2023高考数学二轮复习（知识点多）专题26 数列的通项公式 （原卷＋解析版）

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专题26 数列的通项公式
【考点预测】
类型Ⅰ 观察法：
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．
类型Ⅱ 公式法：
若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解．
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
类型Ⅲ 累加法：
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相加，可得：
①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；
④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．
类型Ⅳ 累乘法：
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
类型Ⅴ 构造数列法：
（一）形如（其中均为常数且）型的递推式：
（1）若时，数列{}为等差数列；
（2）若时，数列{}为等比数列；
（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：
法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出
（二）形如型的递推式：
（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出 ，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出
（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得
法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出
法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）
时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．
（3）当为任意数列时，可用通法：
在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得．
类型Ⅵ 对数变换法：
形如型的递推式：
在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）．
类型Ⅶ 倒数变换法：
形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；
还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．
类型Ⅷ 形如型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式








【题型归纳目录】
题型一：观察法
题型二：叠加法
题型三：叠乘法
题型四：待定系数法
题型五：同除以指数
题型六：取倒数法
题型七：取对数法
题型八：已知通项公式与前项的和关系求通项问题
题型九：周期数列
题型十：前n项积型
题型十一：“和”型求通项
题型十二：正负相间讨论、奇偶讨论型
题型十三：因式分解型求通项
题型十四：其他几类特殊数列求通项
题型十五：双数列问题
题型十六：通过递推关系求通项

【典例例题】
题型一：观察法
例1．（2022·山东聊城·高三期末）某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列.如图，第一行构造数列1，2；第二行得到数列；第三行得到数列，则第5行从左数起第6个数的值为________.用表示第行所有项的乘积，若数列满足，则数列的通项公式为________.

【答案】     8    
【解析】（1）根据题意，第5行的数列依次为：1,2,2,4,2,8,4,8,2,16,8,32,4,32,8,16,2
从左数起第6个数的值为8；
（2）,
,
,
,

故有
则
故答案为：①8；②
例2．（2022·河南商丘·高三阶段练习（理））将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则其通项___________.
【答案】
【解析】数列中的项为：2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256，…
经检验，数列中的偶数项都是数列中的项.
即，，，256，… 可以写成的形式，观察，归纳可得.
故答案为：.
例3．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））2022北京冬奥会开幕式上，每个代表团都拥有一朵专属的“小雪花”，最终融合成一朵“大雪花”，形成了前所未有的冬奥主火炬，惊艳了全世界！（如图一），如图二是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案．设原正三角形（图①）的边长为3，把图二中的①，②，③，④，……图形的周长依次记为，，，，…，得到数列．

(1)直接写出，的值；
(2)求数列的通项公式．
【解析】(1)，.
(2)由图形的作法可知：
从边数看，后一个图形的边数是前一个图形的边数的倍，所以，从一个正三角形开始，“雪花”图案的作法所得图形的边数是
以为首项，为公比的等比数列，所以，第个图形的边数为，
从边长看，后一个图形的边长是前一个图形的边长的倍，所以，从一个正三角形开始，“雪花”图案的作法所得图形的边长是
以为首项，为公比的等比数列，所以，第个图形的边长为，
所以，.
例4．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（文））一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①，②，③，④分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照此规律，第步完成时对应图案中所包含小正方形的个数构成的数列记为．

(1)写出，，，的值；
(2)猜想数列的表达式，并写出推导过程；
(3)求证：．
【解析】(1)解：根据图①，②，③，④分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照此规律，
可知，，，，.
(2)解：数列的通项公式为：；
推导过程如下：
由图可得；
；
；
；
；

由上式规律，可得，
所以，
所以，当n=1符合
即数列的通项公式为.
(3)解：由，当时，，
所以原式，
因为，可得，可得.
例5．（2022·安徽·合肥市第六中学高二期末）如图，第1个图形需要4根火柴，第2个图形需要7根火柴，，设第n个图形需要根火柴．

(1)试写出，并求；
(2)记前n个图形所需的火柴总根数为，设，求数列的前n项和．
【解析】(1)由题意知：，，，，
可得每增加一个正方形，火柴增加3根，即，
所以数列是以4为首项，以3为公差的等差数列，则.
(2)由题意可知，，
所以，则，
所以，，
即．
例6．（2022·全国·高二课时练习）古希腊的毕达哥拉斯学派将1，3，6，10等数称为三角形数，因为这些数目的点总可以摆成一个三角形，如图所示.把所有的三角形数按从小到大的顺序排列，就能构成一个数列，写出以及.

【解析】由题意得：，
所以



累加可得，
当n=1时，满足上式，
所以，
所以
例7．（2022·全国·高二课时练习）观察数列的特点，在每个空白处填入一个适当的数，并写出每个数列的一个通项公式：
(1)1，3，7，____，31，____，127；
(2)2，5，____，17，26，____，50；
(3)，，____，，，____，；
(4)1，，____，2，，____，．
【解析】(1)观察数列得各项加1后是2的幂次，应填空；，；
(2)观察数列得各项减1后是正整数的平方，应填空10；37，；
(3)观察数列得后项等于前项乘以，应填空；，；
(4)观察数列得各项都化为二次根式后，为正整数的正的平方根，应填空；，．
例8．（2022·广东·广州市培正中学三模）设是集合{且}中所有的数从小到大排列成的数列，即，，，，，，…．将各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表．

