解直角三角形的应用
4. 身高相等的三名同学甲，乙，丙参加风筝比赛，三人放出风筝的线长，线与地面夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝中（　　）
同 学
甲
乙
丙
放出风筝线长
100m
100m
90m
线与地面交角
40°
45°
60°

A. 甲的 B. 丙的 C. 乙的 D. 丙的
【正确答案】B

【详解】试题解析：由题意可知,甲、乙、丙三人所放风筝的高分别为100sin 40m,100sin 45° m,90sin 60m.

丙所放的风筝.
故选B.
5. 在中，，，，则的面积是（ ）
A. 21 B. 14 C. 12 D. 10.5
【正确答案】D

【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据，可求出∠B，设BD=AD=x，再根据，即可用x表示出AC，利用勾股定理即可求出CD，然后利用BC=7即可列出方程求出x，求面积即可.
【详解】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D.

∵
∴∠B＝45°
∴BD=AD，
设BD=AD=x
∵
∴AC=x
根据勾股定理：
∵BD＋DC=BC=7
∴x＋x=7
解得：x=3
∴AD=3
∴
故选D.
此题考查的是解没有含直角的三角形，勾股定理和三角形的面积，解决此题的关键是根据已知角的锐角三角函数值构造直角三角形.
6. 已知函数是常数，，下列结论正确的是　　
A. 当时，函数图象过点 B. 当时，函数图象与x轴没有交点
C. 若，则当时，y随x的增大而减小 D. 若，则当时，y随x的增大而增大
【正确答案】D

【分析】把a=1，x=﹣1代入y=ax2﹣2ax﹣1，于是得到函数图象没有点（﹣1，1），根据△=8＞0，得到函数图象与x轴有两个交点，根据抛物线的对称轴为直线x=1判断二次函数的增减性．
【详解】A、∵当a=1，x=﹣1时，y=1+2﹣1=2，
∴函数图象没有点（﹣1，1），故错误，没有符合题意；

B、当a=﹣2时，∵△=42﹣4×（﹣2）×（﹣1）=8＞0，
∴函数图象与x轴有两个交点，故错误，没有符合题意；
C、∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，故错误，没有符合题意；
D、∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大，故正确，符合题意；
7. 要将抛物线y=x2+2x+3平移后得到抛物线y=x2,下列平移方确的是(　　)
A. 向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度
B. 向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度
C. 向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度
D. 向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度
【正确答案】D

【分析】原抛物线顶点坐标为（-1，2），平移后抛物线顶点坐标为（0，0），由此确定平移规律．
【详解】y=x2+2x+3=（x+1）2+2，该抛物线的顶点坐标是（-1，2），抛物线y=x2的顶点坐标是（0，0），
则平移的方法可以是：将抛物线y=x2+2x+3向右移1个单位，再向下平移2个单位．
故选D．
本题考查抛物线的平移，熟记抛物线平移的规律是解题的关键.
8. 西宁广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的高度为3米，此时距喷水管的水平距离为米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是（ ）


A. y＝－(x－)2＋3 B. y＝－3(x+)2+3
C. y＝－12(x-)2＋3 D. y＝－12(x+)2+3
【正确答案】C

【详解】分析：根据二次函数的图象，喷水管喷水的高度为3米，此时喷水水平距离为米，由此得到顶点坐标为（ ，3），所以设抛物线的解析式为y=a（x- ）2+3，而抛物线还（0，0），由此即可确定抛物线的解析式．
解答：解：∵一支高度为1米的喷水管喷水的高度为3米，此时喷水水平距离为米，
∴顶点坐标为（，3），
设抛物线的解析式为y=a（x-）2+3，
而抛物线还（0，0），
∴0=a（0-）2+3，
∴a=-12，
∴抛物线的解析式为y=-12（x-）2+3．
故选C．
9. 已知函数y=x2-2x-2的图象如图,根据其中提供的信息,可求得使y≥1成立的x的取值范围是 (　　)

A. -1≤x≤3 B. -3≤x≤1 C. x≥-3 D. x≤-1或x≥3
【正确答案】D

【详解】试题分析：通过观察图象得到x=-1或x=3时，y=1；即二次函数图象在直线y=1上方，即可读出其对应的x的取值范围．
观察图象得，x=-1或x=3时，y=1；
当时，x的取值范围是或．
故选D.
考点：本题考查了二次函数与没有等式的关系
点评：解答本题的关键是观察二次函数的图象，运用二次函数的性质找出满足函数值所对应的自变量的范围．
10. 若二次函数的图象点（﹣1，0），则方程的解为（ ）
A. ， B. ， C. ， D. ，
【正确答案】C

【详解】∵二次函数的图象点（﹣1，0），∴方程一定有一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为：（3，0），∴方程的解为：，．
故选C．
考点：抛物线与x轴的交点．
二、填 空 题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
11. 在Rt△ABC中, ∠C=90°,AC=2,AB=3,则tan A=______________________.
【正确答案】

【详解】试题解析：由勾股定理,得
BC=,
tan A=.
故答案为
12. (cos 30°+sin 45°)(sin 60°-cos 45°)=____.
【正确答案】

【详解】试题解析：原式
故答案为
点睛：把三角函数的值代入运算即可.
13. 如图是一张宽为m的矩形台球桌ABCD一球从点M(点M在长边CD上)出发沿虚线MN射向边BC,然后反弹到边AB上的点P.如果MC=n,∠CMN=α,那么点P与点B的距离为_____. 

