2022-2023学年山东省泰安市九年级上册数学期末专项提升模拟题（AB卷）含解析

这是一份2022-2023学年山东省泰安市九年级上册数学期末专项提升模拟题（AB卷）含解析，共56页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省泰安市九年级上册数学期末专项提升模拟题（A卷）
一、选一选（每小题3分，共36分）
1. 对于函数的图象，下列说法没有正确的是( )
A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 值为0 D. 与轴没有相交
2. 由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，比较它的正视图、左视图和俯视图的面积，则（　　）

A. 三个视图的面积一样大 B. 主视图的面积最小
C. 左视图的面积最小 D. 俯视图的面积最小
3. “今有井径五尺，没有知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（　　）

A 1.25尺 B. 56.5尺 C. 6.25尺 D. 57.5尺
4. 袋内装有标号分别为1、2、3、4的4个球，从袋内随机取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，让其标号为这个两位数的个位数字，则组成的两位数是3的倍数的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 若关于x的方程kx2-3x-=0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A. k=0 B. k≥-1且k≠0 C. k≥-1 D. k＞-1
6. △ABC在中的位置如图所示，则cos∠ACB的值为（　　）

A. B. C. D.
7. 如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，AD:BD=5:3，CF=6，则DE的长为（ ）

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
8. 将抛物线y=2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（ ）
A. y=2（x﹣3）2﹣5 B. y=2（x+3）2+5
C. y=2（x﹣3）2+5 D. y=2（x+3）2﹣5
9. 在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图，该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA．若∠ACB=21°，则∠ECD的度数是（　　）


A. 7° B. 21° C. 23° D. 24°
10. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
11. 如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（　　）

A. 12 B. 15 C. 16 D. 18
12. （2017湖北省十堰市，第10题，3分）如图，直线分别交x轴，y轴于A，B，M是反比例函数（x＞0）的图象上位于直线上方的一点，MC∥x轴交AB于C，MD⊥MC交AB于D，AC•BD=，则k的值为（　　）

A ﹣3 B. ﹣4 C. ﹣5 D. ﹣6
二、填 空 题（每小题4分，共24分）
13. ﹣tan30°+（π﹣4）0=_____．
14. 从﹣1，2，3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点（m，n）在函数图象上概率是___．
15. A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是_____．
16. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是_____．

17. 如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC=，反比例函数y=的图象点C，与AB交于点D，若△COD的面积为20，则k的值等于_____________.


18. 如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC=6，BD=5，则BC的长为_____．

　
三、解 答 题（共60分）
19. 计算：﹣1﹣2+|﹣|+（π﹣3.14）0﹣tan60°+．
20. 如图，在▱ABCD中 过点A作AE⊥DC，垂足E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．
（1）求证：△ABF∽△BEC；
（2）若AD=5，AB=8，sinD=，求AF的长．

21. 某超市一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价没有低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可60箱．市场发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱．
（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）超市如何定价，才能使每月牛奶的利润？利润是多少元？
22. 如图，在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE，在地面观测点A处测得屋顶C与树梢D的仰角分别是45°与60°，∠CAD=60°，在屋顶C处测得∠DCA=90°．若房屋的高BC=6米，求树高DE的长度．

23. 如图，函数y＝－x＋1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在象限作等边△ABC，
(1)若点C在反比例函数y＝的图象上，求该反比例函数的解析式；
(2)点P(2，m)在象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，当△PAD与△OAB相似时，P点是否在(1)中反比例函数图象上？如果在，求出P点坐标；如果没有在，请加以说明.

24. 已知正方形ABCD，点M边AB的中点．
（1）如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB=90°，延长AG、BG分别与边BC、CD交于点E、F．

①求证：BE=CF；
②求证：BE2=BC•CE．
（2）如图2，在边BC上取一点E，满足BE2=BC•CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长CD于点F，直接写出tan∠CBF的值．
25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积，求出此时P点坐标和△PBC的面积．










2022-2023学年山东省泰安市九年级上册数学期末专项提升模拟题（A卷）
一、选一选（每小题3分，共36分）
1. 对于函数的图象，下列说法没有正确的是( )
A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 值为0 D. 与轴没有相交
【正确答案】D

【详解】试题分析：根据二次函数的性质即可一一判断．
对于函数y=﹣2（x﹣m）2的图象，
∵a=﹣2＜0，∴开口向下，对称轴x=m，顶点坐标为（m，0），函数有值0，
故A、B、C正确，
故选D．
考点：二次函数的性质；二次函数的最值.
2. 由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，比较它的正视图、左视图和俯视图的面积，则（　　）

