无锡市宜兴外国语学校2021-2022学年七年级3月月考数学试题（含解析）

这是一份无锡市宜兴外国语学校2021-2022学年七年级3月月考数学试题（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
无锡市宜兴外国语学校2021-2022学年七年级3月月考数学试题
一、选择题（每小题3分，共30分．把正确的答案前的字母填入下表相应的括号）
1. 同桌读了：“子非鱼焉知鱼之乐乎？”后，兴高采烈地利用电脑画出了几幅鱼的图案，请问：由左图中所示的图案平移后得到的图案是（　　）

A B. C. D.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是( )
A. 5cm、7cm、2cm B. 7cm、13cm、10cm
C 5cm、7cm、11cm D. 5cm、10cm、13cm
4. 已知a＝96，b＝314，c＝275，则a、b、c的大小关系是( )
A. a＞b＞c B. a＞c＞b C. c＞b＞a D. b＞c＞a
5. 下列说法正确的是( )
A. 三角形的三条高至少有一条在三角形内
B. 直角三角形只有一条高
C. 三角形的角平分线其实就是角的平分线
D. 三角形角平分线、中线、高都在三角形的内部
6. 如图，下列条件中能判定直线a//b的是（ ）

A. ∠2=∠3 B. ∠1=∠3 C. ∠4+∠5=180° D. ∠2=∠4
7. 多边形剪去一个角后，多边形的外角和将（ ）
A. 减少180º B. 不变 C. 增大180º D. 以上都有可能
8. 如图，把一块含45°角的三角板的直角顶点靠在长尺（两边a∥b）的一边b上，若∠1=30°，则三角板的斜边与长尺的另一边a的夹角∠2的度数为（　 　）

A. 10° B. 15° C. 30° D. 35°
9. 如图，△ABC的角平分线 CD、BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ADC=∠GCD；④∠DFB=∠CGE．其中正确的结论是（ ）

A. 只有①③ B. 只有②④
C. 只有①③④ D. ①②③④
10. 设△ABC的面积为a，如图①将边BC、AC分别2等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……， 依此类推，若S5=则a的值为（ ）

A. 1 B. 2 C. 6 D. 3
二、填空题（每空3分，共30分．把答案填在下面的横线上）
11. 最薄的金箔的厚度为，用科学记数法表示为________．
12. 计算的值为________．
13. 一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为______．
14. 已知一个多边形的内角和是720度，则这个多边形是________边形．
15. 如图，直线AB//CD，，∠E为直角，则∠1度数为______．

16. 如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是___________.

17. 如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝40°，

（1）当∠A＝________时，△AOP为直角三角形；
（2）当∠A满足_________________________时，△AOP为钝角三角形．
18. 已知△ABC中，∠A=x°，如图1，若∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点，则用x表示______°，如图2，若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点，则用x表示______°

三、解答题（本题共90分）
19. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
20. 先化简再求值- （-2）·（-） + （-），其中= -，=2．
21. （1）已知，求的值．
（2）已知，求x的值．
22. 如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题(保留画图痕迹)：
(1)画出△A′B′C′；
(2)画出△ABC的高BD；
(3)连接AA′、CC′，那么AA′与CC′的关系是 ，线段AC扫过的图形的面积为 ．

23. 生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，下面两幅图都是由同一副三角板拼合得到的：

（1）如图1，请你计算出的∠ABC的度数．
（2）如图2，若，请你计算出∠AFD的度数．
24. 规定两数a，b之间的一种运算，记作(a，b)：如果ac＝b，那么(a，b)＝c.例如：∵23＝8，∴(2，8)＝3.
(1)根据上述规定，填空：(3，27)＝________，(5，1)＝________，＝________；
(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：(3n，4n)＝(3，4)，小明给出了如下的理由：
设(3n，4n)＝x，则(3n)x＝4n，即(3x)n＝4n，
∴3x＝4，即(3，4)＝x，
∴(3n，4n)＝(3，4)．
请你尝试运用这种方法判断(3，4)＋(3，5)＝(3，20)是否成立，若成立，请说明理由．
25. 如图，直线EF分别与直线AB、CD交于点M、N，MG平分EMB，NH平分END，且MG//NH，求证：AB//CD.

