北师大版九年级下册6 直线与圆的位置关系课堂检测

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专题3.5-7 与圆有关的位置关系测试卷
注意事项：
本试卷满分100分，试题共23题，选择10道．填空6道、解答7道 .答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 答题时间：60分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·江苏盐城·九年级期中）已知的半径为3cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与的位置关系是（    ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【答案】C
【分析】根据题意和直线与圆的位置关系，即可得．
【详解】解：∵的半径为3cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，
∴，
即直线l与的位置关系是相离，
故选：C．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的根据数据掌握直线与圆的位置关系．
2．（2022·福建·大同中学九年级期中）如图，已知点是的外心，连结，，若，则的度数是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆周角定理得出即可得到结果．
【详解】解：∵点O为的外心，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆、圆周角定理，熟记圆周角定理是解决问题的关键．
3．（2022·广西·都安瑶族自治县民族实验初级中学九年级期中）如图，点P为外一点，为的切线，A为切点，交于点B，，，则切线的长为（    ）

A．6 B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，由切线的性质可知，再根据同圆半径相等得出，最后根据含角的直角三角形的性质即可求出，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接．

∵为的切线，
∴，即．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴
故选D．
【点睛】本题主要考查切线的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理．连接常用的辅助线是解题关键．
4．（2022·浙江·宁波外国语学校九年级期中）如图，与正方形的两边相切，且与相切于E点．若的半径为4，且，则的长度为（　　）

A．5 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】连接，根据切线性质证四边形为正方形，根据正方形性质和切线长性质可得．
【详解】解：连接，

∵都与圆O相切，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为正方形，
则，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线和切线长定理，作辅助线，利用切线长性质求解是关键．
5．（2022·河南·洛阳市第二外国语学校九年级期中）如图，是的直径，点为外一点，、是的切线，、为切点，连接、．若，则的大小是（　　）

A．32° B．48° C．60° D．66°
【答案】D
【分析】如图所示，连接，利用切线的性质得到，利用四边形内角和定理求出的度数，即可利用圆周角定理求出答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵、是的切线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：D．

【点睛】本题主要考查了切线的性质，四边形内角和定理，圆周角定理，正确作出辅助线是解题的关键．
6．（2022·江苏盐城·九年级期中）如图，已知、分别切于、，切于，，，则周长为（    ）

A．20 B．22 C．24 D．26
【答案】C
【分析】根据切线的性质得到，根据勾股定理求出的长，根据切线长定理、三角形周长公式计算即可．
【详解】、分别切于、，
，，
，
、分别切于、，切于，
，，


，
故选：C．
【点睛】本题考查切线的性质、切线长定理，掌握圆的切线垂直经过切点的半径以及切线长定理是解题的关键．
7．（2022·山东潍坊·九年级期中）课下小亮和小莹讨论一道题目：“已知点O是的外心，，求”．小亮的解答为：如图，画以及它的外接圆O，连接，由，得．而小莹说：“小亮考虑的不周全，应该还有另一个不同的值”．下列判断正确的是（    ）

A．小亮求的结果不对，应该是 B．小莹说的不对，就是
C．小莹说的对，的另一个值是 D．两人说的都不对，的值有无数个
【答案】C
【分析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．
【详解】解：如图所示：还应有另一个不同的值与互补，
故．
故选：C．

【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，以及圆周角定理，正确分类讨论是解题的关键．
8．（2022·江苏常州·九年级期中）如图，在中，，，点D是边上一个动点，以点D为圆心r为半径作，直线与切于点E，若点E关于的对称点F恰好落在边上，则r的值是(   )

A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】连接、、，由与相切于点，得，由点与点关于对称，得垂直平分，则，，所以，，即可证明，由，，得，，所以，由勾股定理得，则，而，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接、、，如图，

与相切于点，
，
，
点与点关于对称，
垂直平分，
，，
，，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、圆的切线的性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
9．（2022·浙江·宁波市镇海蛟川书院模拟预测）如图，已知点，直线l经过A、B两点，点为直线l在第一象限的动点，作的外接圆，延长交于点Q，则的面积最小值为（　　）