【正确答案】

【详解】试题解析：由题意知：∠NPB=∠NMC=α．

Rt△MNC中，MC=n，∠NMC=α，
∴NC=MC•tanα=n•tanα，
∴BN=BC-NC=m-n•tanα．
Rt△BPN中，∠BPN=α，
∵tanα=，
∴PB•tanα=BN，
∴PB=BN÷tanα=．
考点：1．解直角三角形的应用；2．轴对称的性质．
14. 函数y=x2+2x+1，当y=0时，x=_______________；当1＜x＜2时，y随x增大而_____________（填写“增大”或“减小”）
【正确答案】 ①. －1 ②. 增大

【分析】将y=0代入函数，求出一元二次方程的解；对于开口向上的函数，当x＞对称轴时，y随x的增大而增大，当x＜对称轴时，y随x的增大而减小．
【详解】解：当y=0时，即+2x+1=0，解得：x=－1；
根据函数解析式可得函数的对称轴为直线x=－1，则当1＜x＜2时，y随x的增大而增大．
故-1；增大．
本题考查二次函数的性质，利用数形思想解题是关键．

15. 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的点)离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度增加了________米．

【正确答案】

【分析】建立平面直角坐标系，设顶点式，代入点坐标解出抛物线解析式，把代入抛物线解析式求得，即可得出水面的宽度增加的距离．
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过点，则通过画图可得知为原点，

抛物线以轴为对称轴，且两点，和可求出为的一半2米，抛物线顶点坐标为，
设顶点式，代入点坐标，
得出：，
所以抛物线解析式为，
当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把代入抛物线解析式得出：，
解得：，
所以水面宽度增加了米．
故
本题考查了抛物线的实际应用，掌握抛物线的图象以及解析式是解题的关键．
16. 已知二次函数y=ax2-bx+c的图象点(-1,0),且a,b,c均为非零实数,则的值是_____.
【正确答案】-3

【详解】试题解析：抛物线y=ax2-bx+c过点(-1,0),
a+b+c=0.

，
=，

故答案为
17. 若点P(1,a),Q(-1,b)都在抛物线y=-x2+1上,则线段PQ的长为_____.

【正确答案】2

【分析】将点和分别代入，可求得，的值，从而求得线段的长．
【详解】将点和分别代入，得：
，，
线段．
本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，将方程转化为关于未知系数的方程．图形更易解答．
18. 一名男生推铅球，铅球行进的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的关系为，则这名男生这次推铅球的成绩是______米．
【正确答案】10

【分析】将代入解析式求的值即可．
【详解】解：∵
∴




解得：(舍去)，
故10．
本题考查了二次函数的应用．解题的关键在于正确的解一元二次方程．所求值要满足实际．
三、解 答 题(本大题共6小题,共66分)
19. 已知函数y=2x2+4x-3.
(1)通过配方,写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(2)分别求出抛物线与x轴、y轴的交点坐标.
【正确答案】(1) 对称轴是直线x=-1,顶点坐标为(-1,-5);(2) 交点坐标为(0,-3).

【详解】试题分析：（1）根据的值可直接得到二次函数的开口方向，把二次函数化成顶点式即可写出顶点坐标、对称轴；
（2）令二次函数中求出对应的的值，可得到二次函数图象与轴的交点坐标；令二次函数中求出对应的的值，可得到二次函数图象与轴的交点坐标；
试题解析：
(1)y=2x2+4x-3=2(x2+2x)-3=2(x2+2x+1-1)-3=2(x+1)2-5.
抛物线开口向上,对称轴是直线x=-1,顶点坐标为(-1,-5).
(2)令y=0,得2x2+4x-3=0,解得x1=,x2=-.
抛物线与x轴的交点坐标为.
令x=0,得y=-3.
抛物线与y轴的交点坐标为(0,-3).
20. 下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4 m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1 m,EN,DM,CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于点F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果到0.1 m.参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)

【正确答案】25m.

