专题39+圆的弦被内（外）分成定比-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）

专题39 圆的弦被内（外）分成定比

【方法点拨】

1.利用垂径定理通过二次解直角三角形求出弦长，进而求出“弦心距”，最后利用“点线距”列方程；

2.利用圆幂定理(相交弦定理、切割线定理、割线定理)求出弦长，然后同上.

3. （1）相交弦定理：如下左图，圆O的两条弦AB、PC相交于圆内一点P，则

（2）如下右图，PT为圆O的切线，PAB、PCD为割线，则：(1)（切割线定理）; (2) （割线定理).

说明：上述三个定理可以统一为(其中是半径)，统称为圆幂定理.

【典型题示例】

例1     在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于两点，其中点在第一象限，且，则直线的方程为              ．

【答案】y＝x－1

【分析】本题思路有下列几种：①利用向量坐标设点转化，点参法；②设直线方程的在x轴上的截距式，联立方程组；③垂径定理后二次解三角形；④相交弦定理；⑤利用”爪”型结构,得,两边平方求得的余弦值.

【解法一】易知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)．

由＝2，设BM＝2t，MA＝t.

如图，过原点O作OH⊥l于点H，则BH＝.

设OH＝d，在Rt△OBH中，d2＋2＝r2＝5.

在Rt△OMH中，d2＋2＝OM2＝1，解得d2＝，

则d2＝＝，解得k＝1或k＝－1.

因为点A在第一象限，  ＝2，由图知k＝1，

所以所求的直线l的方程为y＝x－1.

【解法二】由，设BM＝2t，MA＝t

      又过点M的直径被M分成两段长为、

      由相交弦定理得，解之得

  过原点O作OH⊥l于点H，

在Rt△OBH中，d2＋2＝r2＝5，解得d2＝，（下同解法一，略）.

【解法三】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(1－x2，－y2)，＝(x1－1，y1)．

因为＝2，所以

当直线AB的斜率不存在时，＝，不符合题意．

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，

联立得(1＋k2)y2＋2ky－4k2＝0，则

解得所以y1·y2＝＝，即k2＝1.又点A在第一象限，

所以k＝1，即直线AB的方程为y＝x－1.

【解法四】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(1－x2，－y2)，＝(x1－1，y1)．

因为＝2，所以即

又代入可得解得x1＝2，代入可得y1＝±1.又点A在第一象限，故A(2,1)，由点A和点M的坐标可得直线AB的方程为y＝x－1.

点评：

上述各种解法中，以解法一、解法二最简、最优.

例2     已知圆M：，过轴上的点存在一直线与圆M相交，交点为A、B，且满足PA=BA，则点P的横坐标的取值范围为         ．

【答案】

【解法一】取中点，连接、，

设，则 ，相减得，  ∴，即

∴

【解法二】由圆幂定理得：

设，代人上式得：，即

∴

【解法三】（利用圆中最长弦为直径，得出PA范围，而PA的两个端点都在动，以静制动，然后再将PA范围转化为PM范围问题）

因为PA=BA，所以PA的最大值为2，故PM的最大值为4（下略）.

【巩固训练】

1. 在平面直角坐标系中，设直线与圆交于两点，为坐标原点，若圆上一点满足，则          ．

2.在平面直角坐标系xOy中，已知点在圆C：内，若存在过点P的直线交圆C于A、B两点，且△PBC的面积是△PAC的面积的2倍，则实数m的取值范围为              ．

3.在平面直角坐标系中，圆．若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是            ．

4.已知直线与圆相交于两点，点在直线上且，则的取值范围为            .

【答案与提示】

1.【答案】

【解法一】遇线性表示想求模，将向量问题实数化.

，

即，整理化简得.

过点作的垂线交于，

则，得.

又圆心到直线的距离，所以，.

【解法二】注意到线性表示时的系数和为2，联想“三点共线”.

由，即

得三点共线（其中是的中点），且，

设，

思路一：垂径定理后二次解三角形，，解之得.

思路二：相交弦定理，，解之得.

2.【答案】

【提示】由于△PBC与△PAC同高，故PB=2PA.

3.【答案】

【简析】易知，考察临界状态，只需过原点作圆的切线，切点弦的张角大于等于直角即可.

4.【答案】

【提示】直接利用勾股定理转化.