A. 三个视图的面积一样大 B. 主视图的面积最小
C. 左视图的面积最小 D. 俯视图的面积最小
【正确答案】C

【分析】首先根据立体图形可得俯视图、主视图、左视图所看到的小正方形的个数，再根据所看到的小正方形的个数可得答案．
【详解】根据三视图的意义，可知主视图由5个面，左视图有3个面，俯视图有4个面，故可知主视图的面积，左视图的面积最小.
故选C
此题主要考查了组合体的三视图，关键是注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3. “今有井径五尺，没有知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（　　）

A. 1.25尺 B. 56.5尺 C. 6.25尺 D. 57.5尺
【正确答案】D

【分析】易得△ABF∽△ADE，列出比例式即可求解.
【详解】依题意有△ABF∽△ADE，

∴AB:AD=BF:DE，
即5:AD=0.4:5，
解得AD=62.5，
BD=AD−AB=62.5−5=57.5尺．
故选D.
本题考查相似三角形的性质，对应边成比例，列出比例式是解题的关键.
4. 袋内装有标号分别为1、2、3、4的4个球，从袋内随机取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，让其标号为这个两位数的个位数字，则组成的两位数是3的倍数的概率为（ ）
A B. C. D.
【正确答案】B

【分析】通过画树状图可求出概率．
【详解】画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中所成的两位数是3的倍数的结果数为5，所以成的两位数是3的倍数的概率=．
故选B．
5. 若关于x的方程kx2-3x-=0有实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A. k=0 B. k≥-1且k≠0 C. k≥-1 D. k＞-1
【正确答案】C

【分析】根据根的判别式计算即可；
【详解】∵方程有实数根，
∴当，原方程变为，解得：，符合题意；
当时，，解得：，
故选：C．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，准确计算是解题的关键．
6. △ABC在中的位置如图所示，则cos∠ACB的值为（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】B

【分析】要求余弦值需要在直角三角形中，所以我们先构造直角三角形，之后根据余弦的定义解决问题即可．
【详解】作AD⊥BC的延长线于点D，如图所示：

在Rt△ADC中，BD=AD，则AB=BD．
cos∠ACB=，
故选B．
本题考查了余弦的求法，解题的关键是构造出正确的直角三角形．

7. 如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，AD:BD=5:3，CF=6，则DE的长为（ ）

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【正确答案】C

【分析】由DEBC可得出，∠AED＝∠C，∠ADE＝∠EFC可得出△ADE∽△EFC，根据相似三角形的性质可得出，再根据CF＝6,即可求出DE的长度．
【详解】解：∵DEBC，
∴，∠AED＝∠C．
又∵∠ADE＝∠EFC，
∴△ADE∽△EFC，
∴，
∵CF＝6，
∴，
∴DE＝10．
故选C．
本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质列出比例式是解题的关键．
8. 将抛物线y=2x2向右平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线的表达式为（ ）
A. y=2（x﹣3）2﹣5 B. y=2（x+3）2+5
C. y=2（x﹣3）2+5 D. y=2（x+3）2﹣5
【正确答案】A

【详解】把向右平移3个单位长度变为：，再向下平移5个单位长度变为：．故选A．
9. 在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图，该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA．若∠ACB=21°，则∠ECD的度数是（　　）


A. 7° B. 21° C. 23° D. 24°
【正确答案】C

【详解】设∠AEF=x，
∵∠FAE=∠FEA，
∴∠AFC=2x，
∵∠ACF=∠AFC，
∴∠ACF=2x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴∠ACB+∠ACF+∠AEF=90°，
∴21°+x+2x=90°，
∴x=23°，
故选C．
三角形的外角性质；直角三角形的性质．
10. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【正确答案】B

【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确；
∵x=﹣=1，即b=﹣2a，而x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，
∴a+2a+c=0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．
故选：B．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
11. 如图，⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，CE．若AB=8，CD=2，则△BCE的面积为（　　）


A. 12 B. 15 C. 16 D. 18
【正确答案】A

【详解】∵⊙O的半径OD垂直于弦AB，垂足为点C，AB=8，
∴AC=BC=AB=4．
设OA=r，则OC=r﹣2，
在Rt△AOC中，
∵AC2+OC2=OA2，即42+（r﹣2）2=r2，解得r=5，
∴AE=10，
∴BE= ，
∴△BCE的面积=BC•BE=×4×6=12．
故选A．
12. （2017湖北省十堰市，第10题，3分）如图，直线分别交x轴，y轴于A，B，M是反比例函数（x＞0）的图象上位于直线上方的一点，MC∥x轴交AB于C，MD⊥MC交AB于D，AC•BD=，则k的值为（　　）