【分析】设DF=x，在Rt△DFC中，可得CF=DF=x，则BF=4-x，根据线段的和差可得AN=5-x，EN=DM=BF=4－，在Rt△ANE中，∠EAB=，利用∠EAB的正切值解得x的值．
【详解】解：设DF=，在Rt△DFC中，∠CDF=，
∴CF=tan·DF=，
又∵CB=4，
∴BF=4－，
∵AB=6，DE=1，BM= DF=，
∴AN=5－，EN=DM=BF=4－，
在Rt△ANE中，∠EAB=，EN=4－，AN=5－，
tan
=0.60，
解得=2.5，
答：DM和BC的水平距离BM为2.5米．
考点：解直角三角形．
21. 已知二次函数y=x2+mx+n的图象点P（﹣3，1），对称轴是（﹣1，0）且平行于y轴的直线.
(1)求m、n的值；
(2)如图，函数y=kx+b的图象点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA：PB=1：5，求函数的表达式.

【正确答案】（1）m=2，n=−2，（2）y=x+4；（3）x<-3或x>2

【详解】试题分析：（1）利用对称轴公式求得，把代入二次函数进而就可求得；
（2）根据（1）得出二次函数的解析式，根据已知条件，利用平行线分线段成比例定理求得的纵坐标，代入二次函数的解析式中求得的坐标，然后利用待定系数法就可求得函数的表达式．
试题解析：(1)由题意得解得
(2)如图,分别过点P,B作x轴的垂线,垂足分别为C,D,则PC∥BD,

△APC∽△ABD,
.
PA∶PB=1∶5,PC=1,
,
BD=6.
令x2+2x-2=6,
解得:x1=2,x2=-4(舍去),
点B坐标为(2,6),
解得
函数的表达式为y=x+4.
22. 图中是抛物线拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测P处，仰角分别为α、β，且tanα=，，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系．

（1）求点P的坐标；
（2）水面上升1m，水面宽多少m（取1．41，结果到0．1m）？
【正确答案】（1）点P的坐标为．（2）2．8m．

【分析】（1）过点P作PH⊥OA于H，如图，设PH=3x，运用三角函数可得OH=6x，AH=2x，根据条件OA=4可求出x，即可得到点P的坐标；
（2）若水面上升1m后到达BC位置，如图，运用待定系数法可求出抛物线的解析式，然后求出y=1时x的值，就可解决问题．
【详解】(1)如图，过点P 作PB⊥OA，垂足为B．设点P 的坐标为(x，y)．在Rt△POB 中，
∵tanα＝，
∴ OB＝＝2y．
在Rt△PAB 中，∵tanβ＝，
∴ AB＝y．
∵ OA＝OB＋AB，
即2y＋y＝4，
∴ y＝．
∴ x＝2×＝3．
∴ 点P 的坐标为(3，)．

(2)设这条抛物线表示二次函数的表达式为y＝ax2＋bx，由函数图象(4，0)，(3，)两点，可得
解得，
∴这条抛物线表示的二次函数的表达式为y＝－x2＋2x．当水面上升1 m 时，水面的纵坐标为1，即－x2＋2x＝1，解得x1＝2－，x2＝2＋，
∴x2－x1＝2＋－(2－)＝2≈2.8．
因此，若水面上升1 m，则水面宽约2.8 m．
本题主要考查了三角函数、运用待定系数法求抛物线的解析式、解一元二次方程等知识，出现角的度数（30°、45°或60°）或角的三角函数值，通常放到直角三角形中通过解直角三角形来解决问题．
23. 如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，有人在直线AB上点C处(靠点B一侧)竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内，已知AB=4 m，AC=3 m，网球飞行高度OM=5 m，圆柱形桶的直径为0.5 m，高为0.3 m(网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略没有计)
（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能没有能落入桶内?
（2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内?

【正确答案】（1）没有能；（2）当竖直摆放圆柱形桶8,9,10,11或12个时,网球可以落入桶内

【详解】解：（1）以点O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系（如图）
M（0，5），B（2，0），C（1，0），D（，0）

设抛物线的解析式为，抛物线过点M和点B，则　，．
即抛物线解析式为．　　
当x＝时，y＝；当x＝时，y＝．
即P（1，），Q在抛物线上．
当竖直摆放5个圆柱形桶时，桶高＝×5＝．
∵　＜且＜，∴网球没有能落入桶内．　
（2）设竖直摆放圆柱形桶m个时网球可以落入桶内，
由题意，得，≤m≤．　　　　　　　　
解得，≤m≤．
∵　m为整数，∴　m的值为8，9，10，11，12．　　　　　
∴　当竖直摆放圆柱形桶8，9，10，11或12个时，网球可以落入桶内．
24. 阅读材料：
关于三角函数还有如下的公式：


利用这些公式可以将一些没有是角的三角函数转化为角的三角函数来求值．
例：
=
=
=
=
==

根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题
（1）计算：sin15°；
（2）乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一（图1），小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．（到0.1米，参考数据）