26. 在△ABC中，AE⊥BC于点E，∠BAE：∠CAE＝4：6，BD平分∠ABC，点F在BC上，∠CDF＝60°，∠ABD＝25°．

（1）求∠CAE的度数；
（2）求证：DF⊥BC．
27. 如图1，直线，垂足为O，三角板的直角顶点C落在的内部，三角板的另两条直角边分别与交于点D和点B．

【探究一】小明说：由四边形内角和知识很容易得到的值．
如果你是小明，得到的正确答案应是：___________．
【探究二】小亮说：连接（如图2），若平分，那么也平分．请你说明当平分时，也平分的理由．
【探究三】小红说：若平分平分，我发现与具有特殊的位置关系．请你先在备用图中补全图形，再判断与有怎样的位置关系并说明理由．
28. 已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，D射线CB上一点（不与C、B重合），点E为射线CA上一点，∠ADE=∠AED．设∠BAD=α，∠CDE=β．
（1）如图（1），
①若∠BAC=40°，∠DAE=30°，则α=　 　，β=　 　．
②写出α与β的数量关系，并说明理由；
（2）如图（2），当D点在BC边上，E点在CA的延长线上时，其它条件不变，写出α与β的数量关系，并说明理由．
（3）如图（3），D在CB的延长线上，根据已知补全图形，并直接写出α与β的关系式．

答案与解析
一、选择题（每小题3分，共30分．把正确的答案前的字母填入下表相应的括号）
1. 同桌读了：“子非鱼焉知鱼之乐乎？”后，兴高采烈地利用电脑画出了几幅鱼的图案，请问：由左图中所示的图案平移后得到的图案是（　　）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移的性质：“平移不改变图形的形状和大小”来判断即可.
【详解】解：根据 “平移不改变图形的形状和大小”知：左图中所示的图案平移后得到的图案是B项，
故选B.
【点睛】本题考查了平移的性质，平移的性质是“经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；平移不改变图形的形状、大小和方向”.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据积的乘方，幂的乘方，合并同类项，同底数幂乘法的计算法则求解判断即可．
【详解】解：A、计算错误，不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，计算错误，不符合题意；
C、计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了积的乘方，幂的乘方，合并同类项，同底数幂乘法，熟知同底数幂乘法底数不变指数相加，积的乘方和幂的乘方底数不变底数相乘是解题的关键．
3. 下列长度三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是( )
A. 5cm、7cm、2cm B. 7cm、13cm、10cm
C. 5cm、7cm、11cm D. 5cm、10cm、13cm
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.A选项中5+2=7，则不能构成三角形.
考点：三角形的三边关系
4. 已知a＝96，b＝314，c＝275，则a、b、c的大小关系是( )
A. a＞b＞c B. a＞c＞b C. c＞b＞a D. b＞c＞a
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂的乘方可得：a＝=312，c＝=315，易得答案．
【详解】因为a＝=312，b＝，c＝=315，
所以c>b>a
故选C
5. 下列说法正确的是( )
A. 三角形的三条高至少有一条在三角形内
B 直角三角形只有一条高
C. 三角形的角平分线其实就是角的平分线
D. 三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形的中线，角平分线和高线的定义以及在三角形的位置对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、三角形的三条高至少有一条在三角形内，正确；
B、直角三角形只有三条高，而题目中是只有一条高，错误；
C、三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，错误；
D、锐角三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部，但钝角三角形的高有的在外部，错误；
故选A．
【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，是基础题，熟记概念以及在三角形中的位置是解题的关键．
6. 如图，下列条件中能判定直线a//b的是（ ）