A. ﹣3 B. ﹣4 C. ﹣5 D. ﹣6
【正确答案】A

【详解】试题分析：过点D作DE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，

令x=0代入，∴y=﹣6，∴B（0，﹣6），∴OB=6，令y=0代入，∴x=，∴（，0），∴OA=，∴勾股定理可知：AB=，∴sin∠OAB=，cos∠OAB=.设M（x，y），∴CF=﹣y，ED=x，∴sin∠OAB=，∴AC=﹣y，∵cos∠OAB=cos∠EDB=，∴BD=2x，∵AC•BD=，∴﹣ y×2x=，∴xy=﹣3，∵M在反比例函数的图象上，∴k=xy=﹣3，故选A．
二、填 空 题（每小题4分，共24分）
13. ﹣tan30°+（π﹣4）0=_____．
【正确答案】﹣1

【详解】先根据二次根式的性质、角的三角函数值、零次幂、负指数幂化简，再进行计算即可.
解：原式=2﹣3×+1﹣2
=2﹣+1﹣2
=﹣1．
故答案为﹣1
14. 从﹣1，2，3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点（m，n）在函数图象上的概率是___．
【正确答案】．

【详解】试题分析：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，点（m，n）恰好在反比例函数图象上的有：（2，3），（﹣1，﹣6），（3，2），（﹣6，﹣1），∴点（m，n）在函数图象上的概率是：=．故答案为．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征；列表法与树状图法．
15. A（4，0），B（﹣2，0），C（0，3）三点的抛物线解析式是_____．
【正确答案】y=﹣x2+x+3．

【详解】解：根据题意，设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），
把C（0，3）代入得：﹣8a=3，即a=﹣，则抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4），
即，
故答案为．
16. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上点F处，那么cos∠EFC的值是_____．

【正确答案】.

【详解】试题分析：根据翻转变换的性质得到∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，根据矩形的性质得到∠EFC=∠BAF，根据余弦的概念计算即可．
由翻转变换的性质可知，∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，
∴∠EFC+∠AFB=90°，∵∠B=90°，
∴∠BAF+∠AFB=90°，∴∠EFC=∠BAF，cos∠BAF==，
∴cos∠EFC=，故答案为．
考点：轴对称的性质，矩形的性质，余弦的概念.
17. 如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC=，反比例函数y=的图象点C，与AB交于点D，若△COD的面积为20，则k的值等于_____________.


【正确答案】﹣24

【分析】如下图，过点C作CF⊥AO于点F，过点D作DE∥OA交CO于点E，设CF=4x，由tan∠AOC=可得OF=3x，由此可得OC=5x，从而可得OA=5x，由已知条件易证S菱形ABCO=2S△COD=40=OA·CF=20x2，从而可得x=，由此可得点C的坐标为，这样由点C在反比例函数的图象上即可得到k=-24.
【详解】如下图，过点C作CF⊥AO于点F，过点D作DE∥OA交CO于点E，设CF=4x，
∵四边形ABCO是菱形，
∴AB//CO，AO//BC，
∵DE//AO，
∴四边形AOED和四边形DECB都是平行四边形，
∴S△AOD=S△DOE，S△BCD=S△CDE，
∴S菱形ABCD=2S△DOE+2S△CDE=2S△COD=40，
∵tan∠AOC=，CF=4x，
∴OF=3x，
∴在Rt△COF中，由勾股定理可得OC=5x，
∴OA==OC=5x，
∴S菱形ABCO=AO·CF=5x·4x=20x2=40，解得：x=，
∴OF=，CF=，
∴点C的坐标为，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴k=.
故-24.

本题的解题要点有两点：（1）作出如图所示的辅助线，设CF=4x，已知条件把OF和OA用含x的式子表达出来；（2）由四边形AOCB是菱形，点D在AB上，S△COD=20得到S菱形ABCO=2S△COD=40.
18. 如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC=6，BD=5，则BC的长为_____．

【正确答案】8

【分析】连接AD，根据CD是∠ACB的平分线可知∠ACD=∠BCD=45°，故可得出AD=BD，再由AB是⊙O的直径可知△ABD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出BC的长．
【详解】连接AD，
∵∠ACB=90°，
∴AB是⊙O的直径．
∵∠ACB角平分线交⊙O于D，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴AD=BD=5．
∵AB是⊙O的直径，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB==10．
∵AC=6，
∴BC==8．

故8．
本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
　
三、解 答 题（共60分）
19. 计算：﹣1﹣2+|﹣|+（π﹣3.14）0﹣tan60°+．
【正确答案】2﹣