【正确答案】（1）．
（2）27.7米

【详解】分析：（1）把15°化为45°﹣30°以后，利用公式sin（α±β）=sinαcosβ±cosasinβ计算，即可求出sin15°的值．
（2）先根据锐角三角函数的定义求出BE的长，再根据AB=AE+BE即可得出结论．
解：（1）=====．
（2）在Rt△BDE中，∵∠BED=90°，∠BDE=75°，DE=AC=7米，∴∠DBE=15°．
∴．
∴AB="AE+BE=1.62+" （米）．
答：乌蒙铁塔高度约为27.7米


















2022-2023学年北京市通州区九年级下册数学期中专项提升模拟题（B卷）
一、选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1. －2的倒数是 （ ）
A － B. C. ±2 D. 2
2. 函数y＝中自变量x的取值范围为（　　）．
A. x＞2 B. x≥2 C. x＜2 D. x≤2
3. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
4. 下列地方银行的标志中，既没有是轴对称图形，也没有是对称图形的是 （ ）
A. B. C. D.
5. 若(2x+3y)(mx-ny)=9y2-4x2，则m、n的值为 （ ）
A. m=2，n=3 B. m=-2，n=-3 C. m=2，n=-3 D. m=-2，n=3
6. 小王在清点本班为偏远贫困地区的捐款时发现，全班同学捐款的钞票情况如下：100元的3 张，50元的9张，10元的23张，5元的10张．在这些没有同面额的钞票中，众数是（   ）
A. 10                            B. 23                       C. 50                 D. 100
7. 某商店今年1月份额是2万元，3月份的额是4.5万元，从1月份到3月份，该店额平均每月的增长率是（ ）
A. 20% B. 25% C. 50% D. 62.5%
8. 下列命题中错误的是（ ）
A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形
C. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线垂直相等的四边形是正方形
9. 如图，AB为直径，AB=4，C、D为圆上两个动点，N为CD中点，CM⊥AB于M，当C、D在圆上运动时保持∠CMN=30°，则CD长（　 ）

A. 随C、D的运动位置而变化，且值为4 B. 随C、D的运动位置而变化，且最小值为2
C. 随C、D的运动位置长度保持没有变，等于2 D. 随C、D的运动位置而变化，没有最值
10. 如图，等边△ABC中，D是边BC上的一点，且BD：DC=3：5，把△ABC折叠，使点A落在边BC上的点D处，若AM=5，那么AN的长度为（　　）

A. B. C. D.
二、填 空 题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．没有需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11. 计算的值是________．
12. 分解因式：＝_____________．
13. 去年无锡GDP(国民生产总值)总量实现约926 000 000 000元，该数据用科学记数法表示为_________元．
14. 在新年晚会的投飞镖游戏环节中，7名同学的投掷成绩(单位：环)分别是：7，9，9，6，9，8，8，则这组数据的方差是______________________ ．
15. 若点A(1，m)在反比例函数y＝的图象上，则m的值为________．
16. 若扇形的半径为3cm，扇形的面积为2πcm2，则该扇形的圆心角为_________°．
17. 如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，过OA的中点C作FD∥OB交⊙O于D、F两点，且CD＝，以O为圆心，OC为半径作，交OB于E点．则图中阴影部分的面积为______________．

18. 已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=3，BC=4．若P为线段AB上任意一点，延长PD到E，使DE=2PD，再以PE、PC为边作平行四边形PCQE，求对角线PQ的最小值为______________．

三、解 答 题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：（1）－ (－2)2＋(－0.1)0；（2）(x―2)2―(x＋3)(x―1)．
20 计算：（1）解没有等式组： （2）解方程：x2―6x+4＝0
21. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD．若四边形EBFD是菱形，求∠ABD的度数．

22. 在2017年“KFC”篮球赛进校园中，某校甲、乙两队进行决赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢满2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且乙队已经赢得了第1局比赛，那么甲队获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
23. 自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随时用共享单车．某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：中，同一个人次使用的车费按0.5元收取，每增加，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车．具体收费标准如下：

同时，就此收费随机了某高校100名师生在中使用A品牌共享单车的意愿，得到如下数据：

（1）写出a、b的值．
（2）已知该校有5100名师生，且A品牌共享单车投放该校的费用为5800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利？说明理由．
24. 利用无刻度的直尺和圆规作出符合要求的图形．(注：没有要求写作法，但保留作图痕迹)
（1）如图，已知线段AB，作一个△ABC，使得∠ACB＝90°；（只需画一个即可）
（2）如图，已知线段MN，作一个△MPN，使得∠MPN＝90°且sinM＝．（只需画一个即可）

（1） （2）
25. 在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，如图1，再在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，底面为矩形EFGH，如图2．设小正方形的边长为x厘米．
（1）当矩形纸板ABCD的一边长为90厘米时，求纸盒的侧面积的值；
（2）当EH：EF＝7：2，且侧面积与底面积之比为9：7时，求x的值．