A．4 B．4.5 C． D．
【答案】D
【分析】根据已知可得，从而在在中，利用勾股定理求出的长，再根据直径所对的圆周角是直角可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，从而可得，进而可得，最后根据垂线段最短可知，当时，最小，从而可得的面积最小，进行计算即可解答．
【详解】解：∵点，
∴，
在中，，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积=，
∴当最小时，的面积最小，
∴当时，最小，
∵的面积，
∴，
∴，
∴的面积的最小值，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆，圆周角定理，坐标与图形的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
10．（2022·江苏江苏·九年级期中）如图，是的直径，半径于点，平分，交于点，交于点，连接，，给出以下四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（    ）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】设的半径为，证∽，由，，可得①正确；同理，由∽，可得，故②错误；由平分，可得，结合是的直径，半径于点，推出③正确；由，，证明∽，得，所以，即可证明，可判断正确，于是得到问题的答案．
【详解】解：设的半径为，则，
，，
平分，
，

，
，
∽，
，
，
，
，
∽，
，
故正确，符合题意；
，
，
，
又∽，
，
，
故错误，不符合题意；
平分，
，
，
是的直径，半径于点，
，
故正确，符合题意；
，
又是的直径，半径于点，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题重点考查圆的有关概念和性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽及∽是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上
11．（2022·江苏南京·九年级期中）已知的半径为，圆心O到直线l的距离为，则直线l与的位置关系是______．
【答案】相离
【分析】根据圆心到直线的距离与半径的大小关系即可得出答案．
【详解】解：∵圆心到直线的距离大于半径，
∴直线l与相离，
故答案为：相离．
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系的判断方法是解题的关键．
12．（2022·全国·九年级专题练习）在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是________．（写一个条件即可）

【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）
【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可．
【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°，
∵∠ABT=∠ATB=45°，
∴∠BAT=90°，
又∵AB是圆O的直径，
∴AT是圆O的切线，
故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）．

【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键．
13．（2022·江苏常州·九年级期中）工人为了测量某段圆木的直径，把圆木截面、含60°角的三角板和直尺按如图摆放，测得cm，由此可算得该圆木的直径为_____cm．

【答案】
【分析】如图，切三角板的斜边于点，连接、，利用邻补角计算出，再根据切线长定理和切线的性质得到平分，，所以，，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系得到的长，从而得到圆的直径．
【详解】解：如图，切三角板的斜边于点，连接、，则，
与三角板和直尺相切，
平分，，
，，
在中，
，
cm，
该圆木的直径为cm．
故答案为：．

【点睛】本题考查了切线的性质及切线长定理，熟练掌握切线的性质及切线长定理是解题的关键．
14．（2022·河北·石家庄市第二十八中学九年级期中）如图，外接圆的圆心坐标为______．

【答案】
【分析】根据外接圆的圆心即为三角形三边垂直平分线的交点，进行解答即可．
【详解】解：如图：外接圆的圆心即为三角形三边垂直平分线的交点，

∵垂直平分线的交点坐标为，
∴外接圆的圆心坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形外接圆的圆心，熟知三角形外接圆的圆心即为三角形三边的垂直平分线的交点是解本题的关键．
15．（2022·江苏南京·九年级期中）如图，的内切圆分别与相切于点D、E、F，若则的长为______．

【答案】
【分析】设，根据切线长定理得出求出，根据，代入求出的值即可．
【详解】解：设，
的内切圆与相切于点D、F、E，

∵
∴，
∵，



故答案为：
【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆与内心和切线长定理，解决本题的关键是掌握切线长定理．
16．（2022·江苏南通·一模）如图，等边△OAB中OB＝3，将同一平面内边长为2的等边△OCD绕点O旋转一周的过程中，点B到直线CD的距离最大值为 _____．

【答案】##
【分析】如图1，OG⊥CD于G，⊙O的半径为OG，⊙B的半径为OB+OG，利用直线与圆相交时，圆心到直线的距离小于半径，便可解答；
【详解】解：如图1，OG⊥CD于G，⊙O的半径为OG，⊙B的半径为OB+OG，