A. ∠2=∠3 B. ∠1=∠3 C. ∠4+∠5=180° D. ∠2=∠4
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的判定方法，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、∠3=∠2，不符合判定方法的任何一种位置关系的角，所以不能判定a∥b，故本选项错误；
B、∠1=∠3，符合内错角相等，两直线平行，所以能判定a∥b，故本选项正确；
C、∠4与∠5是同位角，如果相等，则a∥b，故本选项错误；
D、∠2与∠4是同旁内角，如果互补，则a∥b，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行，解题时要认准各角的位置关系．
7. 多边形剪去一个角后，多边形的外角和将（ ）
A. 减少180º B. 不变 C. 增大180º D. 以上都有可能
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】解：任何多边形的外角都等于360°，故不变．
故选：B．
考点：多边形的外角和．
8. 如图，把一块含45°角的三角板的直角顶点靠在长尺（两边a∥b）的一边b上，若∠1=30°，则三角板的斜边与长尺的另一边a的夹角∠2的度数为（　 　）

A. 10° B. 15° C. 30° D. 35°
【答案】B
【解析】
【详解】∠1与它的同位角相等，它的同位角+∠2=45°
所以∠2=45°-30°=15°，
故选B
9. 如图，△ABC的角平分线 CD、BE相交于F，∠A=90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG=2∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ADC=∠GCD；④∠DFB=∠CGE．其中正确的结论是（ ）

A. 只有①③ B. 只有②④
C. 只有①③④ D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线、角平分线、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．
【详解】解：①∵EG//BC，
∴∠CEG＝∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCB，故本选项正确；
②无法证明CA平分∠BCG，故本选项错误；
③∵∠A＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD＝90°．
∵EG∥BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB＝90°，即∠GCD+∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝∠GCD，故本选项正确；
④∵∠EBC+∠ACB＝∠AEB，∠DCB+∠ABC＝∠ADC，
∴∠AEB+∠ADC＝90°+（∠ABC+∠ACB）＝135°，
∴∠DFE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，
∴∠DFB＝45°＝∠CGE，故本选项正确．
故正确的是①③④
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．
10. 设△ABC的面积为a，如图①将边BC、AC分别2等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……， 依此类推，若S5=则a的值为（ ）

A. 1 B. 2 C. 6 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角形的面积公式，求出前三个图形的面积，再得出规律，根据规律列出方程便可求得．
【详解】解：在图①中，连接，

，，
，，，
，，
，
，
设，则
，
解得；
在图②中，连接、、，

则，，
设，则
，
解得；
在图③中，连、、、、，

则，，
设，则
，
解得，
．
由可知，，
，
，
解得．
故选：D
【点睛】此题考查了三角形的面积公式，关键通过列方程组求得各个图形的面积，从中找出规律．
二、填空题（每空3分，共30分．把答案填在下面的横线上）
11. 最薄的金箔的厚度为，用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.000000091m用科学记数法表示为.
故答案为.
【点睛】考查科学记数法，掌握绝对值小于1的数的表示方法是解题的关键.
12. 计算值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据幂的乘方运算性质计算，即可得到答案．
【详解】
故答案为：．
【点睛】本题考查了幂的乘方的知识；解题的关键是熟练掌握幂的乘方的性质，从而完成求解．
13. 一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为______．
【答案】17
【解析】
【分析】题中没有指明哪个是底哪个腰，故应该分两种情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．
【详解】解：当7为腰时，周长=7+7+3=17cm；
当3为腰时，因为3+3＜7，所以不能构成三角形；
故三角形的周长是17cm．
故答案为：17．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，在解题时要进行分类讨论．
14. 已知一个多边形内角和是720度，则这个多边形是________边形．
【答案】六
【解析】
【分析】根据多边形内角和公式进行解答即可．
【详解】解：设多边形为n边形，
则(n-2)·180=720，
解得n=6
故答案为：六．
【点睛】本题考查多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式(n-2)·180°是解题关键．
15. 如图，直线AB//CD，，∠E为直角，则∠1的度数为______．

【答案】134°
【解析】
【分析】过点E作EF∥AB，则有EF∥AB∥CD，然后可得，然后问题可求解．
【详解】解：过点E作EF∥AB，如图所示：
∵AB//CD，
∴EF∥AB∥CD，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为134°．

【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定、领补角及垂直的定义，熟练掌握平行线的性质与判定、领补角及垂直的定义是解题的关键．
16. 如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是___________.