（1）写出该三角形数表的第四行、第五行各数（不必说明理由）；
（2）设是该三角形数表第行的个数之和所构成的数列，写出的通项公式；
（3）求的值.
【解析】（1）由题意，，，，，，，
∴第四行：，，，，
第五行：，，，，，
（2）由（1）知：第行的个数之和，
∴的通项公式；
（3）由前n行的项数为个，而，易知为第十四行的第9项，由上知：通项公式中表示第行，表示第+1列，
∴.
【方法技巧与总结】
观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项．使用观察法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有或者 部分．②考虑各项的变化规律与序号的关系．③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方、与有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列．
题型二：叠加法
例9．（2022·全国·高三专题练习）已知，，求通项________.
【答案】
【解析】解： ，即，
， ，，， ，
以上各式相加得，
又，所以，
而也适合上式，.
故答案为：
例10．（2022·内蒙古·乌兰浩特一中模拟预测（文））已知数列满足则求___________
【答案】
【解析】∵
∴
∴,
,
,
…
，
将以上99个式子都加起来可得，
.
故答案为：.
例11．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，则数列的前2022项的和为___________.
【答案】
【解析】由题意可知，满足，
当时，，
，以上各式累加得，
.
，
当时，也满足上式，∴，则.
∴数列的前n项和为，
∴.
故答案为：.
例12．（2022·全国·高三专题练习）数列中，，则__________.
【答案】
【解析】因为，所以，
则当时， ，将个式子相加可得
，因为，则，
当时，符合题意，所以.
所以
故答案为：.
例13．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）在数列中，已知，，.
(1)若，求数列的通项公式；
(2)记，若在数列中，，求实数的取值范围.
【解析】(1)由题意， ，得：   ，运用累加法：
，
，
，
，n=1时，也成立，∴ ；
(2)由（1） ， ，
由题意 ，即 ，
化简得： ，
当 时， ，即     ，
当 时，   ，即 ，
即 ；
综上，，.
【方法技巧与总结】
数列有形如的递推公式，且的和可求，则变形为，利用叠加法求和
题型三：叠乘法
例14．（2022·浙江浙江·二模）已知等差数列的前项和为，满足，．数列满足，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设数列满足，，记数列的前项和为，若，求的最小值．
【解析】(1)设等差数列的公差为d，由题意可得：，解得：，
所以，所以数列的通项公式为；
因为数列满足，，，
所以
当时，
，
又满足，所以数列的通项公式为.
(2)由（1）可得: ，所以，
所以.
所以，即为.
又因为恒成立，
所以单调递减,且，所以解得n≥6,
故n的最小值为6.
例15．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列的前n项和为，且满足，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前n项和.
【解析】(1)解：时，，解得.
当时，，故，
所以，
故.
符合上式
故的通项公式为，.
(2)解：结合（1）得
，
所以
.
例16．（2022·全国·高三专题练习）在数列中，，(n≥2)，求数列{an}的通项公式.
【解析】因为a1=1，(n≥2)，所以，
所以·…··1=.
又因为当n=1时，a1=1，符合上式，所以.
例17．（2022·全国·高三专题练习）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【解析】(1)∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
(2)
∴
例18．（2022·福建南平·三模）已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若满足，.设为数列的前项和，求.
【解析】(1)因为，，
所以当时，，则，即，
当时，也成立，所以.
(2)由（1），，，
则，
则
.
例19．（2022·全国·高三专题练习）数列满足：，，则的通项公式为_____________.
【答案】
【解析】由得，，
则，
即，又，所以.
故答案为：.
例20．（2022·山西太原·二模（理））已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列数列的前n项和______．
【答案】．
【解析】解：因为，
所以，则，
则，
，
当时，，
当时，，
综上：，
所以，
所以数列的前n项和为：
，
故答案为：
例21．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式___________.
【答案】n
【解析】解：∵，∴
当时，，


当时，成立，
∴，
当时，，
当时，满足上式，
∴.
故答案为：n
例22．（2022·全国·高三专题练习）数列中，，当时，，则数列的通项公式为______．
【答案】
【解析】解：因为，
所以， ，，，
累乘得：， ，
所以，．
由于，所以，．
显然当时，满足，
所以，．
故答案为：
例23．（2022·全国·模拟预测）在数列中，，，若，且对任意，恒成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解:由，得
，
所以，当时，，符合上式，
所以．
所以，，
作差得，
所以．由，得，
整理得．
易知函数在上单调递增，所以当时，，所以.
故选：A．
【方法技巧与总结】
数列有形如的递推公式，且的积可求，则将递推公式变形为，利用叠乘法求出通项公式
题型四：待定系数法
例24．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足：，设，．则__________．
【答案】
【解析】依题意，
，
所以数列是首项，公比为的等比数列，
所以，.

，也满足，
所以，
，
所以.
故答案为：
例25．（2022·四川宜宾·二模（理））在数列中，，，且满足，则___________.
【答案】
【解析】解：因为，，，显然，所以
，同除得，所以，所以，所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，所以

所以
故答案为：
例26．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，若，则数列的前n项和_______.
【答案】
【解析】由，有，；
两式相除得到，所以是以为公比，为首项的等比数列，所以，，，从而.
所以.
故答案为：
例27．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式.
【解析】令.先求出数列的不动点，
解得.
将不动点代入递推公式，
得，
整理得，，
∴.
令，
∴，.
∴数列是以为首项，以1为公差的等差数列.
∴的通项公式为.
将代入，得.
∴.
例28．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足：，，求数列的通项公式.
【解析】因为，故且，
故，而 ，故，故，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
故，解得.
例29．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，求的通项.
【解析】因为的特征函数为，
则特征方程为，即，
解得，
则，①
.②
则①÷②得，
∴数列是公比为的等比数列，
∴.
∵，∴，
即.
例30．（2022·全国·高三专题练习）已知，，求的通项公式.
【解析】设，
即，解得，即不动点为，，
可变形为，
即数列是以为首项，为公差的等差数列，
其通项公式，
得.
例31．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式.
【解析】解：当时，，，，以此类推可知；
当时，，，，以此类推可知；
当且且时，特征方程为，即，解得或，
因为且且，且且，可知对任意的，且.
构造数列，则，
所以，数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为，
所以，，解得.
综上所述，.
例32．（2022·全国·高三专题练习）(1)已知数列，其中，，且当时，，求通项公式；
(2)数列中，，，，求．
【解析】(1)由得：，
令，则上式为．
因此是一个等差数列，，公差为1，故．
由于，
又，，即．
(2)由递推关系式，得，
令，则，且．
符合该式，
，
令，则，即，
即，且，
故是以为首项，为公比的等比数列．
，即，
.
例33．（2022·江苏·高三阶段练习）已知数列满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和
【解析】（1），
由此可得数列构成以为首项，公比的等比数列，
利用等比数列通项公式得： ，
所以数列的通项公式为：.
（2）由（1）得
，
例34．（2022·全国·高三专题练习）数列中，，，求的通项公式.
【解析】， ，即
又，则
是首项为，公差为的等差数列，
，即，
故答案为：
【方法技巧与总结】
形如（为常数，且）的递推式，可构造
，转化为等比数列求解．也可以与类比式作差，由，构造为等比数列，然后利用叠加法求通项．
题型五：同除以指数
例35．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知数列的首项，且满足，
（1）设，证明是等差数列；
（2）求数列的前项和.
【解析】（1）将等式两边都减去得.
再除以得，即.
即.且.
所以是首项为，公差为的等差数列.
(2) 由（1）知，所以.
所以.
则...........................①
.........................②
①-②得：

