专题48+椭圆、双曲线的焦点弦被焦点分成定比-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）

专题48 椭圆、双曲线的焦点弦被焦点分成定比

【方法点拨】

1. 设椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，且，则间满足.

2.长短弦公式:如下图,长弦,短弦（其中是焦参数，即焦点到对应准线的距离，是直线与轴的夹角，而非倾斜角）.

说明：

（1）公式1的推导使用椭圆的第二定义，不必记忆，要有“遇过将焦半径转化为到准线距离”的意识即可.

（2）双曲线也有类似结论.

【典型题示例】

例1   已知椭圆方程为，AB为椭圆过右焦点F的弦，则的最小值为　   　．

【答案】

【解析】由，得，，则椭圆的离心率为，右准线方程为

如图，过作于，则，①

设的倾斜角为，

则，②

联立①②，可得，同理可得，

．

令，，，

．

．

当且仅当，即时上式取等号．

的最小值为．

故答案为：．

例2   （2021·江苏南京盐城二调·7）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作倾斜角为θ的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，且若|AB|＝|AF1|，则双曲线C的离心率为

A．4                B．              C．               D．2

【答案】D

【解析】，，

．

例3     已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，与过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线相交于A，B两点．若＝3，则k＝________.

【答案】

【解析】如右图，设l为椭圆的右准线，过A、B

分别向l作垂线AA/、BB/，A/、B/分别是垂足，过B作AA/垂线BD，D是垂足

    设BF=t ，AF=3t

    则，

    中，

    故

    又k>0，所以.

【巩固训练】

1. 设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的离心率为________．

2.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且 ＝2，则C的离心率为________．

3. 已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点．设，则与的比值等于        ．

4.已知，是椭圆的左右焦点，若上存在不同两点，，使得，则该椭圆的离心率的取值范围为　　

A．， B． C．， D．

5.设为双曲线的右焦点，过点且斜率为的直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若，则双曲线的离心率等于(   )

A. B. C. D.

6.设双曲线：的右焦点为，过且斜率为的直线交于、两点，若，则的离心率为__________．

7.抛物线，直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线交于A、B两点，若，则（O为坐标原点）的面积为______．

【答案与提示】

1.【答案】

【解析】如右图，设直线AB的倾斜角为

 则，

 所以

由|AF1|＝3|F1B|、长短弦公式得：，化简得：

代入得：，即

解之得：（负值已舍），所以.

2.【答案】

3.【答案】

4.【答案】C

【解析】延长交椭圆于，根据椭圆的对称性，则，，

由，且，，

由，所以，整理得，其中，，

由，不重合，所以，

，解得，所以，椭圆的离心率的取值范围，．

5.【答案】D

【解析】设双曲线的右焦点，

则过点且斜率为的直线的方程为，渐近线方程是.

由，得，

由，得，

所以，.

由，得，

则，即，

则，则，故选D.

6.【答案】

【解析】由可得，设，

过分别做准线的垂线，垂足为，由双曲线定义得，，过做垂直于垂足，

因为斜率为，所以在中，，可得 ，

即，解得 ，的离心率为，故答案为.

7.【答案】

【解析】由题意可知：，

结合焦半径公式有：，解得：，

故直线AB的方程为：，与抛物线方程联立可得：，

则，

故的面积.