【答案】40°##40度
【解析】
【分析】根据DE//AB可求得∠ADE=∠BAD，根据三角形内角和为180°和角平分线平分角的性质可求得∠BAD的值，即可解题．
【详解】解：∵DE//AB，∴∠ADE=∠BAD，
∵∠B=46°，∠C=54°，
∴∠BAD=180°﹣46°﹣54°=80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=40°，
∴∠ADE=40°
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，以及平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解答本题的关键．
17. 如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝40°，

（1）当∠A＝________时，△AOP为直角三角形；
（2）当∠A满足_________________________时，△AOP为钝角三角形．
【答案】 ①. 90°或50° ②. 或
【解析】
【分析】（1）分∠A=90°和∠APO=90°，两种情况讨论求解即可；
（2）分∠A是钝角和∠APO是钝角，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）当∠A=90°时，满足△AOP是直角三角形；
当∠APO=90°时，满足△AOP是直角三角形，
∴∠A=180°-∠APO-∠AOP=50°，
故答案为：90°或50°；
（2）当∠A是钝角时，满足△AOP是钝角三角形，
∴，
当∠APO是钝角时，满足△AOP是钝角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述，当∠A满足或时，△AOP是钝角三角形，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解一元一次不等式组，根据三角形的内角和定理和题目的要求得到某一个角需要满足的条件即为本题的答案．
18. 已知△ABC中，∠A=x°，如图1，若∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点，则用x表示______°，如图2，若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点，则用x表示______°

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据角的n等分线的定义和三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图1所示，在△ABC中∠A=x°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-x°，
∵∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点，
∴，
∴，
∴；
如图2所示，同理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-x°，
∵∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角n等分线的定义，熟知相关知识是解题的关键．
三、解答题（本题共90分）
19. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）；
（2）-7 （3）
（4）
【解析】
【分析】（1）根据同底数幂乘除法计算法则求解即可；
（2）根据零指数幂，负整数指数幂和有理数的乘方计算法则求解即可；
（3）先计算积的乘方，然后计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可；
（4）根据积的乘方的逆运算和同底数幂乘法的逆运算计算法则求解即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
；
【小问3详解】
解：原式

；
【小问4详解】
解：原式




．
【点睛】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算，积的乘方，合并同类项，单项式乘以单项式等等，熟知相关计算法则是解题的关键，需要注意的是零指数幂的结果为1，负数的负偶次方为正数．
20. 先化简再求值- （-2）·（-） + （-），其中= -，=2．
【答案】，
【解析】
【分析】根据积的乘方，幂的乘方运算化简，然后代入字母的值化简即可求解．
【详解】解：原式＝
；
当时，
原式


．
【点睛】本题考查了幂乘方，积的乘方运算，代数式求值，掌握幂的运算是解题的关键．
21. （1）已知，求的值．
（2）已知，求x的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据幂的乘方和同底数幂除法的计算法则求解即可；
（2）根据积的乘方的逆运算法则得到则，据此求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂除法的逆运算，积的乘方的逆运算，解一元一次方程，熟知相关计算法则是解题的关键．
22. 如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题(保留画图痕迹)：
(1)画出△A′B′C′；
(2)画出△ABC的高BD；
(3)连接AA′、CC′，那么AA′与CC′的关系是 ，线段AC扫过的图形的面积为 ．

【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）平行且相等，10
【解析】
【分析】（1）根据平移的定义和性质作出点A、C平移后的对应点，顺次连接即可得；
（2）根据三角形高的定义作图即可得；
（3）根据平移变换的性质可得：再利用割补法求出平行四边形的面积．
【详解】（1）如图所示，△A'B'C'即为所求；

（2）如图所示，BD即为所求；
（3）如图所示，AA'与CC'的关系是平行且相等，线段AC扫过的图形的面积为10×2﹣24×1﹣26×1=10．
故答案为平行且相等，10．
【点睛】本题考查了平移变换以及平行四边形面积求法等知识，根据题意正确把握平移的性质是解题的关键．
23. 生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，下面两幅图都是由同一副三角板拼合得到的：