所以.
例36．（2022·天津·二模）记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，数列满足，且.
(1)求的通项公式；
(2)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(3)求证：对任意的，.
【解析】(1)解：设等差数列的公差为，
因为，
则，
解得或（舍去），
所以；
(2)证明：因为，
所以，即，
所以，
因为，所以，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以；
(3)证明：由（2）得，
故

，
所以.
例37．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，求数列的通项公式；
【解析】解：由，
得：，
∴，
即数列是首项为1，公差为2的等差数列，
∴，
得．
例38．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和.
【解析】(1)因为，所以，
由于，
因此，
所以，即.
于是，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列.
(2)由（1）知，故，
所以，
，
两式相减，得，
所以.
【方法技巧与总结】
形如 ，）的递推式，当时，两边同除以转化为关于的等差数列；当时，两边人可以同除以得，转化为．
题型六：取倒数法
例39．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，则数列__________
【答案】
【解析】解：由两边取倒数可得，即
所以数列是等差数列，且首项为，公差为，所以，
所以；
故答案为：
例40．（2022·全国·高三专题练习）数列中，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，
故，记，则，
两边取倒数，得，所以是以为公差的等差数列，
又，所以，所以，
故.
故选：C.
例41．（2022·江苏南京·模拟预测）已知数列满足．若，则______；若，则______．
【答案】     2604     【解析】由取倒数得，即，
则当时，，
当时，上式也成立，于是得，
当时，，有，于是得；
当时，，即，所以.
故答案为：2604；
【方法技巧与总结】
对于，取倒数得．
当时，数列是等差数列；
当时，令，则，可用待定系数法求解．
题型七：取对数法
例42．已知数列的首项为9，且，若，则数列的前项和　　．
【解析】解：数列的首项为9，且，
所以：，
所以两边取对数得：，
整理得：（常数），
所以：数列是以为首项，2为公比的等比数列．
所以：，
所以：，
由于，所以：，
故：两边取倒数得到：，
所以数列的前项和．
故答案为：
例43．（2022•蚌埠三模）已知数列满足，若，则的最大值为　　．
【解析】解：数列满足，
．
，
，变形为：，
．
数列是等比数列，首项为，公比为．
．
则．
，只考虑为偶数时，
时，．
时，．
因此（4）取得最大值．最大值为．
故答案为：．
例44．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，则________
【答案】
【解析】
等价变形，换元设，得
，两边取对数，得是首项，公比的等比数列，求出可解 .
【详解】
，，
，设，则，，两边取对数，
， ，所以是首项，公比的等比数列，
， ，

故答案为：
【方法技巧与总结】
形如的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解．
题型八：已知通项公式与前项的和关系求通项问题
例45．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和满足：.求数列的通项公式；
【解析】，

两式相减得到.
当时，可得，
又，是首项为，公比为的等比数列
的通项公式为.
例46．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和为，满足.求数列的通项公式；
【解析】①；
当时，代入①得.
当时，②；
①-②得，
整理得，
因为，所以，
所以数列为等差数列，公差为1，
所以.
例47．（2022·江西九江·三模（理））已知数列的前项和为，且满足，.
(1)求；
(2)求数列的前项和.
【解析】(1)当时，，
∵，∴.
当时，由，得，
两式相减得
即
∴数列，均为公比为4的等比数列
∴，
∴
(2)∵
∴数列的前项和


例48．（2022·福建·福州三中高三阶段练习）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【解析】(1)由于，所以①，
当时，②，
①-②得，

整理得，所以为常数数列，又，
所以.
(2)由（1）得，
所以①，
②，
①-②得，
故.
例49．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，，且．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若，，成等比数列，求正整数m．
【解析】(1)因为，
所以，即，
则．
又，，满足，
所以是公差为4的等差数列．
(2)由（1）得，，
则．
又，
所以，
化简得，解得m＝7或（舍）．
所以m的值为7．
例50．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设数列的前n项和为，．
(1)证明：数列是等比数列．
(2)若数列的前m项和，求m的值．
【解析】(1)当时，，．
当时，，两式相减得，
即，，
则数列是首项为2，公比为2的等比数列．
(2)由（1）得，，当时，，
数列的通项公式为．
，
，
令，
得，解得．
例51．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知正项数列满足，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【解析】(1)解：因为，①
当时，．②
①②得，所以．
当时，，也满足上式，
所以．
(2)解：因为，
则，
则．
例52．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）已知数列的前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，，求数列的前项和．
【解析】(1)当时，；
当时，．
综上，
(2)因为，
所以当时，，所以．
当时，由
得，所以．
又当时，，所以．
所以，
，
所以，
所以．
例53．（2022·福建·三明一中模拟预测）设数列的前n项和为，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【解析】(1)因为．
所以，解得．
当时，，
所以，所以，即．
因为也满足上式，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以．
(2)由（1）知，所以，
所以…①
…②
①-②得
，所以．
例54．（2022·全国·高三专题练习）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【解析】(1)解：因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
(2)解：由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时．
例55．（2022·福建·厦门一中模拟预测）已知数列的前项和，，，．
(1)计算的值，求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【解析】(1)解：当时，，解得，
由题知①，②，
由②①得，因为，所以，
于是：数列的奇数项是以为首项，以4为公差的等差数列，
即，
偶数项是以为首项，以4为公差的等差数列，
即
所以的通项公式；
(2)解：由（1）可得，