26. 某超市要一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当单价是25元时，每天的量为250件，单价每上涨1元，每天的量就减少10件．
（1）求单价为多少元时，该文具每天的利润，并求出的利润；
（2）试营销后，超市按（1）中单价，为了回馈广大顾客，同时提高该文具度，超市决定在1月1日当天开展降价促销，若每件文具降价2a%，则可多售出4a%，结果当天额为5670元，要使销量尽可能地大，求a的值．
27. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+6mx＋n（m＞0）与 x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C，抛物线与y轴交于点D，直线BC交y轴于E，S△ABC:S△AEC = 2∶3．
（1）求点A的坐标；
（2）将△ACO绕点C顺时针旋转一定角度后，点A与B重合，此时点O恰好也在y轴上，求抛物线的解析式．



















2022-2023学年北京市通州区九年级下册数学期中专项提升模拟题（B卷）
一、选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1. －2的倒数是 （ ）
A. － B. C. ±2 D. 2
【正确答案】A

【分析】根据倒数的定义可得解.
【详解】解：-2的倒数是-.
故选A．
2. 函数y＝中自变量x的取值范围为（　　）．
A. x＞2 B. x≥2 C. x＜2 D. x≤2
【正确答案】B

【分析】根据二次根式有意义的条件被开方数大于等于0，列式计算即可得解．
【详解】解：由题意得，x−2≥0
解得：x≥2
故选：B．
本题考查自变量的取值范围．掌握二次根式有意义的条件被开方数大于等于0是解题关键．
3. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
【正确答案】A

【详解】分析：A、根据同底数幂的除法法则计算.
B、根据幂的乘方法则进行计算；
C、没有是同类项，没有能合并.
D、没有是同类项，没有能合并.
详解：A、，此选项正确.
B、此选项错误；
C、没有是同类项，没有能合并. 此选项错误．
D、没有是同类项，没有能合并. 此选项错误．
故选A
点睛：考查同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，熟记它们的运算法则是解题的关键.
4. 下列地方银行的标志中，既没有是轴对称图形，也没有是对称图形的是 （ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】试题解析：A．是轴对称图形，但没有是对称图形；
B．是轴对称图形，但没有是对称图形；
C．是对称图形，但没有是轴对称图形；
D．既没有是轴对称图形，也没有是对称图形．
故选D．
5. 若(2x+3y)(mx-ny)=9y2-4x2，则m、n的值为 （ ）
A. m=2，n=3 B. m=-2，n=-3 C. m=2，n=-3 D. m=-2，n=3
【正确答案】B

【分析】先把等式左边利用多项式乘多项式的法则展开并整理，根据对应项系数相等列出等式，求解即可．
【详解】解：将(2x+3y)(mx-ny)展开，得2mx2-2nxy+3mxy-3ny2，
根据题意可得2mx2-2nxy+3mxy-3ny2=9y2-4x2，
根据多项式相等，则对应项及其系数相等，可得2m=-4，-3n=9，
解得m=-2，n=-3
故选B．
本题是一道有关多项式乘法的题目，明确多项式的乘法法则是解题的关键．
6. 小王在清点本班为偏远贫困地区的捐款时发现，全班同学捐款的钞票情况如下：100元的3 张，50元的9张，10元的23张，5元的10张．在这些没有同面额的钞票中，众数是（   ）
A. 10                            B. 23                       C. 50                 D. 100
【正确答案】A

【分析】根据众数就是一组数据中，出现次数至多的数，即可得出答案．
【详解】∵100元的有3张，50元的有9张，10元的有23张，5元的有10张，其中10元的至多，
∴众数是10.
故选A．
本题考查众数的概念.，掌握一组数据中出现次数至多的数为众数是解题关键．
7. 某商店今年1月份的额是2万元，3月份的额是4.5万元，从1月份到3月份，该店额平均每月的增长率是（ ）
A. 20% B. 25% C. 50% D. 62.5%
【正确答案】C

【详解】设该店额平均每月的增长率为x，则二月份额为2（1+x）万元，三月份额为2（1+x）2万元，
由题意可得：2（1+x）2=4.5，
解得：x1=05=50%，x2=﹣2.5（没有合题意舍去），
答即该店额平均每月的增长率为50%；
故选C．
8. 下列命题中错误是（ ）
A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形
C. 一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. 对角线垂直相等的四边形是正方形
【正确答案】D

【分析】根据平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法依次判断各项后即可解答．
【详解】选项A，由两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得选项A正确；
选项B，由对角线相等的平行四边形是矩形可得选项B正确；
选项C，由一组邻边相等的平行四边形是菱形可得选项C正确；
选项D，由对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形可得选项D错误．
故选D．
本题考查了平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，熟知平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法是解决问题的关键．
9. 如图，AB为直径，AB=4，C、D为圆上两个动点，N为CD中点，CM⊥AB于M，当C、D在圆上运动时保持∠CMN=30°，则CD的长（　 ）

A. 随C、D的运动位置而变化，且值为4 B. 随C、D的运动位置而变化，且最小值为2
C. 随C、D的运动位置长度保持没有变，等于2 D. 随C、D的运动位置而变化，没有最值
【正确答案】C

【分析】连接OC、ON、OD，由垂径定理可知ON⊥CD，∠CON=∠DON，然后由∠ONC+∠CMO=180°，可证明O、N、C、M四点共圆，从而可得到∠NOC=∠NMC=30°，于是可证明△OCD为等边三角形，从而得到CD=2．
【详解】详解：连接：OC、ON、OD.