【详解】先对负指数幂、值、零次幂、角的三角函数值、立方根进行化简，再进行计算即可
解：原式=﹣1+﹣+1﹣+2
=2﹣．
20. 如图，在▱ABCD中 过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE=∠D．
（1）求证：△ABF∽△BEC；
（2）若AD=5，AB=8，sinD=，求AF的长．

【正确答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，得出∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，证出∠C=∠AFB，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出BE，由三角函数求出AE，再由相似三角形的性质求出AF的长．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC，
∴∠D+∠C=180°，∠ABF=∠BEC，
∵∠AFB+∠AFE=180°，
∴∠C=∠AFB，
∴△ABF∽△BEC；
（2）解：∵AE⊥DC，AB∥DC，
∴∠AED=∠BAE=90°，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得：
BE=,
在Rt△ADE中，AE=AD•sinD=5×=4，
∵BC=AD=5，
由（1）得：△ABF∽△BEC，
∴，
即，
解得：AF=2 ．
21. 某超市一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价没有低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可60箱．市场发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱．
（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）超市如何定价，才能使每月牛奶的利润？利润是多少元？
【正确答案】（1）y=60+10x，（2）超市定价为33元时，才能使每月牛奶的利润，利润是810元．

【分析】（1）根据价格每降低1元，平均每天多10箱，由每箱降价x元，多卖10x，据此可以列出函数关系式；
（2）由利润=（售价﹣成本）×量，列出函数关系式，求出值．
【详解】（1）根据题意，得：y=60+10x，
由36﹣x≥24，得x≤12，
∴1≤x≤12，且x为整数；
（2）设所获利润为W元，
则W=（36﹣x﹣24）（10x+60）=﹣10x2+60x+720=﹣10（x﹣3）2+810，
∴当x=3时，W取得值，值为810，36-x=36-3=33（元）
答：超市定价为33元时，才能使每月牛奶的利润，利润是810元．
本题是二次函数与函数实际应用问题，正确理解题意，根据相关数量关系列出函数关系式是关键．
22. 如图，在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE，在地面观测点A处测得屋顶C与树梢D的仰角分别是45°与60°，∠CAD=60°，在屋顶C处测得∠DCA=90°．若房屋的高BC=6米，求树高DE的长度．

【正确答案】

【详解】试题分析：首先解直角三角形求得表示出的长，进而利用直角三角函数，求出答案．
试题解析：如图，在中，
∴（m）；
在中，
∴（m）；
在中，，
答：树的高为米．
23. 如图，函数y＝－x＋1的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为边在象限作等边△ABC，
(1)若点C在反比例函数y＝的图象上，求该反比例函数的解析式；
(2)点P(2，m)在象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，当△PAD与△OAB相似时，P点是否在(1)中反比例函数图象上？如果在，求出P点坐标；如果没有在，请加以说明.

【正确答案】 ； P点坐标为

【详解】试题分析：（1）由直线解析式可求得A、B坐标，在Rt△AOB中，利用三角函数定义可求得∠BAO=30°，且可求得AB的长，从而可求得CA⊥OA，则可求得C点坐标，利用待定系数法可求得反比例函数解析式；
（2）分△PAD∽△ABO和△PAD∽△BAO两种情况，分别利用相似三角形的性质可求得m的值，可求得P点坐标，代入反比例函数解析式进行验证即可．
试题解析：解：（1）在中，令y=0可解得x=，令x=0可得y=1，∴A（，0），B（0，1），∴tan∠BAO=，∴∠BAO=30°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠=90°，在Rt△BOA中，由勾股定理可得AB=2，∴AC=2，∴C（，2），∵点C在反比例函数的图象上，∴k=2×=，∴反比例函数解析式为；
（2）∵P（，m）在象限，∴AD=OD﹣OA=﹣=，PD=m，当△ADP∽△AOB时，则有，即，解得m=1，此时P点坐标为（，1）；
当△PDA∽△AOB时，则有，即，解得m=3，此时P点坐标为（，3）；
把P（，3）代入可得3≠，∴P（，3）没有在反比例函数图象上，把P（，1）代入反比例函数解析式得1=，∴P（，1）在反比例函数图象上；
综上可知P点坐标为（，1）．
点睛：本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、等边三角形的性质、三角函数、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中求得C点坐标是解题的关键，在（2）中利用相似三角形的性质得到m的方程是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
24. 已知正方形ABCD，点M边AB的中点．
（1）如图1，点G为线段CM上的一点，且∠AGB=90°，延长AG、BG分别与边BC、CD交于点E、F．