.
例56．（2022·福建省福州第一中学三模）设数列的前n项和为，，，.
(1)证明：为等差数列；
(2)设，在和之间插入n个数，使这个数构成公差为的等差数列，求的前n项和.
【解析】(1)证明：因为时，，
则，
即，，·
因为，·
则×××××××××①，
所以×××××××××②，
则①②得，
即，·
所以为等差数列.
(2)解：由（1）可得的首项为，公差为，所以，
所以，
所以，则，
记的前n项和为，
则×××××××××①，
所以×××××××××②，
则①②得，·
所以，·
所以.·
（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，令
(1)求证：是等比数列；
(2)记数列的前项和为，求.
【解析】(1)证明：，
，①
②
①-②得，
经检验，当时上式也成立，
即.
所以
即，且.
所以是首项为3，公比为3的等比数列.
(2)由（1）得，.
所以，

两式相减，得
，

例57．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，且有．
(1)求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和，证明：．
【解析】(1)由题，
当时，，∴；
当时，由，
所以，两式相减，
可得，∴．
当时，满足，∴．
(2)由题，
所以，
∵，∴，∴．
例58．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知首项为1的数列的前项和为，且．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)若数列满足，求证：．
【解析】(1)证明：两边同时除以，
得，
又，故是以为首项，为公差的等差数列．
(2)解：由（1）可知，，
则．
当时，，
而符合上式，故．
(3)证明：因为，故，
且，
而，
故．
例59．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））设数列前n项和为，若，，则___________.
【答案】
【解析】解：当时，，
，整理可得，
，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，，
.
故答案为：
例60．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））已知数列满足，则___________.
【答案】
【解析】①，
②，
两式相减得：，
所以，经检验符合要求.
则，
则③，
④，
③-④得：
，
所以
故答案为：
例61．（2022·全国·模拟预测（理））已知数列的前项和为．若，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时，由①，可得：②，两式相减得：，
所以，，
当时，，
故数列是从第二项开始的，公比是2的等比数列，
所以，
所以
故选：C
例62．（2022·陕西省神木中学高一期末）已知数列的前项和为，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，则，于是得，
因此数列是公差为1的等差数列，首项，则，所以.
故选：D
例63．（2022·内蒙古·赤峰二中模拟预测（理））在数列中，，，则的值为(       )
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【解析】∵，，∴，解得.
∵，∴，两式相减得，，
∴，
∴是以＝3为首项，2为公比的等比数列，
∴，两边同除以，则，
∴是以为公差，为首项的等差数列，
∴，
∴，
∴.
故选：A.
【方法技巧与总结】
对于给出关于与的关系式的问题，解决方法包括两个转化方向，在应用时要合理选择．一个方向是转化为的形式，手段是使用类比作差法，使=（，），故得到数列的相关结论，这种方法适用于数列的前项的和的形式相对独立的情形；另一个方向是将转化为（，），先考虑与的关系式，继而得到数列的相关结论，然后使用代入法或者其他方法求解的问题，这种情形的解决方法称为转化法，适用于数列的前项和的形式不够独立的情况．
简而言之，求解与的问题，方法有二，其一称为类比作差法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式独立的情形，其二称为转化法，实质是转化的形式为的形式，适用于的形式不够独立的情形；不管使用什么方法，都应该注意解题过程中对的范围加以跟踪和注意，一般建议在相关步骤后及时加注的范围．
题型九：周期数列
例64．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知数列满足，若的前n项积的最大值为3，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】数列中，，，则有，因此，，，
因数列的前n项积的最大值为3，则当，的前n项积，
当，的前n项积，
当，的前n项积，解得，
当，的前n项积，
当，的前n项积，
当，的前n项积，解得，
显然，综上得或，
所以的取值范围为.
故选：A
例65．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知数列中，，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当为奇数时，，即数列中的奇数项依次构成首项为，公差为的等差数列，
所以，，
当为偶数时，，则，两式相减得，
所以，，
故，
故选：D.
例66．（2022·海南省直辖县级单位·三模）已知数列中，，，，则（       ）
A．4 B．2 C．-2 D．-4
【答案】D
【解析】因为，，，所以，
则，，，…，
所以数列是以3为周期的数列，
则.
故选：D.
例67．（2022·江苏·扬州中学高三阶段练习）在数列中，，，，则______；的前2022项和为______．
【答案】          2024
【解析】由，得，又，
所以，，，，，
可知数列为周期数列，周期为4，
故.
故答案为：；2024.
例68．（2022·上海静安·二模）数列满足，，若对于大于2的正整数，，则__________.
【答案】【解析】由题意知：，
故是周期为3的周期数列，则.
故答案为：.
例69．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知数列的前项和为，且，，则______.
【答案】1011
【解析】解：由，
得，
，
，
所以数列是以3为周期的周期数列，
又，，
所以．
故答案为：1011
例70．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知数列满足：，，则______．
【答案】
【解析】由题意得：，，，，
数列是周期为的周期数列，.
故答案为：.
例71．（2022·全国·模拟预测）在数列中，，，则___．
【答案】
【解析】由，，可得，．
∴可得．所以数列的周期为3.
．
故答案为：.
例72．（2021·全国·高三专题练习（文））已知正整数数列满足,则当时，___________.
【答案】4
【解析】由题意，，，，，，…，
数列从第二项起是周期数列，周期为3，
所以．
故答案为：4．
【方法技巧与总结】
（1）周期数列型一：分式型
（2）周期数列型二：三阶递推型
（3）周期数列型三：乘积型
（4）周期数列型四：反解型
题型十：前n项积型
例73．（2022•徐州模拟）已知数列的前项积为，若对，，都有成立，且，，则数列的前10项和为　　．
【解析】解：数列的前项积为，若对，，都有成立，
且，，
则：，，
进一步求出：，，
，
所以：，，，，
故：．
故答案为：1023
例74．（2022•重庆模拟）若数列满足其前项的积为，则　　．
【解析】解：数列满足其前项的积为，故前项的积为，，
，当时，，显然，它对于第一项也是成立的，
故，．
故答案为：，．
例75．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项积为，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求n的最小值.
【解析】(1)因为，
所以，
即，
同理得所以，
因为，所以，所以得，
则，因为当时，，得，
所以不恒等于0，
所以，即是首项为，公比为的等比数列，
则，即.
(2)由（1）可得，
所以，
所以，
所以当时，，
当时，，
所以的最小值为.
例76．（2022·全国·高三专题练习）已知数列中，，且
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求证：对于任意的正整数是与的等比中项．
【解析】(1)当时，，则，由可得，则，
则，即，即，故数列是首项为，公差为的等差数列；
(2)由（1）知，，则，当时，，则；
当时，，，则；
综上可得：对于任意的正整数是与的等比中项．
例77．（2022·全国·模拟预测）数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)数列中是否存在最大项和最小项？若存在，求出相应的最大项或最小项；若不存在，说明理由．
【解析】(1)因为，
所以
两式相除得，
又当时，满足上式，所以
从而，
所以，
，，