（1）如图1，请你计算出的∠ABC的度数．
（2）如图2，若，请你计算出∠AFD的度数．
【答案】（1）∠ABC＝75°
（2）∠AFD＝75°
【解析】
【分析】（1）由∠F＝30°，∠EAC＝45°，即可求得∠ABF的度数，又由∠FBC＝90°，易得∠ABC的度数；
（2）首先根据三角形内角和为180°，求得∠C的度数，又由AEBC，即可求得∠CAE的值，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得∠AFD的度数．
【小问1详解】
∵∠F＝30°，∠EAC＝45°，
∴∠ABF＝∠EAC－∠F＝45°－30°＝15°，
∵∠FBC＝90°，
∴∠ABC＝∠FBC－∠ABF＝90°－15°＝75°；
【小问2详解】
∵∠B＝60°，∠BAC＝90°，
∴∠C＝180°―∠B―∠BAC＝30°，
∵AEBC，
∴∠CAE＝∠C＝30°，
∴∠AFD＝∠CAE+∠E＝30°+45°＝75°
【点睛】此题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质以及平行线的性质等知识．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．
24. 规定两数a，b之间的一种运算，记作(a，b)：如果ac＝b，那么(a，b)＝c.例如：∵23＝8，∴(2，8)＝3.
(1)根据上述规定，填空：(3，27)＝________，(5，1)＝________，＝________；
(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：(3n，4n)＝(3，4)，小明给出了如下的理由：
设(3n，4n)＝x，则(3n)x＝4n，即(3x)n＝4n，
∴3x＝4，即(3，4)＝x，
∴(3n，4n)＝(3，4)．
请你尝试运用这种方法判断(3，4)＋(3，5)＝(3，20)是否成立，若成立，请说明理由．
【答案】（1）3，0，－2；（2）成立，理由详见解析.
【解析】
【分析】（1）分别计算左边与右边式子，即可做出判断；
（2）设根据同底数幂的乘法法则即可求解．
【详解】解：(1)∵
∴(3,27)=3；
∵
∴(5,1)=0；
∵
∴
故答案为3，0，−2.
(2) 成立．
理由如下：
设(3,4)=x,(3,5)=y，
则
∴
∴(3,20)=x+y，
∴(3,4)+(3,5)=(3,20).
【点睛】考查了乘方的运算以及同底数幂的乘法运算，解题的关键是理解题目中定义的运算法则.
25. 如图，直线EF分别与直线AB、CD交于点M、N，MG平分EMB，NH平分END，且MG//NH，求证：AB//CD.

【答案】见解析.
【解析】
【分析】由MG//NH可得∠EMG=∠ENH，再根据角平分线的定义继而可求得∠EMB=∠END，继而可得AB//CD.
【详解】MG∥NH，
∴∠EMG=∠ENH，
∵MG平分∠EMB，NH平分∠END，
∴∠EMB=2∠EMG，∠END=2∠ENH，
∴∠EMB=∠END，
∴AB∥CD．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用.
26. 在△ABC中，AE⊥BC于点E，∠BAE：∠CAE＝4：6，BD平分∠ABC，点F在BC上，∠CDF＝60°，∠ABD＝25°．

（1）求∠CAE的度数；
（2）求证：DF⊥BC．
【答案】（1）∠CAE＝60°；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABC=2∠ABD=50°，然后根据垂直的定义可得∠AEB=∠AEC=90°，然后根据三角形的内角和定理即可求出∠BAE，然后根据已知比例式即可求出结论；