OG⊥CD，△OCD是等边三角形，OC=2，则CG==1，由勾股定理可得OG=，
当边CD绕O点旋转时，CD的中点G在⊙O上运动，当G点不在BO延长线上，则CD所在直线必定与⊙B相交，即B点到直线CD的距离小于⊙B的半径；当点G在BO延长线上时，CD所在直线与⊙B相切，此时 B点到直线CD的距离等于⊙B的半径；
∴点B到直线CD的最大距离为OB+OG=，
故答案为：；
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，旋转的特征等知识；掌握直线与圆相交的性质是解题关键．
三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2021·江苏镇江·九年级期中）已知：Rt△ABC，∠C＝90°．
（1）点E在BC边上，且△ACE的周长为AC＋BC，以线段AE上一点O为圆心的⊙O恰与AB、BC边都相切．请用无刻度的直尺和圆规确定点E、O的位置；
（2）若BC＝8，AC＝4，求⊙O的半径．

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据垂直平分线的性质以及角平分线的性质作图即可；
（2）先根据勾股定理得出AB的长，再根据S△ABE＝S△AOB＋S△BOE即可得出⊙O的半径．
【详解】（1）如图，点E、O即为所求作点，

（2）解：设AE＝BE＝x，则CE＝8－x
在Rt△ACE中，42＋（8－x）2＝x2
x＝5
在Rt△ABC中，AB＝＝
∵S△ABE＝S△AOB＋S△BOE
∴×5×4＝×r＋×5r
∴r＝．
【点睛】本题考查了尺规作图—垂直平分线和角平分线，以及它们的性质，以及三角形的面积，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
18．（2022·江苏泰州·九年级期中）如图，为的外接圆的直径，点M为的内心，连接并延长交于点D，连接．

(1)求的大小；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)4

【分析】（1）先根据圆周角定理求出，再根据内心定义，推出度数，进而根据得出的值；
（2）连接，证明即可．
【详解】（1）解：为的外接圆的直径，
，
为的内心，
，
；
（2）解：如图，连接，
为的内心，
，，
，
，
，
，，
，
；
∴DM=CD=4．

【点睛】本题考查了内心的定义，圆周角定理，等腰三角形判定等知识，解决问题的关键是熟练掌握内心的性质．
19．（2022·江苏南京·九年级期中）如图，在中，是的直径，是的切线，切点是，连接，过点作，与交于点，连接．

(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为3，，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据是的切线，得出，证明，得出，即可得证；
（2）根据是的直径，得，进而得出，根据垂径定理可得，勾股定理得出，等面积法求得的长，继而求得的长，在中，勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，

∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
在与中，

∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：如图，连接交于点，

∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，垂径定理，掌握以上知识是解题的关键．
20．（2021·浙江宁波·二模）已知反比例函数的图象经过点．
（1）填空：_________，__________；
（2）若直线的解析式为，请根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围；
（3）若为线段上一点，的半径为2，且与坐标轴不相交，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）当或时，；（3）．
【分析】（1）利用点在函数图像上，点的坐标满足解析式代入A点坐标，求出m，再求n即可；
（2）由反比例函数图像在一次函数图像上方可知在交点A的左侧，和交点B的右侧和y轴左侧即可；
（3）∵利用待定系数法求线段AB解析式为，当圆P与x轴相切时，y=2，求出，当圆P与y轴相切时， ，与坐标轴不相交即可求出结果 ．
【详解】解：（1）反比例函数的图象经过点，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：-7；7；
（2）反比例函数的值大于一次函数的值，就是反比例函数图像在一次函数图像上方，
在交点A的左侧，和交点B的右侧和y轴左侧，
∴的取值范围是或；
（3）∵，
线段AB解析式为y=kx+b，
∴，
解得，
∴，
当圆P与x轴相切时，y=2，，
当圆P与y轴相切时， ，
∴为线段上一点，的半径为2，且与坐标轴不相交，．

【点睛】本题考查待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数大小比较方法，动点圆与x轴和y轴的位置关系，掌握待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数大小比较方法，动点圆与x轴和y轴的位置关系是解题关键．
21．（2022·北京市三帆中学模拟预测）如图，是的直径，点是外一点，连接交于点，作，分别切于点，，连接，．

(1)求证：∥；
(2)连接，若，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，从而证明≌，进而可得，然后根据圆周角定理可得，从而可得，最后利用平行线的判定即可解答；
（2）连接，利用（1）的结论可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而可得，进而在等腰直角三角形中求出，的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义可得，再利用勾股定理进行计算即可解答．
（1）
证明：连接，

