北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.1 导数的概念巩固练习

【精品】2.1 导数的概念-1优选练习

一．填空题

1．已知函数且，则曲线在点处的切线方程为________.

2．已知质点运动方程为（的单位：m，的单位：s），则该质点在s时刻的瞬时为______m/s.

3．函数在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为______________.

4．设函数，若无最大值，则实数的取值范围为______.

5．若曲线在点处的切线与直线垂直，则________．

6．曲线在点处的切线方程为_________.

7．已知函数，若函数的图象在点处的切线方程为，则________．

8．直线与曲线相切于点，则b的值为__________.

9．设点为函数与的图像的公共点，以为切点可作直线与两曲线都相切，则实数的最大值为_______.

10．已知函数，则函数在处的切线方程为______.

11．函数的图象在处的切线方程为__________.

12．设直线是曲线的一条切线，则实数的值是______．

13．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是______.

14．已知函数的图像在点处的切线方程是，则＝______．

15．设曲线在处的切线方程为，则实数的值为________.

16．曲线在点处的切线方程为____________．

17．已知为直线上的动点，为函数图象上的动点，则的最小值为______．

18．已知幂函数的图象经过点，则曲线在点处的切线方程为________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：先根据条件求值，再求导利用导数几何意义得到切线斜率，求切点，根据点斜式写方程即可.

详解：因为，所以.

因为当时，，所以.

又，所以所求切线方程为，

即，即.

故答案为：

【点睛】

本题考查了导数的几何意义与分段函数求值，考查运算求解能力，属于基础题.

2．【答案】2

【解析】分析：根据题意可知，位移对时间t的导数为质点的即时速度，从而可得出t=2s时的瞬时速度.

详解：根据题意，，

时刻的瞬时速度为，

故答案为：2

【点睛】

本题考查了导数的物理意义，基本初等函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．

3．【答案】

【解析】分析：利用导数求出切线的斜率得切线方程，再求得切线在坐标轴上的截距后可得面积．

详解：由

，在点处的切线的斜率为

∴切线方程为，即，在轴上的截距为，轴上的截距为，

切线与两坐标轴围成的三角形面积为.

故答案为：．

【点睛】

本题考查导数的几何意义，解题关键是正确求出导数．

4．【答案】

【解析】分析：画出函数和的图象，利用导数分析函数的图象的特征和关系，得到的图象，利用数形结合思想考察图象，得到无最大值的条件，解得的取值范围.

详解：解：画出函数和的图象，,, 函数和的图象在处相切，由三次函数和一次函数的性质可知，在时,当时，,

令=0，得,

当时，取得极大值为,

结合图象观察可知，当且仅当时函数f(x)没有最大值，

解得，

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导函数研究函数的图象和图象间的关系，涉及分段函数，三次函数的性质，关键是数形结合思想的运用，属中高档题.

5．【答案】

【解析】分析：求得函数的导数，得出在点处的切线得斜率，根据切线与直线垂直，列出方程，即可求解.

详解：由题意，函数，则，

所以点处的切线得斜率，

由题可知直线的斜率，

又因为切线与直线垂直，所以，解得.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义及其应用，其中解答中熟记导数的意义，结合斜率的关系列出方程是解答的关键，着重考查运算与求解能力，属于简单题.

6．【答案】

【解析】 ，切线方程为 即

点睛：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.

7．【答案】

【解析】分析：由已知条件得出，结合题意得出，由此可解得的值.

详解：，，

因为函数的图象在点处的切线方程为，

则，解得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用切线方程求导数值，考查导数几何意义的应用，属于基础题.

8．【答案】

【解析】分析：由题意可得曲线过点可得，利用导数的几何意义可得曲线在点处的切线斜率，再求切线方程即可得解.

详解：解：因为曲线过点，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以曲线在点处的切线斜率.

因此，曲线在点处的切线方程为，

即，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了曲线在某点处切线方程的求法，重点考查了运算能力，属基础题.

9．【答案】

【解析】分析：设出点P的坐标，利用P为两函数曲线的切点，过点P的切线相同，列出方程组求得切点P,从而求出的解析式，再利用函数的性质求实数b的最大值.

详解：设点，由于点P为两函数曲线的切点,

则

因为，

又点P的切线相同，则

即，

化简得，

又，

所以，

于是，其中，

设，

令=0，

得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以实数b的最大值为，

故答案为：

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的切线方程以及构造函数法，运用导数求得单调性．函数的最值，考查方程思想和运算能力,属于中档题.

10．【答案】

【解析】分析：首先求导，得到斜率，根据得到切点坐标，再利用点斜式即可写出切线方程.

详解：因为，，

则，

又因为，所以切点为

故切线方程为，即.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义中的切线问题，属于简单题.

11．【答案】

【解析】分析：由函数的解析式，求得，根据导数求得，结合直线的点斜式，即可求解.

详解：由题意，函数，可得，

又由，可得，即切线的斜率为，

根据直线的点斜式方程，可得，

即所求切线方程为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了曲线在某点处的切线方程的求解，其中解答中熟记导数的几何意义是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.

12．【答案】1

【解析】分析：求出切点，将切点代入切线方程即可求解.

详解：直线是曲线的一条切线，

设切点为

由，则，

解得，所以，

切点满足切线方程可得，解得.

故答案为：1

【点睛】

本题考查了导数的几何意义．由切线方程求参数值，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.

13．【答案】

【解析】分析：首先根据极限的运算法则，对所给的极限进行整理，写成符合导数的定义的形式，写出导数的值，即可得到函数在这一个点处的切线的斜率

详解：解：因为，

所以，所以，

所以，

所以曲线在点处的切线的斜率为，

故答案为：

【点睛】

此题考查导数的定义，切线的斜率，以及极限的运算，属于基础题

14．【答案】3

【解析】分析：根据导数的几何意义，可得的值，根据点M在切线上，可求得的值，即可得答案.

详解：由导数的几何意义可得，，

又在切线上，

所以，则=3，

故答案为：3

【点睛】

本题考查导数的几何意义的应用，考查分析理解的能力，属基础题.

15．【答案】2

【解析】分析：求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，则答案可求．

详解：解：由，得，

．

又曲线在处的切线方程为，

．

故答案为：2.

【点睛】

本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查基本初等函数的导函数，属于基础题．

16．【答案】.

【解析】分析：求出，利用点斜式即可写出直线．

详解：，，，

∴切线的方程，，即，

故答案为．

【点睛】

本题考查函数的切线方程，属于基础题．

17．【答案】

【解析】分析：先求与直线平行且与相切的切线切点，再根据点到直线距离公式求结果.

详解：由题意，的最小值为与直线平行且与相切的切线切点到直线的距离，设切点为

因为单调递增，

因此的最小值为

故答案为：

【点睛】

本题考查导数几何意义．点到直线距离公式，考查数形结合思想方法，属中档题.

18．【答案】

【解析】分析：先设出幂函数，利用点确定幂函数的解析式，然后利用导数求出切线方程.

详解：设幂函数的方程为，由函数图象经过点，则，

所以，即，即，

所以，

故函数在点处的切线方程为，

即.

故答案为：.

【点睛】

本题的考点是利用导数研究曲线上切线方程，先利用条件求出幂函数是解决本题的关键．