累加可得时，则，
又当时，亦符合该通项，
所以的通项公式为，．
(2)设，则数列是摆动数列，所有奇数项均为负数，所有偶数项均为正数．
所以若出现最大项，一定在偶数项出现；若出现最小项，一定在奇数项出现．
（i）考查奇数项，令，解得，此时，
又，且，所以,
所以有，这表明数列的最小项为．
（ii）考查偶数项，令，解得，此时，
又，即，
所以有，这表明数列的最大项为．
综上所述，存在最大项和最小项，最大项为第四项，最小项为第三项．
例78．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列前n项积为，且．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，求证：．
【解析】(1)因为，所以，
所以，
两式相除，得，整理为，
再整理得，．
所以数列为以2为首项，公差为1的等差数列．
(2)因为，所以，
由（1）知，，故，
所以．
所以
．
又因为，
所以．
【方法技巧与总结】
类比前项和求通项过程：
（1），得
（2）时，
题型十一：“和”型求通项
例79．（2022秋•河南月考）若数列满足为常数），则称数列为等比和数列，称为公比和，已知数列是以3为公比和的等比和数列，其中，，则　　．
【解析】解：由，，
，即，
，，，即，
，，，．
，
由此可知．
故答案为：．
例80．（2022秋•南明区校级月考）若数列满足，则　　．
【解析】解：，
则
．
故答案为：．
例81．（2022·青海西宁·二模（理））已知为数列的前项和，，，则（       ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2024
【答案】C
【解析】当时， ，
当时，由得，
两式相减可得
，即，
所以，可得，
所以.
故选：C.
例82．（2022·全国·高三专题练习）数列满足，，且其前项和为.若，则正整数（       ）
A．99 B．103 C．107 D．198
【答案】B
【解析】由得，
∴为等比数列，∴，
∴，，
∴，
①为奇数时，，；
②为偶数时，，，
∵，只能为奇数，∴为偶数时，无解，
综上所述，.
故选：B.
例83．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习（理））已知数列的前项和为，若，且，，则的值为
A．－8 B．6 C．－5 D．4
【答案】C
【解析】对于，
当时有，即
，
，
两式相减得：
，
由可得

即从第二项起是等比数列，
所以，
即，
则，故，
由可得，
故选C.
例84．（2022·浙江省春晖中学模拟预测）已知数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足 ，定义使为整数的叫做“幸福数”
，求区间内所有“幸福数"的和.
【解析】(1)因为，
所以当 时，，
故两式相减得： ，即的奇数项和偶数项各自成等差数列，且公差为2，且，
所以奇数项 ，则为奇数时， ，
偶数项，则为偶数时， ，
故数列的通项公式为；
(2)由（1）可得，，
所以，
设,故 ，
令，则 ，由于m是整数，故m的值取1，2，3，4，5，
故区间内所有“幸福数"的和为
.
例85．（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知数列{}满足
(1)求数列{}的通项公式；
(2)设，求数列{}的前n项和，并求的最大值.
【解析】(1)解：由得，
又，所以，
由得
从而，
因此数列和数列都是等差数列，它们的公差都等于.
所以
即当n为奇数时，；

即当n为偶数时，
综上，数列{}的通项公式为
(2)解：由（1）可得

所以


当n为奇数时，
当n为偶数时，，且随着n的增大，在减小，
所以当时，取得最大值.

【方法技巧与总结】
满足，称为“和”数列，常见如下几种：
（1）“和”常数型
（2）“和”等差型
（3）“和”二次型
（4）“和”换元型
题型十二：正负相间讨论、奇偶讨论型
例86．数列满足，前16项和为540，则　　．
【解析】解：因为数列满足，
当为奇数时，，
所以，，，，
则，
当为偶数时，，
所以，，，，，，，
故，，，，，，，
因为前16项和为540，
所以，
所以，解得．
故答案为：．
例87．（2022•夏津县校级开学）数列满足，前16项和为508，则　　．
【解析】解：由，
当为奇数时，有，
可得，

，
累加可得；
当为偶数时，，
可得，，，．
可得．
．
，
，即．
故答案为：3．
例88．（2022秋•舒城县校级月考）已知数列满足：，则数列的前40项和　 ．
【解析】解：由，
当时，有，①
当时，有，②
当时，有，③
①②得：，
①③得：，
．

