专题17 椭圆与双曲线共焦点问题 微点1 椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用（一）

专题17  椭圆与双曲线共焦点问题  微点1  椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用（一）

专题17  椭圆与双曲线共焦点问题

微点1  椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用（一）

【微点综述】

圆锥曲线是高中数学的重要研究对象，其中具有相同焦点的椭圆与双曲线更是引人瞩目，耐人寻味．在近年高考及全国各地模拟考试中，频繁出现以共焦点的椭圆与双曲线为背景的两离心率之积与两离心率倒数之和的最值与范围问题，此类问题因涉及知识的交汇、体现综合运用能力，学生面对此类问题往往束手无策，本文介绍与此类问题有关的结论，通过具体例子说明结论的应用，供同学们复习时参考．

一、常用结论

【结论1】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，则．

证明：由已知得消去得，

又，因此．

又．

【结论2】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，，则．

证明：由椭圆与双曲线的定义得两式分别平方再相减得．

在中，由余弦定理得，

，

，同理可得，

，

．

由椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式得

．

【结论3】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，，则．

证明：由结论2得，又．

注意到．

【结论4】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，则．

证明：．

【评注】结论4反映之间的等量关系式，等式左边是两分式之和，分母分别是，分子分别是，等式右边是与的平方和．

【结论5】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，分别为的离心率，点是与的一个公共点，，则，即．

证明：证法1：在中，由余弦定理得

，即，

，

即，亦即．

证法2：借助焦点三角形面积公式运用面积公式，设椭圆的短半轴长为，双曲线的虚半轴长为，

则，，所以，，，

，整理得：，即．

【结论6】已知点是椭圆与双曲线共同的焦点，点是椭圆与双曲线的一个公共点，则椭圆与双曲线在点处的切线相互垂直．

证明：椭圆在点处的切线方程为，该切线的斜率为，

双曲线在点处的切线，该切线的斜率为，；又由结论1得，

则椭圆与双曲线在点处的切线相互垂直．

【结论7】若点是椭圆与双曲线的一个公共点，且它们在点处的切线相互垂直，则椭圆与双曲线有共同的焦点．

证明：由已知得消去得，

因此．

由已知得，

椭圆与双曲线有共同的焦点．

二、应用举例

共焦点的椭圆与双曲线问题一般有如下八类题型：

（一）公共点问题；

（二）公共焦点三角形问题；

（三）角度问题；

（四）公共点处切线有关问题；

（五）求离心率的值（或取值范围）；

（六）求椭圆、双曲线离心率之积的取值范围或最值问题；

（七）求（为正常数）型最值问题；

（八）求（为正常数）型最值问题.

下面我们举例说明题型（一）至（三）及其解题方法．

（一）公共点问题

1．已知点，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆与双曲线的一个交点为，为坐标原点，直线的斜率为，则___________．

（二）公共焦点三角形问题

2．已知椭圆与双曲线有公共焦点，是它们的一个公共点，则的面积为_________，的形状是_________．

例3．（2022·上海·高三专题练习）

3．已知､，设P是椭圆与双曲线的交点之一，则___________.

4．椭图与双曲线有相同的焦点，，P为两曲线的一个公共点，则面积的最大值为（     ）

A．4 B． C．2 D．

（三）角度问题

5．设椭圆与双曲线有公共的焦点，，点P是与的一个公共点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

例6．（2022浙江嘉兴市·高二月考）

6．设椭圆 与双曲线 有公共焦点 ， ， 是两条曲线的一个公共点，则 等于__________．

【强化训练】

一、单选题

（2023·全国·高三专题练习）

7．已知双曲线满足，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（       ）

A． B．

C． D．

（2022·广东·惠来县第一中学高二月考）

8．已知椭圆与双曲线共焦点，设它们在第一象限的交点为，且，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B．

C． D．

9．若椭圆和双曲线有相同的焦点、，P是两条曲线的一个交点，则的面积是

A． B． C． D．

（2022·全国·高三专题练习（文））

10．已知双曲线与共焦点，则的渐近线方程为（    ）

A． B．

C． D．

（2022·四川·阆中中学高二月考（文））

11．设椭圆和双曲线的公共焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为（     ）

A． B．

C． D．

（2022·福建省同安第一中学高二月考）

12．已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点.则C的方程为（    ）

A． B．

C． D．

（2022河北·沧州市一中高二月考）

13．若，是椭圆：与双曲线：的公共焦点，且P是与一个交点，则（    ）

A． B． C． D．

（2022广东·石门中学高二月考）

14．已知双曲线C：=1(a>0，b>0)的离心率为，且与椭圆有公共焦点，则双曲线C的方程为（　　）

A．=1 B．=1 C．=1 D．=1

二、多选题

（2022江苏·高二专题练习）

15．若双曲线与椭圆有相同的左右焦点，，且，在第一象限相交于点，则（    ）

A． B．的渐近线方程为

C．直线与有两个公共点 D．的面积为

（2022·全国·高三专题练习）

16．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点P为椭圆与双曲线的一个公共点，椭圆与双曲线的离心率分别为，下列说法中正确的有（    ）

A．若a＝2，b＝，且，则

B．若a＝2，b＝，且，则

C．若a＝5，m＝，则

D．若，且，则

三、填空题

（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）

17．与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程为______．

18．已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，若为两曲线的一个交点，则______.

