2022-2023学年高考数学二轮复习立体几何妙招 4双距离单交线公式（原卷＋解析版）

第4讲  双距离单交线公式

知识与方法

两个三角形平面存在夹角为,其外接球半径为,则,其中

:平面外接圆圆心到交线距离

:平面外接圆圆心到交线距离

与夹角(当且仅当其中一个三角形为钝角的时候,取二面角的补角)

两平面的交线长度

证明：

为球心,为三角形的外接圆圆心,为三角形的外接圆圆心为中点,面面，,设

余弦定理

是斜边,为直径的圆经过

正弦定理得:

在三角形中使用勾股定理求外接球半径

,所以

典型例题

【例1】在三棱锥中,底面是边长为3的等边三角形,,若此三棱锥外接球的表面积为,则二面角的余弦值为        。

【例2】在三棱锥中,,二面角的大小为,则三棱锥的外接球的表面积为(  )

A. B. C. D.

【例3】在三棱锥中,是边长为3的等边三角形,,二面角的大小为,则此三棱锥的外接球的表面积为        。

【例4】在三棱锥中,是边长为的等边三角形,,二面角的大小为,则此三棱锥的外接球的表面积为        。

【例5】在菱形中,,将沿折起到的位置,若二面角的大小为,三棱锥的外接球心为点,则三棱锥的外接球的表面积为（ ）

A. B. C. D.

【例6】在三棱锥中,,当二面角的余弦值为时,三棱锥外接球的表面积为(  )

A. B. C. D.

强化训练

1.在四棱锥中,底面为正方形,为等边三角形,线段中点为,若,则四棱锥的外接球的表面积为        。

2.已知在三棱锥中,,则三棱锥外接球的表面积为        。

3.在三棱锥中,则三棱锥的外接球的表面积为(  )

A. B. C. D.

4.在三棱锥中,,二面角的余弦值为一,当三棱锥的体积的最大值为时,其外接球的表面积为(  )

A. B. C. D.

5.在三棱锥中,是边长为2的等边三角形,是以为斜边的直角三角形,二面角的大小为,则该三棱锥外接球的表面积为        。

6.在四面体中,,二面角的大小为,则四面体外接球的半径为        。

7.已知三棱锥中,是以角为直角的直角三角形,,为的外接圆的圆心,,那么三棱锥外接球的体积为(  )

A. B. C. D.

8.在三棱锥中,是的中点,与均是正三角形,,则三棱锥的外接球的表面积为(    )

A. B. C. D.