∵N是CD的中点，
∴ON⊥CD，∠CON=∠DON.
又∵CM⊥AB，
∴∠ONC+∠CMO=180°，
∴O、N、C. M四点共圆，
∴∠NOC=∠NMC=30°，
∴∠COD=60°，
又∵OC=OD，
∴△OCD为等边三角形.
∴CD=AB=×4=2.
故选C.
本题主要考查轨迹问题，发现O、N、C、M四点共圆，从而证得△OCD为等边三角形是解题的关键.
10. 如图，等边△ABC中，D是边BC上的一点，且BD：DC=3：5，把△ABC折叠，使点A落在边BC上的点D处，若AM=5，那么AN的长度为（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】D

【详解】分析：由BD：DC=3：5，可设BD=3a，则CD=5a，根据等边三角形的性质和折叠的性质可得：BM+MD+BD=5a，DN+NC+DC=11a，再通过证明△BMD∽△CDN即可求得AM：AN的值，即可求得AN的长.
详解：∵BD:DC=3:5，
∴设BD=3a，则CD=5a，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=8a,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
由折叠的性质可知：MN是线段AD的垂直平分线，
∴AM=DM，AN=DN，
∴BM+MD+BD=5a，DN+NC+DC=7a，
∵∠MDN=∠BAC=∠ABC=60°，
∴∠NDC+∠MDB=∠BMD+∠MBD=120°，
∴∠NDC=∠BMD，
∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴△BMD∽△CDN，
∴(BM+MD+BD):(DN+NC+CD)=AM:AN，
即AM:AN=11:13，
∵AM=5，
∴AN=.
故选D.
点睛：本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小没有变，位置变化，对应边和对应角相等.
二、填 空 题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．没有需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11. 计算的值是________．
【正确答案】6

【分析】直接利用二次根式的乘除法运算法则计算得出答案．
【详解】解：．
故6．
此题主要考查了二次根式的乘法运算，解题的关键是正确化简二次根式．
12. 分解因式：＝_____________．
【正确答案】(x+y)2(x-y)2

【详解】分析：首先利用平方差公式分解，然后利用完全平方公式分解即可．
详解：原式=()()= (x+y)2(x-y)2，
故答案为(x+y)2(x-y)2
点睛：此题考查了运用公式法分解因式，观察式子的特征，先利用平方差公式进行因式分解，再观察到每个括号内又都是完全平方的形式，分解即可.注意：在分解因式时，一定要分解彻底.
13. 去年无锡GDP(国民生产总值)总量实现约926 000 000 000元，该数据用科学记数法表示为_________元．
【正确答案】9.26×1011

【详解】分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值＞1时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数．
详解：916 000 000 000=9.16×1011.
故答案为9.16×1011.
点睛： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14. 在新年晚会的投飞镖游戏环节中，7名同学的投掷成绩(单位：环)分别是：7，9，9，6，9，8，8，则这组数据的方差是______________________ ．
【正确答案】

【详解】分析：先计算出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可.
详解：，
.
故答案为
点睛：此题考查了方差，用到的知识点是方差公式，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.
15. 若点A(1，m)在反比例函数y＝的图象上，则m的值为________．
【正确答案】3

【详解】试题解析：把A（1，m）代入y＝得：m=3.
所以m的值为3.
16. 若扇形的半径为3cm，扇形的面积为2πcm2，则该扇形的圆心角为_________°．
【正确答案】80

【详解】分析：直接利用扇形面积公式分别求出即可．
详解：得，解得：n=80
故答案为80.
点睛：本题主要考查了扇形的面积公式的有关计算，正确运用扇形面积公式求解是解题的关键.
17. 如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，过OA的中点C作FD∥OB交⊙O于D、F两点，且CD＝，以O为圆心，OC为半径作，交OB于E点．则图中阴影部分的面积为______________．

【正确答案】

【详解】分析：（1）首先证明OA⊥DF，由垂径定理求出CD=，由OD=2CO推出∠CDO=30°，设OC=x，则OD=2x，利用勾股定理求得OD的长，再根据S阴=S△CDO+S扇形OBD-S扇形OCE计算即可．
详解：连接OD，

∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∵CD∥OB，
∴∠OCD=90°，
∴OA⊥DF，
∴CD=DF=，
在Rt△OCD中，∵C是AO中点，
∴OA=OD=2CO，
设OC=x，
则x2+()2=(2x)2，
解得：x=1，
∴OA=OD=2，
∵OC=OD,∠OCD=90°,
∴∠CDO=30°，
∵FD∥OB，
∴∠DOB=∠ODC=30°，
∴S阴=S△CDO+S扇形OBD−S扇形OCE=×1×+−=.
点睛：本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是n0，圆的半径为R的扇形面积为S，则或，（其中l为扇形的弧长）
18. 已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=3，BC=4．若P为线段AB上任意一点，延长PD到E，使DE=2PD，再以PE、PC为边作平行四边形PCQE，求对角线PQ的最小值为______________．

【正确答案】7

【详解】试题分析：设PQ与DC相交于点G，PE∥CQ，PD=DE，可得，易证得Rt△ADP∽Rt△HCQ，继而求得BH的长，即可求得答案；
试题解析：如图，

设PQ与DC相交于点G，
∵PE∥CQ，PD=DE，
∴ ，
∴G是DC上一定点，
作QH⊥BC，交BC的延长线于H，
同理可证∠ADP=∠QCH，
∴Rt△ADP∽Rt△HCQ，
即 ，
∴CH=3，
∴BH=BC+CH=4+3=7，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为7．
考点：相似三角形的判定与性质.
三、解 答 题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：（1）－ (－2)2＋(－0.1)0；（2）(x―2)2―(x＋3)(x―1)．
【正确答案】(1) 0 (2)-6x+7

【详解】试题分析：（1）分别计算算术平方根、有理数的乘方和零次幂即可得解；
（2）分别运用完全平方和多项式乘以多项式把括号展开，再合并同类项即可得解.
试题解析：（1）原式＝3－4＋1
＝0．
（2）原式＝x－4x＋4－(x＋2x－3)
＝x－4x＋4－x－2x＋3
＝－6x＋7．
20. 计算：（1）解没有等式组： （2）解方程：x2―6x+4＝0
【正确答案】(1) 1
【详解】分析：（1）先根据没有等式的性质求出每个没有等式的解集，再根据找没有等式组解集的规律找出即可；
（2）求出b2-4ac的值，再代入公式求出即可．
详解：（1），
由①得：x>1，
由②得：x≤2，
∴1 （2）△=(−6)2−4×1×4=20>0，方程有两个没有相等的实数根，
=，
, .
点睛：本题考查了解一元没有等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小无解集”的原则是解答此题的关键.
21. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点，分别连接BE、DF、BD．若四边形EBFD是菱形，求∠ABD的度数．

【正确答案】90°

【详解】分析：（2）由菱形的性质可得：BE=DE，因为∠EBD+∠EDB+∠A+∠ABE=180°，所以∠ABD=∠ABE+∠EBD=×180°=90°，问题得解．
详解：∵四边形EBFD是菱形，
∴BE=DE．
∴∠EBD=∠EDB．
∵AE=DE，
∴BE=AE．
∴∠A=∠ABE．
∵∠EBD+∠EDB+∠A+∠ABE=180°，
∴∠ABD=∠ABE+∠EBD=×180°=90°．
点睛：本题考查了菱形的性质、等腰三角形的判定和性质以及平行四边形的性质，题目综合性较强，难度适中.
22. 在2017年“KFC”篮球赛进校园中，某校甲、乙两队进行决赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢满2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且乙队已经赢得了第1局比赛，那么甲队获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【正确答案】

【分析】根据甲队第1局胜画出第2局和第3局的树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【详解】根据题意画出树状图如下：

一共有4种情况，确保两局胜的有1种，所以，P= ．
23. 自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随时用的共享单车．某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下调整：中，同一个人次使用的车费按0.5元收取，每增加，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车．具体收费标准如下：

同时，就此收费随机了某高校100名师生在中使用A品牌共享单车的意愿，得到如下数据：

（1）写出a、b的值．
（2）已知该校有5100名师生，且A品牌共享单车投放该校的费用为5800元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利？说明理由．
【正确答案】（1）a=1.2, b=1.4;(2) 没有能获利.

【详解】分析：（1）根据收费调整情况列出算式计算即可求解；
（2）先根据平均数的计算公式求出抽取的100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费，再根据用样本估计总体求出5100名师生使用共享单车的费用，再与5800比较大小即可求解．
详解：（1）a=0.9+0.3=1.2，b=1.2+0.2=1.4；
（2）根据用车意愿结果，抽取的100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费为：×（0×5+0.5×15+0.9×10+1.2×30+1.4×25+1.5×15）=1.1（元），
所以估计5000名师生使用共享单车的费用为：5100×1.1=5610（元），
因为5610＜5800，
故收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车没有能获利．
点睛：本题考查了样本平均数，用样本估计总体等知识点，（2）中求得抽取的100名师生每人每天使用A品牌共享单车的平均车费是解题的关键.
24. 利用无刻度的直尺和圆规作出符合要求的图形．(注：没有要求写作法，但保留作图痕迹)
（1）如图，已知线段AB，作一个△ABC，使得∠ACB＝90°；（只需画一个即可）
（2）如图，已知线段MN，作一个△MPN，使得∠MPN＝90°且sinM＝．（只需画一个即可）

（1） （2）
【正确答案】(1)作图见解析（2）作图见解析.

