初中数学人教版八年级下册17.2 勾股定理的逆定理精品ppt课件

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勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a 2＋b 2＝c 2
如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这两个命题称为互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．
2．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一 个定理，称其为原定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理．
导引：根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题 的题设和结论互换，写出原命题的逆命题，最后判 断逆命题的真假．
例1 判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题 的真假： (1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (2)如果a＞b，那么a 2＞b 2； (3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0.
解：(1)原命题是真命题．逆命题为：如果两条直线只有 一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题． (2)原命题是假命题．逆命题为：如果a 2＞b 2，那么a＞b. 逆命题是假命题． (3)原命题是真命题．逆命题为：如果两个数的和为 零，那么它们互为相反数．逆命题是真命题． (4)原命题是假命题．逆命题为：如果a＞0，b＜0， 那么ab＜0.逆命题是真命题．
写出逆命题的关键是分清楚原命题的题设和结论，然后将它的题设和结论交换位置就得到这个命题的逆命题．判断一个命题是真命题需要进行逻辑推理，判断一个命题是假命题只需要举出一个反例就可以了．
1 说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？ (1)两条直线平行，内错角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等； (4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
(1)逆命题：内错角相等，两条直线平行．逆命题 成立．(2)逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这 两个实数相等．逆命题不成立．(3)逆命题：三个角对应相等的两个三角形全等． 逆命题不成立．(4)逆命题：角的平分线上的点到角两边的距离相 等．逆命题成立．
下列说法正确的是(　　)A．每个定理都有逆定理B．每个命题都有逆命题C．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题D．真命题的逆命题是真命题
已知下列命题：①若a>b，则ac>bc；②若a＝1，则 ＝a；③内错角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是(　　)A．0 B．1 C．2 D．3
例2 判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形： (1)a=15，b=8， c =17； (2)a=13，b=14，c =15.
分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直 角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最 大边长的平方.解：(1)因为 152+82=225+64=289,172 = 289，所以152 +82 =172 ， 根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形. (2)因为132+142=169+196=365，152=225，所以132+142≠ 152，根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形.
判断一个三角形是不是直角三角形有两种方法：(1)利用定义，即如果已知条件与角度有关，可借助三角形的内角和定理判断；(2)利用直角三角形的判定条件，即若已知条件与边有关，一般通过计算得出三边的数量关系(即a 2＋b 2＝c 2)来判断，看是否符合较短两边的平方和等于最长边的平方．
例3 如图，某港口P 位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R 处，且相距30 n mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知， 如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道 “海天”号的航向了. 解：根据题意，PQ =16×1.5 = 24，PR=12×1.5 = 18， QR=30. 因为 242+182=302，即 PQ 2+PR 2=QR 2， 所以∠QPR= 90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°. 因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
用数学几何知识解决生活实际问题的关键是：建模思想，即将实际问题转化为数学问题；这里要特别注意弄清实际语言与数学语言间的关系；如本例中：“点与点之间的最短路线”就是“连接这两点的线段”，“点与直线的最短距离”就是“点到直线的垂线段的长”．
如果三条线段长a，b，c 满足a 2=c 2–b 2，这三条线 段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？
这三条线段组成的三角形是直角三角形，因为三条线段长a，b，c 满足a 2＝c 2－b 2，即a 2＋b 2＝c 2，根据勾股定理的逆定理可知，三角形是直角三角形．
2 下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是(　　) A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7在△ABC中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c，且 (a＋b)(a－b)＝c 2，则(　　) A．∠A 为直角 　　　　B．∠B 为直角 C．∠C 为直角 　　　　D．△ABC 不是直角三角形
五根小木棒，其长度(单位：cm)分别为7，15，20，24， 25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是(　　)
勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数． 常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13； 8，15，17；7，24，25；9，40，41；….
2．判断勾股数的方法：(1)确定是否是三个正整数；(2)确定最大数；(3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方．
导引：根据勾股数的定义：满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数 a，b，c 称为勾股数．A.62＋72≠82，不能构成勾 股数，故错误；B.52＋82≠132，不能构成勾股数， 故错误；C.1.5和2.5不是整数，所以不能构成勾股 数，故错误；D.212＋282＝352，能构成勾股数，故 正确．故选D.
例4 下面四组数中是勾股数的一组是( 　　) A．6，7，8　 　 B．5，8，13　 　 C．1.5，2，2.5　　 D．21，28，35
确定勾股数的方法：首先看这三个数是否是正整数；然后看较小两个数的平方和是否等于最大数的平方，记住常见的勾股数(3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25)可以提高解题速度．
1 下面几组数中，为勾股数的一组是(　　) A．4，5，6 B．12，16，20 C．－10，24，26 D．2.4，4.5，5.12 下列几组数：①9，12，15；②8，15，17；③7， 24，25；④n 2－1，2n，n 2＋1(n 是大于1的整数)， 其中是勾股数的有(　　) A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
1．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了一种新的验证勾股定理的方法．如图，火柴盒的一个侧面四边形ABCD 倒下到四边形AB ′C ′D ′的位置，连接AC，AC ′，CC ′，设AB＝a，BC＝b，AC＝c.请利用四边形BCC ′D ′的面积证明勾股定理：a 2＋b 2＝c 2.