．
故答案为：420．
例89．（2022春•漳州期末）已知数列满足，则的前40项和为　　　．
【解析】解：，
当为奇数时，，
，，，，，．
从第一项开始，相邻两项的和构成以为首项，以为公差的等差数列．
所以的前40项和为，
故答案为：．
例90．（2022秋•普陀区校级期末）已知数列的首项，且满足，则　　．
【解析】解：因为，
所以，
两式相除可得，
所以数列的各个奇数项成等比数列，公比为2，
数列的各个偶数项成等比数列，公比为2，
又因为，所以，
又，所以，
可得当为偶数时，，
所以．
故答案为：512．
例91．（2022•鼓楼区校级模拟）已知数列中，，，则　　．
【解析】解：，，
可得，
由，
即为奇数时，；为偶数时，；
可得数列的奇数项是首项为1，公差为1的等差数列，偶数项是首项为0，公差为的等差数列，
则，
故答案为：．
例92．（2022春•东安区校级期中）已知数列满足：，则的前40项的和为　　
A．860 B．1240 C．1830 D．2420
【解析】解：由，
得，，，，
，，，，．
从而可得：，，，，
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都为3，从第二项起，依次取2个相邻偶数项的和，
构成以13为首项，以24为公差的等差数列，
则的前40项的和为．
故选：．
例93．（2022·全国·高三专题练习）设数列的前n项和为，已知，则_________.
【答案】960
【解析】由，
当n为奇数时，有；当n为偶数时，，
∴数列的偶数项构成以2为首项，以2为公差的等差数列，
则
，
故答案为：960.
例94．（2022·辽宁·盘锦市高级中学高三阶段练习）已知数列，满足且，设是数列的前项和，若，则的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由且，
得，， ，
所以，，
，
又，所以，解得.
故选:C.
例95．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，且．
(1)求的通项公式；
(2)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答．
若数列满足______，求的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】(1)因为，且，所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列，
所以，所以当为奇数时，，当为偶数时，，
综上，．
(2)方案一：选条件①．
当为偶数时，，则，
所以是以5为首项，3为公比的等比数列；
当为奇数时，，则，
所以是以3为首项，3为公比的等比数列．
所以．
方案二：选条件②．
当为偶数时，，则，
所以是以1为首项，3为公比的等比数列；
当为奇数时，，则，
所以是以1为首项，3为公比的等比数列．
所以．
方案三：选条件③．
当为偶数时，，则，
所以是以6为首项，9为公比的等比数列；所以当为偶数时，
当为奇数时，，则，
所以是以2为首项，9为公比的等比数列．所以当为奇数时，
所以，，即是以2为首项，3为公比的等比数列，
所以．
【方法技巧与总结】
（1）利用n的奇偶分类讨论，观察正负相消的规律
（2）分段数列
（3）奇偶各自是等差，等比或者其他数列
题型十三：因式分解型求通项
例96．（2022秋•安徽月考）已知正项数列满足：，，．
（Ⅰ）判断数列是否是等比数列，并说明理由；
（Ⅱ）若，设．，求数列的前项和．
【解析】解：（Ⅰ），，
又数列为正项数列，
，
①当时，数列不是等比数列；
②当时，，此时数列是首项为，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：，
，
．
例97．（2022•怀化模拟）已知正项数列满足，设．
（1）求，；
（2）判断数列是否为等差数列，并说明理由；
（3）的通项公式，并求其前项和为．
【解析】解：（1），，，
可得，
则，
数列为首项为1，公比为2的等比数列，
可得；
，
，；
（2）数列为等差数列，理由：，
则数列为首项为0，公差为1的等差数列；
（3），
前项和为．
例98．（2022秋•仓山区校级月考）已知正项数列满足且
（Ⅰ）证明数列为等差数列；
（Ⅱ）若记，求数列的前项和．
【解析】证明：由，
变形得：，
由于为正项数列，，
利用累乘法得：从而得知：数列是以2为首项，以2为公差的等差数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：，
从而．
例99．已知正项数列的前项和满足：，数列满足，且．
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求．
【解析】解：（1），
当时，，，
解得．
又，，
，
当时，，
当时上式也成立，
．
（2）数列满足，且．
．
，
当为偶数时，数列的前项和为
．
当为奇数时，数列的前项和为
．
当时也成立，
．
例100．（2022•四川模拟）已知数列的各项均为正数，且满足．
（1）求，及的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【解析】解：（1）当时，，
；
当时，，
；
由已知可得，且，
．
（2）设，
，
是公比为4的等比数列，
．
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【方法技巧与总结】
利用十字相乘进行因式分解
题型十四：其他几类特殊数列求通项
例101．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校模拟预测（理））设数列的前n项和为，满足，则下列说法正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为数列的前n项和为，满足，
所以当时， ，解得或，
当时，，整理得，
所以数列是以1为公差的等差数列，
当时，，所以或
所以，首项满足此式，或首项满足此式，
所以或，
所以CD错误，
当时，
，
当时，
，
所以A正确，B错误，
故选：A
例102．（2022•辽宁三模）在数列中，已知各项都为正数的数列满足．
（1）证明数列为等比数列；
（2）若，，求的通项公式．
【解析】（1）证明：各项都为正数的数列满足，
得，，
所以数列是公比为的等比数列；
（2）解：因为，，
所以，
由（1）知数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
于是，，
所以，即．
例103．（2022•全国模拟）已知各项都为正数的数列满足．
（1）证明：数列为等比数列；
（2）若，，求的通项公式．
【解析】证明：（1）各项都为正数的数列满足，
得，，
所以数列是公比为3的等比数列；
（2）因为，，
所以，
由（1）知数列是首项为2，公比为3的等比数列，
所以，
于是，，
所以，即，也符合．
故．
例104．（2022•虹口区一模）（1）定义：若数列满足，则称为“平方递推数列”．已知：数列中，，．
①求证：数列是“平方递推数列”；
②求证：数列是等比数列；
③求数列的通项公式．
（2）已知：数列中，，，求：数列的通项．
【解析】解：（1）①由条件，得．
数列是“平方递推数列”；
②令，．则．
，．
数列是等比数列；
③由②知，，，
（2）两边同乘以得，，
，
两边取对数得：
数列是以为首项，3为公比的等比数列