，分别切于点，，
，
，，
≌，
，
，
，
；
（2）
解：连接，

，
，
在中，，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
或（舍去），
线段的长为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，切线的性质，解直角三角形，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，以及解直角三角形是解题的关键．
22．（2022·全国·九年级期末）【问题原型】如图①，在⊙O中，弦BC所对的圆心角∠BOC＝90°，点A在优弧BC上运动（点A不与点B、C重合），连接AB、AC．

(1)在点A运动过程中，∠A的度数是否发生变化？请通过计算说明理由．
(2)若BC＝2，求弦AC的最大值．
(3)【问题拓展】如图②，在△ABC中，BC＝4，∠A＝60°．若M、N分别是AB、BC的中点，则线段MN的最大值为 　 　．
【答案】(1)不变，45°，理由见详解
(2)
(3)

【分析】（1）同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可说明；
（2）AC的最大值为直径，有直角三角形OBC求出半径OC的长度即可；
（3）与第（2）问类似，MN为的中位线，AC最大时，可知MN最大，作的外接圆，AC最大值为直径，因此求出的外接圆的半径即可．
【详解】（1）∠A的度数不发生变化，理由如下：
∵，∠BOC＝90°，
∴；
（2）当AC为⊙O的直径时，AC最大，
在Rt△BOC中，∠BOC＝90°，
根据勾股定理，得，
∵OB＝OC，
∴，
∴，
即AC的最大值为；
（3）如图，画△ABC的外接圆⊙O，连接OB，OC，ON，

则ON⊥BC，∠BON＝60°，BN＝BC＝2，
∴OB＝，
∵M、N分别是AB、BC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN＝AC，
∴AC为直径时，AC最大，此时AC＝2OB＝，
∴MN最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的相关知识，有等弧或同弧的圆周角等于圆心角的一半，有动点问题，有直角三角形求直角边，也有普通三角形求外接圆的半径，熟练掌握同弧或等弧中的圆周角与圆心角的关系是解本题的关键．
23．（2021·河北石家庄·二模）如图1和图2，点在数轴上对应的数为16，过原点在数轴的上方作射线，且.点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点到达点时，点，都停止运动.以点为圆心，为半径的半圆与数轴正半轴交于点，与射线交于点，连接，设运动时间为秒，点在数轴上对应的数为．

（1）用含的式子表示的长为______，当点与点重合时，______；
（2）若与半圆相切，求；
（3）如图2，当时，半圆与的另一个交点为，求的度数及的长；
（4）若半圆与线段只有一个公共点，直接写出的取值范围．
【答案】（1），6；（2）；（3），；（4）或．
【分析】（1）连接CF，过F点作OA垂线，垂足为G，，设，可得，解得m的值即可求得OC的长；当点与点重合时：，解得t的值，代入求得OE即可；
（2）当半圆与相切时，则，又因为，设，，则，可列，求出t值，解出OE值即可；
（3）连接CD，因为为半圆的直径，，当时，由勾股定理可以求得值，，最终得到，即为等腰直角三角形，
由此可知的度数；连接，，，可知，根据弧长
公式求解即可；
（4）若半圆与线段相切时，可以求得x的值；当点与点重合时，可以求出x的值，解出相应取值范围即可．
【详解】解：（1）连接CF，过F点作OA垂线，垂足为G，

∵F为半圆圆心，
∴OF=FC=t，
∴，
∵，
设，
∴，
解得：，
∴；
当点与点重合时：
解得：，
当时，；
故答案为：，6．
（2）当半圆与相切时，则.
在中，，设，，则，
，
.
.
.
时，半圆与相切.
此时.
（3）如图，连接，

为半圆的直径，
，
由（2）可知，.
在中，，
，
当时，，，，
由勾股定理，得.
，
，即为等腰直角三角形，
.
连接，，.
为直径，
.
.
.
.
（4）若半圆与线段相切时，，，
，解得，此时x等于10，
∴当时，半圆与线段只有一个交点，
当点与点重合时，由（1）得：，
∴当时，半圆与线段只有一个交点，
综上所述：或.
【点睛】本题主要考查圆与直线的位置关系，锐角三角函数，相似三角形等知识点，本题属于圆与动点问题的结合，难度较大，找到圆与直线特殊的位置关系，列出相应关系式是解题关键．