高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.1 导数的概念练习题

【优质】2.1 导数的概念作业练习

一．填空题

1．曲线在点处的切线方程为______.

2．曲线在点处的切线方程为______.

3．正弦曲线上一点，正弦曲线以点为切点的切线为直线，则直线的倾斜角的范围是______.

4．已知函数，若曲线在处的切线恰好平分圆：的周长，则实数的值为______.

5．若，则________.

6．已知函数的图像在点处的切线过点（2，11），则____．

7．曲线在点处的切线方程为________.

8．若曲线在点处的切线方程为，则______.

9．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是______.

10．已知曲线在处的切线方程为，则实数_____

11．函数在处的切线与直线垂直，则实数______.

12．函数在点处的切线方程为_________________.

13．曲线：与曲线：存在公切线，则的取值范围是________.

14．函数在处的切线方程是_______.

15．已知函数，若关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是_____.

16．设P为yx2﹣2图象C上任意一点，l为C在点P处的切线，则坐标原点O到l距离的最小值为_____.

17．已知曲线与直线相切，则实数a的值为__________.

18．已知直线为曲线的一条切线，则实数a的值为__________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：利用导数的几何意义求解，先对函数求导，然后将点的横坐标代入导函数所得的值就是切线的斜率，再利用点斜式可与出切线方程.

详解：解：由，得，

所以在点处的切线的斜率为，

所以所求的切线方程为，即，

故答案为：，

【点睛】

此题考查导数的几何意义，利用导数求曲线的切方程，属于基础题.

2．【答案】

【解析】分析：求导根据导数的几何意义以及直线的方程求解切线方程即可.

详解：由题, ,故.又.

故切线方程为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了根据导数的几何意义求解在函数某点处切线的方程.属于基础题.

3．【答案】

【解析】分析：由可得，直线的斜率为，即可求出答案.

详解：由可得，

切线为直线的斜率为：

设直线的倾斜角，则且.

所以

故答案为：

【点睛】

本题考查求曲线上的切线的倾斜角的范围，属于中档题.

4．【答案】-3

【解析】分析：先利用导数求出在处的切线方程，然后根据切线平分圆的周长，即切线过圆心，将圆心代入切线方程，即可解得．

详解：圆：即为，故圆心为．

又，，，

故切线方程：．

将代入得：．

故答案为：．

【点睛】

本题考查导数的几何意义及切线方程的求法，同时考查圆的弦的性质．

5．【答案】

【解析】分析：本题根据导函数的定义直接求解即可.

详解：解：根据导函数的定义：，

故答案为：.

【点睛】

本题考查导函数的定义所涉及的运算问题，是简单题.

6．【答案】2

【解析】分析：求出函数的导数，，而,根据点斜式得到直线方程，利用切线的方程经过的点求解即可．

详解：函数的导数为：，，而，

切线方程为：，因为切线方程经过（2，11），

所以

解得．

故答案为：2.

【点睛】

这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.

7．【答案】

【解析】分析：根据，得到，所以在点处的切线斜率为-1，写出切线方程.

详解：因为，所以，

所以在点处的切线斜率为-1，

所以切线方程为.

故答案为：

【点睛】

本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法，还考查学生的运算求解能力，属于基础题.

8．【答案】2

【解析】分析：对函数求导，利用斜率的值列出方程，解出值．

详解：依题意，，故，解得.

故答案为：2

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查复合函数的求导公式，考查学生计算能力，属于基础题．

9．【答案】

【解析】分析：函数有三个零点，可知和的图象有三个交点，进而作出图形，结合图形分类讨论，可求出答案.

详解：令，

函数有三个零点，则和的图象有三个交点，

当时，，且；当时，；是过点的折线.

先考虑特殊情况，若折线与在上存在相切，设切点为，

由，可得切线斜率为，则切线方程为，

因为切线过点，所以，

解得，即切点为，切线斜率为1，

切线方程为，此时；

若折线与在上相切，设切点为，

由图象可知，且，

令，

方程整理得，

则，解得，

因为在上最大值为，

所以，即，

计算可知，，所以；

①当时，，两个函数没有交点，不符合题意；

②当时，与的图象在上有1个交点，

在上没有交点，在上有2个交点，共有3个交点，符合题意；

③当时，与的图象在上有1个交点，

在上至多有1个交点，不符合题意；

④当，

即时，与的图象在上有1个交点，

在上有2个交点，在上没有交点，共有3个交点，符合题意.