例105．（2022秋•上城区校级月考）已知正项数列满足，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）证明：．
【解析】证明：（1）．
．
，，，
数列首项为2公比为2的等比数列，
（2）由（1）可得，．
．
，时取等号）．
，
．
例106．（2022•湖南一模）在数列中，已知，，．
（Ⅰ）证明数列 是等比数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，的前项和为，求证．
【解析】证明：（Ⅰ）由得：，
又，，即，
所以， 是首项为2，公比为2的等比数列．（3分）
，（4分）
；（7分）
（Ⅱ），（8分）
，（9分）
，
所以
．（14分）
【方法技巧与总结】
（1）二次型：形如
（2）三阶递推：形如型，多在大题中，有引导型证明要求
（3）“纠缠数列”：两个数列，多为等差和等比数列，通项公式组成“方程组”
（4）数学归纳型：可以通过数学归纳法，猜想，证明（小题省略证的过程）
题型十五：双数列问题
例107．（2022·河北秦皇岛·三模）已知数列和满足．
(1)证明：是等比数列，是等差数列；
(2)求的通项公式以及的前项和．
【解析】(1)证明：因为，
所以，即，
所以是公比为的等比数列．
将方程左右两边分别相减，
得，化简得，
所以是公差为2的等差数列．
(2)由（1）知，
，
上式两边相加并化简，得，
所以．
例108．（2022·全国·高三专题练习）两个数列､满足，，，（其中），则的通项公式为___________.
【答案】
【解析】解：因为，，
所以，
所以，即，所以的特征方程为，解得特征根或，
所以可设数列的通项公式为，因为，，
所以，所以，解得，
所以，所以；
故答案为：
例109．（2022·全国·高三专题练习）已知数列和满足，，，.则＝_______.
【答案】
【解析】
求出，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出，进一步推导出数列为等差数列，确定该等差数列的首项和公差，可求得的通项公式，进一步求出和，由此可求得结果.
【详解】
，，且，，则，
由可得，代入可得，
，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，
在等式两边同时除以可得，
所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，
所以，，，
则，
因此，.
故答案为：.
例110．（2022·全国·高三专题练习）数列,满足,且,.
(1)证明:为等比数列;
(2)求,的通项.
【解析】（1）证明：由，可得：，
，代入，
可得：，
化为：，
，
为等比数列，首项为-14，公比为3.
（2）由（1）可得：，
化为：，
数列是等比数列，首项为16，公比为2.
，
可得：，
.
例111．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知数列和满足，，，，则______，______．
【答案】         
【解析】由题设，，则，而，
所以是首项、公比均为2的等比数列，故，
，则，
令，则，
故，而，
所以是常数列，且，则.
故答案为：，.
例112．（2022·河南洛阳·三模（文））若数列和满足，，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：因为， ，
所以，即，
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
又，即，
所以
所以；
故选：C
【方法技巧与总结】
消元法
题型十六：通过递推关系求通项
例113．（2022·青海西宁·一模）如图所示，矩形的一边在轴上，另外两个顶点在函数的图象上.若点的坐标为，记矩形的周长为，则

A．220 B．216 C．212 D．208
【答案】B
【解析】由题意，在函数的图象上，若点坐标为的纵坐标为的横坐标为，所以矩形的一条边长为，另一条边长为，所以矩形的周长为，，故选B.
例114．（2022·全国·高三专题练习）如图，曲线y2＝x（y≥0）上的点P1与x轴的正半轴上的点Qi及原点O构成一系列正三角形，△OP1Q1，△Q1P2Q2，…，△Qn﹣1PnQn…设正三角形Qn﹣1PnQn的边长为an，n∈N*（记Q0为O），Qn（Sn，0）.数列{an}的通项公式an＝_____.

【答案】.
【解析】
由是边长为的正三角形，得的坐标，再将其坐标代入中，可求出的值， 又由于每一个三角形都为正三角形，从而可得，再将点的坐标代入中，可得，再由求出，所以数列为等差数列，从而可求得.
【详解】
由条件可得△P1OQ1为正三角形，且边长为，
∴，在曲线上，代入（）中，得，
∵＞0，∴，根据题意得点，
代入曲线（）并整理，得.
当，时，，
即.
∵，∴，
当＝1时，，∴或（舍）
∴，故
∴数列是首项为，公差为的等差数列，∴an.
故答案为：.
例115．（2022·全国·高三专题练习）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列．如果函数，数列为牛顿数列，设，且，．数列的前项和为，则______．
【答案】
【解析】∵，∴，
又∵，
∴，，
∴，
又
∴，
又，且，
所以，
∴数列是首项为，公比为的等比数列，
∴的前项和为，则.
故答案为：.
例116．（2022·山东·日照青山学校高三阶段练习）有一种被称为汉诺塔的游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号A，B，C），在A杆自下而上､由大到小按顺序放置若干个有孔金盘（如下图）.游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并保持原有顺序叠好.操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A，B，C任一杆上.记n个金盘从A杆移动到C杆需要的最少移动次数为.则___________.

【答案】15
【解析】解：根据题意，假设杆上有个圆环，将个圆环从杆全部套到杆上，需要最少的次数为，
可这样操作：先将个圆环从杆全部套到杆上， 至少需要的次数为，
然后将最大的圆环从杆套在杆上，需要1次，
再将杆上个圆环从杆套到木杆上，至少需要的次数为，
所以，
易知，则，
故答案为：15.
例117．（2022·安徽马鞍山·二模（理））为保护长江流域渔业资源，2020年国家农业农村部发布《长江十年禁渔计划》.某市为了解决禁渔期渔民的生计问题，试点推出面点､汽修两种职业技能培训，一周内渔民可以每天自由选择其中一个进行职业培训，七天后确定具体职业.政府对提供培训的机构有不同的补贴政策：面点培训每天200元/人，汽修培训每天300元/人.若渔民甲当天选择了某种职业培训，第二天他会有0.4的可能性换另一种职业培训.假定渔民甲七天都参与全天培训，且第一天选择的是汽修培训，第天选择汽修培训的概率是(，2，3，…，7).
（1）求；
（2）证明：(，2，3，…，7)为等比数列；
（3）试估算一周内政府渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望(近似看作0).
【解析】解：（1）因为当天选择了某种职业培训，第二天他会有0.4的可能性换另一种职业培训，
所以，，；
（2）当第天选择汽修培训时，第天选择汽修培训的概率为，
当第天选择面点培训时，第天选择汽修培训的概率为，
则，而，
所以是以0.5为首项，0.2为公比的等比数列；
（3）设第天政府的补贴费为，则，
又因为是以0.5为首项，0.2为公比的等比数列，
所以，
所以，
故一周内政府因渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望为元.
例118．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，设曲线在点处的切线与x轴的交点为，已知.用表示，并求数列的通项公式.
【解析】因为，则，
所以在处的切线方程为，
令，得，（易知），
所以,
所以，
从而，
所以.
【过关测试】
一、单选题
1．（2022·山西大同·高三阶段练习）等比数列的前n项和，则（       ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】A
【解析】，当时，，
因为是等比数列，所以，得，所以A正确．
故选：A．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，对任意的都有，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得：，
，，，…，，
各式作和得：，
，．
故选：C．
3．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知数列满足，，则（       ）
A．30 B．31 C．22 D．23
【答案】B
【解析】因为数列满足，，
所以，，，，
所以，
所以，
故选：B
4．（2022·新疆喀什·高三期末（文））已知是等差数列的前项和，其中，数列满足，且，则数列的通项公式为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，
因为，
所以，解得，
所以，
因为，
所以，
所以，，，……，，
所以，
因为，
所以，
故选：B
5．（2022·全国·高三专题练习）记为数列的前项积，已知，则= （       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】则，代入，
化简得：，则．
故选：C．
6．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其中一列数如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．按此规律得到的数列记为，其前n项和为，给出以下结论：①；②182是数列中的项；③；④当n为偶数时，．其中正确的序号是（       ）
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【答案】C
【解析】数列的偶数项分别为2，8，18，32，50，，
通过观察可知，同理可得，
所以，
因为，所以①正确，③错误；
由，解得，由，解得，
又因为，所以方程都无正整数解，所以182不是中的项，故②错误．
当n为偶数时，，故④正确．
故选：C．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，则数列第2022项为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
所以