由题易知Rt△C ′D ′A ≌Rt△ABC ，∴∠C ′AD ′＝∠ACB.又∵∠ACB＋∠BAC＝90°，∴∠BAC＋∠C ′AD ′＝90°.∴∠CAC ′＝90°.∵S梯形BCC′D′＝SRt△ABC＋SRt△AC ′D ′＋SRt△CAC ′，∴ (a＋b)(a＋b)＝ ab＋ ab＋ c 2.　∴(a＋b)2＝2ab＋c 2. ∴a 2＋b 2＝c 2.
勾股定理在折叠中的应用
2． 如图，长方形ABCD 中，AB＝8，BC＝6，P 为AD上一点， 将△ABP 沿BP 翻折至△EBP，PE，BE 分别与CD 相交于点O， G，且OE＝OD，求AP 的长．
∵四边形ABCD是长方形，∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8.根据题意得△ABP ≌△EBP，∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8.在△ODP 和△OEG 中，∴△ODP ≌△OEG. ∴OP＝OG，PD＝GE. ∴DG＝EP.设AP＝EP＝x，则GE＝PD＝6－x，DG＝x，∴CG＝8－x，BG＝8－(6－x )＝2＋x.根据勾股定理得BC 2＋CG 2＝BG 2.即62＋(8－x)2＝(x＋2)2，解得x＝4.8，∴AP＝4.8.
勾股定理在最短路径中的应用
3．如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12 cm，底面周长为10 cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径的长是(　　) A．13 cm B．2 cm C. cm D．2 cm
勾股定理的逆定理在判断方向中的应用
4．如图，小明的家位于一条南北走向的河流MN 的东侧A处， 某一天小明从家出发沿南偏西30°方向走60 m到达河边 B 处取水，然后沿另一方向走80 m到达菜地C 处浇水，最 后沿第三方向走100 m回到家A 处．问 小明在河边B 处取水后是沿哪个方向行 走的？并说明理由．
小明在河边B 处取水后是沿南偏东60°方向行走的．理由如下：∵AB＝60 m，BC＝80 m，AC＝100 m，∴AB 2＋BC 2＝AC 2. ∴∠ABC＝90°.又∵AD∥NM，∴∠NBA＝∠BAD＝30°.∴∠MBC＝180°－90°－30°＝60°.∴小明在河边B 处取水后是沿南偏东60°方向行走的．
勾股定理与它的逆定理的综合应用
5．如图，已知在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 在 AB上，且AF∶FB＝3∶1. (1)请你判断EF 与DE 的位置关系，并说明理由； (2)若此正方形的面积为16，求DF 的长．
(1)EF⊥DE.理由如下： 设正方形ABCD 的边长为a，则AD＝DC＝a， FB＝ a，AF＝ a，BE＝EC＝ a， 在Rt△DAF 中，DF 2＝AD 2＋AF 2＝ a 2， 在Rt△CDE 中，DE 2＝CD 2＋CE 2＝ a 2， 在Rt△EFB 中，EF 2＝FB 2＋BE 2＝ a 2， ∴DE 2＋EF 2＝ a 2＋ a 2＝ a 2＝DF 2， ∴△DFE 为直角三角形，且∠DEF＝90°， ∴EF⊥DE.
(2)∵正方形的面积为16，∴a 2＝16， ∴DF 2＝ a 2＝ ×16＝25， ∴DF＝5.
勾股定理及其逆定理在网格中的应用
6．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点A，B，C， D 均在格点上． (1)求四边形ABCD 的面积． (2)你能判断AD 与CD 的位置关系吗？请说出你的理由．
(1)S四边形ABCD＝ ×2×5＋ ×3×5＝12.5.(2)AD⊥CD.理由如下： 因为AD 2＝12＋22＝5，CD 2＝22＋42＝20， AC 2＝52＝25， 所以AD 2＋CD 2＝AC 2， 所以△ADC 是直角三角形， 且∠ADC＝90°. 所以AD⊥CD.
勾股定理的逆定理的实际应用
7．王伟准备用一段长30 m的篱笆围成一个三角形形状的小 圈，用于饲养家兔．已知第一条边长为a m，由于受地 势限制，第二条边长只能是第一条边长的2倍多2 m. (1)请用a 表示第三条边长． (2)问第一条边长可以为7 m吗？请说明理由，并求出a 的 取值范围． (3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状，且各边长均为 整数？若能，说明你的围法；若不能，请说明理由．
(1)第一条边长为a m，第二条边长为(2a＋2)m，所以第三条边长为30－a－(2a＋2)＝28－3a (m)；(2)第一条边长不可以为7 m，理由如下：如果第一条边长为7 m，那么第二条边长为16 m，第三条边长为7 m，7＋7