⑤当时，与的图象在上有1个交点，

在上只有一个交点，共有2个交点，不符合题意.

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查根据函数零点个数求参数取值范围，注意转化为函数图象交点问题，考查数形结合的数学思想的运用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属中档题.

10．【答案】

【解析】分析：根据切线斜率为2，结合导函数求解，写出切线方程即可得解.

详解：由题曲线在处的切线方程为，

所以，，所以，

所以切点为，切线方程为，即，

所以b=.

故答案为：

【点睛】

此题考查根据曲线在某点处的切线方程求解参数的取值，关键在于熟练掌握导数的几何意义，根据导数值与切线斜率建立等量关系求解.

11．【答案】

【解析】分析：求出的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为？1，解方程即可得到所求值.

详解：解：函数的导数为，

可得在处的切线斜率为，

由切线与直线垂直，

可得，

解得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，两直线垂直的条件：斜率之积为？1，考查运算能力，属于基础题.

12．【答案】

【解析】分析：求导得，将代入求出导数值，从而根据导数的几何意义．直线的点斜式方程得出结论．

详解：解：∵，

∴，

∴当时，，

∴函数在点处的切线方程为，化简得，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查函数在某点处的切线方程的求法，属于基础题．

13．【答案】

【解析】分析：设公切线在上的切点为，在上的切点为，利用导数的几何意义得出，整理得到，构造函数，利用导数得出其值域，即可得出的取值范围.

详解：设公切线在上的切点为，在上的切点为

函数，的导数分别为，

则公切线的斜率为，整理得

由可知，

令，则

；

在区间上单调递增，在区间上单调递减

；当时，，即

故答案为

【点睛】

本题主要考查了导数几何意义的应用，属于中档题.

14．【答案】

【解析】分析：求出原函数的导函数，得到，再求出，然后列出利用切线方程可得答案.

详解：求导函数可得，

当时，，

，切点为，

曲线在点处的切线方程是，

故答案为：.

【点睛】

本题考查切线方程问题，属于简单题

15．【答案】

【解析】分析：根据题意，，画出的图象，将方程有三个不同的实数解转化为与有三个交点，利用导数法和平移法得出与的图象有2个交点时的值，即可得出方程有三个不同的实数解，实数的取值范围.

详解：解：由题可知，，

作出的图象如下：

由于方程有三个不同的实数解，

则与有三个交点，

由于与直线平行，则需将直线向上或向下平移，

当与且的图象相切时，与的图象有2个交点，

而，

所以当时，解得：或0，

且，，

则当过切点时，，此时，

当过切点时，，此时，

要使得与有三个交点，

只需将向下平移或将向上平移即可，此时或，

所以方程有三个不同的实数解，则或，

即实数的取值范围是：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查方程的零点个数问题，将方程零点个数转化为函数的交点个数问题，考查数形结合思想和运算能力.

16．【答案】2

【解析】分析：设出切点P坐标，由导数求得C在点P处的切线方程，由点到直线的距离公式写出坐标原点O到l距离，再由基本不等式求最小值.

详解：设P（），

由yx2﹣2，得，

∴，

则C在点P处的切线方程为：，

整理得：.

∴坐标原点O到l距离d

.

当且仅当，即x0＝0时上式等号成立.

∴坐标原点O到l距离的最小值为2.

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了点到直线的距离公式，训练了利用基本不等式求最值，是中档题.

17．【答案】2

【解析】分析：先设出切点坐标，然后由切点是公共点和切点处的导数等于切的斜率列方程组可求得结果.

详解：解：设切点为，

由得，则由题意得，

，

解得，

故答案为：2

【点睛】

此题考查了导数的几何意义，考查了计算能力，属于基础题.

18．【答案】

【解析】分析：先对进行求导，设出切点，然后令导函数等于1求出切点坐标，从而求得参数的值．

详解：解：设切点为，，因为，所以，依题意可得，且，解得，即切点坐标为，所以

故答案为：

【点睛】

本题考查导数的运用，主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率，注意设出切点，考查运算能力，属于基础题．