【详解】分析：（1）作线段AB的垂直平分线MN，交AB于点O，以O为圆心OA为半径作⊙O，在⊙O上任意取一点C，连接AC、BC即可；
（2）作等边三角形△PMN，以MN为直径作⊙O，过点N作NF⊥MN，作∠PMN的平分线交NF于H，作∠MHN的平分线HB交MN于B，则BM=HM=2BN，以N为圆心为半径作弧交⊙O于P，连接MP、PN，△PMN即为所求.
详解：解：（1）如图△ABC即为所求；

（2）△PMN即为所求；

点睛：本题考查作图﹣应用与设计，圆的有关知识，等边三角形的性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25. 在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，如图1，再在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，底面为矩形EFGH，如图2．设小正方形的边长为x厘米．
（1）当矩形纸板ABCD的一边长为90厘米时，求纸盒的侧面积的值；
（2）当EH：EF＝7：2，且侧面积与底面积之比为9：7时，求x的值．

【正确答案】（1）；（2）10.

【详解】试题分析：（1）当a=90时，b=40，求出侧面积，利用配方法求纸盒侧面积的值；
（2）根据题意列方程求解即可.
试题解析：
（1）S侧＝2[x(90－2x)＋x(40－2x)] ＝－8x2＋260x
＝－8(x－)2＋ ．
∵－8＜0，∴当x＝时，S侧＝．
（2）设EF＝2m，则EH＝7m，
则侧面积为2(7mx＋2mx)＝18mx，底面积为7m·2m＝14m，
由题意，得18mx：14m＝9：7，∴m＝x．
则AD＝7x＋2x＝9x，AB＝2x＋2x＝4x
由4x·9x＝3600，且x＞0，
∴x＝10．
26. 某超市要一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当单价是25元时，每天的量为250件，单价每上涨1元，每天的量就减少10件．
（1）求单价为多少元时，该文具每天的利润，并求出的利润；
（2）试营销后，超市按（1）中单价，为了回馈广大顾客，同时提高该文具度，超市决定在1月1日当天开展降价促销，若每件文具降价2a%，则可多售出4a%，结果当天额为5670元，要使销量尽可能地大，求a的值．
【正确答案】（1）2250元；（2）20.

【详解】试题分析：（1）根据利润=（单价﹣进价）×量，列出函数关系式即可，运用配方法求值；
（2）首先确定原来的量，然后根据量×售价=额列出方程求解即可．
试题解析：解：（1）设单价为x元，利润为W元．由题意得：量=250﹣10（x﹣25）=﹣10x+500，则w=（x﹣20）（﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10（x﹣35）2+2250．
∵﹣10＜0，∴函数图象开口向下，w有值，当x=35时，wmax=2250．
答：当单价为35元时，该文具每天的利润，利润为：2250元．
（2）原来量500﹣10x=500﹣350=150，35（1﹣2a%）150（1+4a%）=5670
设a%=t，整理得：4t2﹣t+0.04=0，解得：t1=0.2=，t2=0.05=．∵要使销量尽可能的大，∴a=20．
点睛：本题考查了二次函数应用和一元二次方程的应用，利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，其中要注意应该在自变量的取值范围内求值（或最小值）．
27. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2+6mx＋n（m＞0）与 x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），顶点为C，抛物线与y轴交于点D，直线BC交y轴于E，S△ABC:S△AEC = 2∶3．
（1）求点A的坐标；
（2）将△ACO绕点C顺时针旋转一定角度后，点A与B重合，此时点O恰好也在y轴上，求抛物线的解析式．

【正确答案】（1）A（-5，0）；（2）.

【详解】试题分析：由x=的抛物线的对称轴，分两种情况对S△ABC：S△AEC进行讨论；
（2）由（1）知符合要求的点A有两种情况，分别代入即可求得抛物线的解析式.
试题解析：（1）抛物线y＝mx2+6mx＋n（m＞0），得到对称轴x=－3，
①当S△ABC：S△AEC=2∶3时，BC：CE=2：3，
∴CB：BE=2：1
∵OF=3，∴OB=1，即B（－1，0）
∴A(－5，0)，B(－1，0)，
②当S△ABC：S△AEC=3∶2时，BC：CE=3：2，
∴CD：BD=2：1
∴A(－，0)，B(，0)；
（2）①当A(－5，0)，B(－1，0)时，
把B(－1，0)代人y＝mx2+6mx＋n得，n=5m，
m＝，n=，
∴y＝x+x+；
②当A(－，0)，B(，0)时，
把B(，0)代人y＝mx2+6mx＋n得，n=m，
m＝，n= ，
∴y＝x+x．