①求证：BE=CF；
②求证：BE2=BC•CE．
（2）如图2，在边BC上取一点E，满足BE2=BC•CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长CD于点F，直接写出tan∠CBF的值．
【正确答案】（1）①见解析，②见解析；（2）

【分析】（1）①由正方形的性质知AB=BC、∠ABC=∠BCF=90°、∠ABG+∠CBF=90°，∠ABG+∠BAG=90°可得∠BAG=∠CBF，证△ABE≌△BCF可得；
②由RtABG斜边AB中线知MG=MA=MB，即∠GAM=∠AGM，∠CGE=∠AGM、∠GAM=∠CBG知∠CGE=∠CBG，从而证△CGE∽△CBG得CG2=BC•CE，由BE=CF=CG可得答案；
（2）延长AE、DC交于点N，证△CEN∽△BEA得BE•CN=AB•CE，由AB=BC、BE2=BC•CE知CN=BE，再由 且AM=MB得FC=CN=BE，设正方形的边长为1、BE=x，根据BE2=BC•CE求得BE的长，由tan∠CBF==可得答案．
【详解】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCF=90°，
∴∠ABG+∠CBF=90°，
∵∠AGB=90°，
∴∠ABG+∠BAG=90°，
∴∠BAG=∠CBF，
∵AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，
∴△ABE≌△BCF，
∴BE=CF，
②∵∠AGB=90°，点M为AB的中点，
∴MG=MA=MB，
∴∠GAM=∠AGM，
又∵∠CGE=∠AGM，∠GAM=∠CBG，
∴∠CGE=∠CBG，
又∠ECG=∠GCB，
∴△CGE∽△CBG，
∴，即CG2=BC•CE，
由∠CFG=∠GBM=∠BGM=∠CGF得CF=CG，
由①知BE=CF，
∴BE=CG，
∴BE2=BC•CE；
（2）解：延长AE、DC交于点N，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠N=∠EAB，
又∵∠CEN=∠BEA，
∴△CEN∽△BEA，
∴，即BE•CN=AB•CE，
∵AB=BC，BE2=BC•CE，
∴CN=BE，
∵AB∥DN，
∴，
∵AM=MB，
∴FC=CN=BE，
没有妨设正方形的边长为1，BE=x，
由BE2=BC•CE可得x2=1•（1﹣x），
解得：x1=，x2=（舍），
∴，
则tan∠CBF===．
本题考查了相似形的综合问题，正方形与直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积，求出此时P点坐标和△PBC的面积．

【正确答案】（1）y=x2﹣3x﹣4；（2）存在，P（，﹣2）；（3）当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的面积为8．

【详解】试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；（3）过P作PE⊥x轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC面积的值及P点的坐标．
试题解析：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
把A、B、C三点坐标代入可得，解得，
∴抛物线解析式y=x2﹣3x﹣4；
（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，

∴PO=PD，此时P点即为满足条件的点，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P点纵坐标为﹣2，
代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2，解得x=（小于0，舍去）或x=，
∴存在满足条件的P点，其坐标为（，﹣2）；
（3）∵点P在抛物线上，∴可设P（t，t2﹣3t﹣4），
过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，

∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直线BC解析式为y=x﹣4，∴F（t，t﹣4），
∴PF=（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）=﹣t2+4t，
∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF•OE+PF•BE=PF•（OE+BE）=PF•OB=（﹣t2+4t）×4=﹣2（t﹣2）2+8，∴当t=2时，S△PBC值为8，此时t2﹣3t﹣4=﹣6，
∴当P点坐标为（2，﹣6）时，△PBC的面积为8．
考点：二次函数综合题．



2022-2023学年山东省泰安市九年级上册数学期末专项提升模拟题（B卷）
一、选一选
1. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）

A. 3：4 B. 9：16 C. 9：1 D. 3：1
2. 如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE=∠EFC，AD:BD=5:3，CF=6，则DE的长为（ ）

A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
3. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（   ）

A. 18                                        B.                                         C.                                         D.
4. 在△ABC中，AC=6，BC=5，sinA=，∠A、∠B锐角，则ta=（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠B=40°，则∠OAC=　 ．

A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
6. 如图，直线x=2与反比例函数y=、y=的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB的面积是（　　）

A. B. 1 C. D. 2
7. 如图，点A是反比例函数y=（x＜0）的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上．已知平行四边形ABCD的面积为6，则k的值为（　　）

A. 6 B. 3 C. ﹣6 D. ﹣3
8. 已知函数的图象与x轴有交点．则的取值范围是( )
A k