（2）根据三角形的内角和定理即可求出∠C，然后根据三角形外角的性质即可求出∠DFB=90°，最后根据垂直的定义即可证出结论．
【详解】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠ABD＝25°
∴∠ABC=2∠ABD=50°，
∵AE⊥BC
∴∠AEB=∠AEC=90°
∴∠BAE=180°－∠AEB－∠ABC=40°
∵∠BAE：∠CAE＝4：6，
解得：∠CAE＝60°
（2）在△CAE中，∠CAE＝60°，∠AEC=90°
∴∠C=180°－∠CAE－∠AEC=30°
∵∠CDF＝60°
∴∠DFB=∠CDF＋∠C=90°
∴DF⊥BC．
【点睛】此题考查的是角的和与差、垂直的定义、三角形的内角和定理和三角形外角的性质，掌握各角的关系、垂直的定义、三角形的内角和定理和三角形外角的性质是解决此题的关键．
27. 如图1，直线，垂足为O，三角板的直角顶点C落在的内部，三角板的另两条直角边分别与交于点D和点B．

【探究一】小明说：由四边形内角和知识很容易得到的值．
如果你是小明，得到的正确答案应是：___________．
【探究二】小亮说：连接（如图2），若平分，那么也平分．请你说明当平分时，也平分的理由．
【探究三】小红说：若平分平分，我发现与具有特殊的位置关系．请你先在备用图中补全图形，再判断与有怎样的位置关系并说明理由．
【答案】【探究一答案】180
【探究二答案】证明见解析
【探究三答案】见解析，
【解析】
【分析】（1）根据四边形的性质，可得答案；
（2）根据三角形内角和定理和角平分线的定义即可求解；
（3）根据补角的性质，可得,根据相似三角形的判定与性质，可得答案．
【详解】【探究一详解】由四边形内角和，得：
，
故答案为：180．
【探究二详解】∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴平分．
【探究三详解】如图，延长DE交BF于G，

∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，利用相似三角形的判定与性质是解题关键．
28. 已知△ABC中，∠ABC=∠ACB，D为射线CB上一点（不与C、B重合），点E为射线CA上一点，∠ADE=∠AED．设∠BAD=α，∠CDE=β．
（1）如图（1），
①若∠BAC=40°，∠DAE=30°，则α=　 　，β=　 　．
②写出α与β的数量关系，并说明理由；
（2）如图（2），当D点在BC边上，E点在CA的延长线上时，其它条件不变，写出α与β的数量关系，并说明理由．
（3）如图（3），D在CB的延长线上，根据已知补全图形，并直接写出α与β的关系式．

【答案】(1)10°，5°‚α=2β(2)2β-α=180° (3)2β+α=180°
【解析】
【分析】（1）①根据等腰三角形的性质，利用三角形内角和定理与三角形外角的性质，利用等量代换即可求解；②同样根据等腰三角形的性质，利用三角形内角和定理与三角形外角的性质，利用等量代换即可求解；（2）设∠BAC=x°，∠DAE=y°，则∠CAD=180°-y°，根据三角形内角和定理与三角形外角的性质得到α=x°-（180°-y°）=x°-180°-y°，由三角形的内角和得到∠C=，∠AED=，通过整理化简即可得到结论；（3）根据题意作出图形，解法和（2）一致.
【详解】（1）①α=∠BAC-∠DAE=40°-30°=10°，
∠AED=（180°-30°）÷2=75°，
∠C=（180°-40°）÷2=70°，
β=∠AED-∠C=5°
②α=2β
设∠BAC=x°，∠DAE=y°，则α=x°-y°，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠C=，
∵∠ADE=∠AED，
∴∠AED=
∴β=-=
∴α=2β
（2）2β-α=180°
设∠BAC=x°，∠DAE=y°，
则∠CAD=180°-y°
∴α=x°-（180°-y°）= x°-180°+y°
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠C=，
∵∠ADE=∠AED，
∴∠AED=
∴β=180°--=
∴2β-α=180°
（3）2β+α=180°
如图3，设∠BAC=x°，∠DAE=y°，
则∠CAD=180°-y°
∴α=180°-x°-y°
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠C=，
∵∠ADE=∠AED，
∴∠AED=
∴β=180°--=
∴2β+α=180°

【点睛】
此题主要考查三角形的角度关系，解题的关键是熟知三角形的内角和与外角定理.