19．已知有相同焦点、的椭圆和双曲线，点P是它们的一个交点，则面积的大小是________．

（2016·上海市延安中学三模（文））

20．已知椭圆与双曲线有公共焦点，两曲线在第一象限交于点，是的角平分线，为坐标原点，垂直射线于点，若，则_________．

21．已知椭圆与双曲线有公共焦点，点是两曲线的一个交点，若，则的值为_____________.

（2022宁夏中卫·三模（理））

22．已知椭圆与双曲线共焦点，过椭圆上一点的切线与轴、轴分别交于、两点（、为椭圆的两个焦点）．又为坐标原点，当的面积最小时，下列说法所有正确的序号是__________．

①；

②当点在第一象限时坐标为；

③直线的斜率与切线的斜率之积为定值；

④的角平分线（点在上）长为．

参考答案：

1．

【分析】设点，根据直线的斜率公式得到；联立两方程解出，，即可代入得出答案.

【详解】设点，根据直线的斜率公式得到，

联立方程与消去y，

得：，解得，即，

代入解得：，即，

，

故答案为：.

2．     1     直角三角形

【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得，进而根据勾股定理可判断直角三角形，进而可求面积.

【详解】不妨设在第一象限，为左右焦点，焦距为，由椭圆和双曲线的定义可得：，故，

又，故可得

且，

故 ，因此形状是直角三角形，以为直角，

，

故答案为：1；直角三角形.

3．6

【分析】由于椭圆与双曲线共焦点，利用两者的定义列出等式求出即可得到答案.

【详解】椭圆和双曲线分别化为标准方程为、，可知两曲线共焦点，

设，由定义有：

或.

故答案为：6.

4．A

【分析】由两曲线有相同焦点可得的关系，由椭圆与双曲线的定义可求得点到两焦点的距离，为确定值，因此当时，面积最大，同时求出验证正确性．

【详解】由题意，即，．

不妨设在第一象限，则，解得，

易知当时，．

此时，，，满足题意．

故选：A.

【点睛】本题考查椭圆与双曲线的焦点问题，考查椭圆与双曲线的定义．在三角形两边确定情况下，这两边垂直时三角形面积最大．掌握椭圆与双曲线的定义是解本题的关键．

5．A

【分析】根据焦点坐标得出双曲线方程，根据椭圆定义和双曲线定义求出的边长，利用余弦定理计算的值即可．

【详解】由椭圆方程可知：，，

由双曲线性质可得：，故，则，

不妨设P在第一象限，

由椭圆定义可知：，

由双曲线的定义可知：，

，，又，

．

故选：A．

【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的定义与性质，余弦定理的应用，注意仔细审题，认真计算，属中档题．

6．

【详解】试题分析：，，，则

，

，

考点：1.椭圆定义；2.双曲线定义；3.余弦定理；

7．A

【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得的值，即可求解.

【详解】由椭圆的标准方程为，可得，即，

因为双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，所以双曲线中，半焦距，

又因为双曲线满足，即，

又由，即，解得，可得，

所以双曲线的方程为.

故选：A．

8．A

【分析】根据椭圆的方程求出双曲线焦点坐标，点P是在原点为圆心，半径为焦半径的圆上，

求出P点的坐标，代入双曲线方程求解实半轴和虚半轴即可.

【详解】对于椭圆 ，易得椭圆的半焦距的平方 ，

即双曲线的半焦距的平方=8；

对于双曲线 ，有 …①，

，即P点是在以原点为圆心，半径为c的圆上，

设 ，则有 ，解得 ，

代入双曲线方程并与①联立： ，化简后得： ，

，解得 或9，由①可知： ， ，

双曲线的方程为： ，渐近线方程为 ；

故选：A.

9．C

【分析】由已知条件求得，进而得出，联立椭圆和双曲线的标准方程，可求得点的纵坐标，并求得，由此可计算得出的面积.

【详解】由于椭圆和双曲线有相同的焦点、，

则，可得，

联立，解得，，

因此，的面积是.

故选：C.

【点睛】本题考查椭圆和双曲线焦点三角形面积的计算，联立两曲线方程，求出交点坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.

10．D

【分析】首先求出的焦点坐标，从而求出的值，即可得到的方程，即可求出渐近线方程；

【详解】解：双曲线中、，所以，即焦点坐标为，

因为双曲线与共焦点，所以，

解得，所以双曲线，则的渐近线方程为；

故选：D

11．D

【分析】根据给定方程求出焦距，再结合椭圆、双曲线定义建立与的关系即可计算作答.

【详解】依题意，焦距，由椭圆、双曲线定义得：，

两式平方相加得：，于是有，

所以的值为.

故选：D

12．B

【分析】根据已知和渐近线方程可得，双曲线焦距，结合的关系，即可求出结论.

【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，则①.