累加得
故选：C．
8．（2022·浙江·三模）设数列满足，记数列的前n项的和为，则（       ）
A． B．存在，使
C． D．数列不具有单调性
【答案】C
【解析】由于，则，
又由，则与同号．
又由，则，可得，
所以数列单调递增，故B、D错误；
又因为，
由数列单调递增，且，所以，所以，
累加得，所以，故A错误；
由可得，
因为，所以，故C正确．
故选：C．
二、多选题
9．（2022·山东淄博·高三阶段练习）若数列的前n项和为，且，则（       ）
A． B．
C．数列是等比数列 D．
【答案】AC
【解析】将代入得，A对；
因为，
则，
，即
所以数列是首项为，公比为的等比数列，C对；
，
，BD错误．
故选：AC
10．（2022·辽宁大连·二模）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的球的总数为，则（       ）

A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】由题意得，
，
以上n个式子累加可得
，
又满足上式，所以，故A错误；
则，
得，故B正确；
有，故C正确；
由，
得，
故D正确．
故选：BCD．
11．（2022·全国·高三专题练习）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则（       ）
A．an＝－
B．an＝
C．数列为等差数列
D．－5050
【答案】BCD
【解析】Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，
则Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，
整理得－＝－1（常数），
所以数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列．故C正确；
所以＝－1－（n－1）＝－n，故Sn＝－．
所以当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝－，不适合上式，
故an＝故B正确，A错误；
所以，
故D正确．
故选：BCD
12．（2022·山东·烟台二中模拟预测）已知无穷数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，，则下列结论正确的为（       ）
A．和均为数列中的项
B．数列为等差数列
C．仅有有限个整数使得成立
D．记数列的前项和为，则恒成立
【答案】BD
【解析】对于A选项，分析可知当为奇数时，为奇数，
当为偶数时，为偶数，
令可得，不合乎题意，
令可得，合乎题意，
所以，不是数列中的项，是数列中的项，A错；
对于B选项，因为，
所以，数列是公差为的等差数列，B对；
对于C选项，若为偶数，由可得，矛盾，
若为奇数，由可得，即，解得，
所有满足条件的奇数都合乎题意，
所以，有无限个整数使得成立，C错；
对于D选项，为偶数，则，且，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，，D对．
故选：BD．
三、填空题
13．（2022·河北·沧县中学高三阶段练习）已知数列的前n项和，则______．
【答案】．
【解析】当时，，
又时，不符合上式，
∴，
故答案为：．
14．（2022·全国·模拟预测）已知数列的前n项和，数列满足，，，则的通项公式为______．
【答案】
【解析】当时，，所以．
当时，，当时，也符合上式，故．
因为，，所以，
即数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以，即．
故答案为：．
15．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））若等差数列的前项和分别为，且满足，则________
【答案】
【解析】，令，则，，
，故．
故答案为：．
16．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足且，其前项和为，则满足不等式的最小整数为______．
【答案】
【解析】因为，所以，且，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，则，所以，，
所以，
因此不等式，即，即，
因为，故满足不等式的最小整数为．
故答案为：．
四、解答题
17．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，且，是的前n项和．
（1）求；
（2）若为数列的前n项和，求证：．
【解析】（1）∵，∴，，…．
由上述个等式相加得，∴，
∴，；
（2），
，
∴．
18．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和满足：．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求证：数列的前项和．
【解析】（1）由题意：，
当时，可得，

两式相减得到
又，是首项为，公比为的等比数列
的通项公式为．
（2）由题意知，



19．（2022·全国·河源市河源中学模拟预测）已知数列的相邻两项和恰是方程的两个根，且．
（1）求的值；
（2）记为数列的前n项和，求．
【解析】（1）因为和是方程的两个根
由韦达定理可知，，
因此．
所以，，，，
由累加法得，又因为，所以
因此．
（2）由，可知，
而数列的偶数项为公差为-1的等差数列，因此，
因此，
因此．
20．（2022·江西·模拟预测（理））设数列满足，．
（1）求证：为等比数列，并求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【解析】（1）解：因为，，
所以，即
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以
（2）解：由（1）可得，
所以①，
所以②，
①②得
即，所以；
21．（2022·湖北·黄冈中学三模）已知等差数列的前项和为，且，；数列满足．
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
【解析】（1）解：设等差数列的公差为，则
解得，
所以
因为，
所以当时，；
当时，，
所以
显然符合．
综上可知．
（2）解：由（1）知，
设，则
所以是以8为公比，为首项的等比数列，
所以数列的前项和为
22．（2022·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和满足．数列满足，．
（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求证：．
【解析】（1）当时，；
当时，，
所以，整理得．
所以，又，故．
所以，即为等比数列．所以
（2）由题意得，所以与同号，
又因为，所以，即，即．
所以数列为递增数列，所以，
即，累加得．
令，，所以，
两式相减得：，
所以，所以，所以．