又因为椭圆与双曲线有公共焦点，

双曲线的焦距，即c＝3，则a2＋b2＝c2＝9②.

由①②解得a＝2，b＝，则双曲线C的方程为.

故选：B.

13．B

【分析】根据题意，求得参数，再利用椭圆和双曲线定义，求得，利用余弦定理，即可求得.

【详解】由题可知：，，解得，

不妨设为在第一象限的交点，，

由椭圆和双曲线定义可得：，解得，

则，又，

在△中，由余弦定理可得：，则.

故选：B.

14．B

【分析】根据椭圆与双曲线的概念和性质，结合题意即可求解.

【详解】椭圆的焦点坐标为，则双曲线的焦点坐标为，可得c=3，

又双曲线C：=1的离心率为，

所以，即a=2，

所以b=，

故所求的双曲线方程为=1.

故选：B.

15．BD

【解析】先由两曲线的焦点相同，求出，可判断BC选项；再将两曲线联立，求出点的坐标，可判断AD选项，

【详解】因为双曲线与椭圆有相同的左右焦点，，

所以，解得，

即，所以其渐近线方程为，焦点坐标为，，即B正确；

因为与双曲线的一条渐近线平行，且过右焦点，所以直线与只有一个交点，即C错；

由解得，又，在第一象限相交于点，所以，

因此，即A错，

的面积为，即D正确.

故选：BD.

【点睛】关键点点睛：

求解本题的关键在于根据椭圆与双曲线共焦点，先求出双曲线的方程；再结合双曲线的性质，即可求解.

16．BD

【分析】对于A，求出即可判断，对于B，可求出，，然后由双曲线的定义可得，即可判断，对于C，可得，然后设，利用三角函数的知识可判断，对于D，利用椭圆、双曲线的定义和余弦定理可得，然后可判断.

【详解】对于A，若a＝2，b＝，

则，故A错误

对于B：若a＝2，b＝，∴c＝1

，，  

所以    ， ，故 B正确

对于C，若a＝5，m＝    因为椭圆与双曲线共焦点

设，则，故C错误

对于D，设，，

由椭圆和双曲线的定义可得，，

解得，，

在三角形中，，

可得，

即有，可得，即，

当时可得，故D正确

故选：BD

17．

【分析】求出椭圆的焦点，则可得双曲线的焦点，然后设双曲线方程为，由离心率求出，再由求出，从而可求出双曲线的方程

【详解】由可得焦点坐标为，

由题意设双曲线方程为，则

，得，

所以，

所以双曲线方程为，

故答案为：

18．3

【分析】由题意可得，，两式平方相减可得的值.

【详解】解：因为椭圆与双曲线有公共的焦点，，且为两曲线的一个交点，

所以，

所以,

两式相减得，，所以

故答案为：3

【点睛】此题考查了椭圆和双曲线的概念和性质，属于基础题.

19．1

【解析】设，，由椭圆和双曲线的定义整理得，由焦点相同可得，结合余弦定理可证明，从而可求出面积.

【详解】如图所示，不妨设两曲线的交点位于双曲线的右支上，设，．

由双曲线和椭圆的定义可得，整理得，

在中，，

∵，∴，∴，∴．

∴面积为，

故答案为:1.

【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了双曲线的定义，考查了余弦定理，属于中档题.

20．

【分析】由题意可得且,再结合双曲线的定义可得，然后结合椭圆与双曲线有公共焦点求解即可.

【详解】解：由是的角平分线，垂直射线于点，则点为线段的中点，且,

又为线段的中点，则且,

又,则,

由双曲线的定义可得,

则，

又椭圆与双曲线有公共焦点，

则，

则，

即，

故答案为：.     

【点睛】本题考查了双曲线的定义，重点考查了椭圆与双曲线共焦点的问题，属中档题.

21．

【分析】不妨设在第一象限，故，且，，故，解得答案.

【详解】椭圆与双曲线有公共焦点，

不妨设在第一象限，故，且，.

，

即，即.

故答案为：.

【点睛】本题考查了椭圆和双曲线共焦点问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.

22．①④

【分析】求出的值，可判断①的正误；设点在第一象限内，利用基本不等式求得面积的最小值，利用等号成立可求得的值，可判断②的正误；利用斜率公式可判断③的正误；利用等面积法可求出的长，可判断④的正误.

【详解】对于①，双曲线的焦点坐标为，所以，，，，①正确；

对于②，由于椭圆的对称性，设点为第一象限内的点，

设点，则，先证明椭圆在其上一点处的切线方程为.

联立，可得，即，解得.

所以，椭圆在其上一点处的切线方程为.

所以点、，由基本不等式可得，可得，

，

当且仅当时，等号成立，此时，，②错误；

对于③，，，所以，，③错误；

对于④，以为直径的圆的方程为，

，则点在圆上，则，

，由等面积法可得，解得.

故答案为：①④.

【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：

（1）设切线方程为与椭圆方程联立，由进行求解；

（2）椭圆在其上一点的切线方程为，再应用此方程时，首先应证明直线与椭圆相切.