专题46圆的切线系、圆系的综合应用-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）

专题46 圆的切线系、圆系的综合应用

【方法点拨】

1.直线方程(其中均为实常数，且，)的几何意义是，以为圆心为半径圆的切线系.

事实上，为“动中寻静”使所求值与无关，只需求点到直线的距离，有，即直线是圆全体切线组成的集合，它可以看作过圆上任意一点的切线.

2.当圆心坐标含参时，应考虑消参，探求圆心的轨迹.

【典型题示例】

例1   已知圆，直线，下面五个命题，其中正确的是　　

A．对任意实数与，直线和圆有公共点 ；

B．对任意实数与，直线与圆都相离； 

C．存在实数与，直线和圆相离； 

D．对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切； 

E．对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切.

【答案】AD

【分析】对于圆动圆心，定半径，圆心为，故其轨迹是以（1,2）为圆心，半径的圆. 直线过定点（1,2）.

【解析】选项，由题意知圆的圆心为，半径为，直线的方程可以写作，过定点，因为点在圆上，所以直线与圆相切或相交，任意实数与，直线和圆有公共点，正确，错误；

选项，由以上分析知不存在实数与，直线和圆相离，错误；

选项，当直线与圆相切时，点恰好为直线与圆的切点，故直线与直线垂直，①当时，直线与轴垂直，则，即，解得，存在，使得直线与圆相切；

②当时，若直线与直线垂直，则，

直线的斜率为，

所以，即，

此时对任意的，均存在实数，使得，则直线与直线垂直，

综上所述，对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切，正确．

选项，点到直线的距离为，

令，当时，；

当时，，即此时恒成立，

直线与圆必相交，故此时不存在实数，使得直线与圆相切，错误．

故选AD．

例2   设直线系．下列四个命题中正确的是（  ）

A．存在一个圆与所有直线相交；

B．存在一个圆与所有直线不相交；

C．存在一个圆与所有直线相切；

D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.

【答案】ABC

【解析】因为

所以点到中每条直线的距离即为圆的全体切线组成的集合，所以存在圆心在， 半径大于1的圆与中所有直线相交, A正确

也存在圆心在，半径小于1的圆与中所有直线均不相交，B正确

也存在圆心在半径等于1的圆与中所有直线相切，C正确

故正确

因为中的直线与以为圆心，半径为1的圆相切,所以中的直线所能围成的正三角形面积不都相等，如图 与 均为等边三角形而面积不等,

故错误，答案选ABC.

例3    （多选题）设有一组圆：．下命题中真命题是（           ）.

A.存在一条定直线与所有的圆均相切；      B.存在一条定直线与所有的圆均相交；

C.存在一条定直线与所有的圆均不相交；     D.所有的圆均不经过原点．

【答案】BD

【解析】根据题意得：圆心坐标为，

圆心在直线上，故存在直线与所有圆都相交，选项②正确；

考虑两圆的位置关系：

圆：圆心，半径为，

圆：圆心，即，半径为，

两圆的圆心距，

两圆的半径之差，

任取或时，（）， 含于之中，选项①错误；

若取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误，

将带入圆的方程,则有，即（），

因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确。

故答案为：BD.

【巩固训练】

1.已知动直线与圆相交于A，B两点，圆下列说法：①与有且只有一个公共点；②线段AB的长度为定值；③线段AB的中点轨迹为.其中正确的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

2.（多选题）设直线系,对于下列四个命题：

   ．中所有直线均经过一个定点；

   ．存在定点不在中的任一条直线上；

   ．对于任意整数，存在正边形,其所有边均在中的直线上；

   ．中的直线所能围成的正三角形面积都相等.

其中真命题是（     ）

3.（多选题）关于下列命题，正确的是（    ）

A．若点在圆外，则或；

B．已知圆：与直线，对于任意的，总存在使直线与圆恒相切；

C．已知圆：与直线，对于任意的，总存在使直线与圆恒相切；

D．已知点是直线上一动点，､是圆： 的两条切线，､是切点，则四边形的面积的最小值为.

4. （多选题）圆与圆，下列说法正确的是（    ）

A．对于任意的，圆与圆始终相切；

B．对于任意的，圆与圆始终有四条公切线；

C．当时，圆被直线截得的弦长为；

D．P，Q分别为圆与圆上的动点，则的最大值为4.

5.（多选题）设有一组圆，下列命题正确的是（    ）．

A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上；

B．所有圆均不经过点；

C．经过点的圆有且只有一个；

D．所有圆的面积均为.

6．已知圆：，直线：（）.设圆上到直线的距离等于1的点的个数为，则        .

7. 当取遍所有值时，直线所围成的图形面积为

          . 

8. 已知，（），对任意，经过两点、的直线与一定圆相切，则该圆的方程为             .

9. 在直角坐标系中，已知直线，当变化时，动直线始终没有经过点．定点的坐标，则的取值范围为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案或提示】

1.【答案】D

【分析】求出圆心到直线的距离后结合两圆的半径可判断各项的正误，从而可得正确的选项.

【解析】原点到直线的距离，

因为圆的半径为1且原点为其圆心，∴直线与圆相切，故①正确；

原点为圆的圆心，故，∴线段AB的长度为定值，故②正确；

设的中点为，则，故线段AB的中点轨迹为，故③正确.

故选：D.

2.【答案】BC

【解析】因为所以点到中每条直线的距离

即为圆:的全体切线组成的集合,从而中存在两条平行直线,所以A错误

又因为点不存在任何直线上,所以B正确w.w.w.k.s.5.u.c.o.m         

对任意,存在正边形使其内切圆为圆,故正确

 中边能组成两个大小不同的正三角形和,故D错误,

故命题中正确的序号是 B,C.

3.【答案】ACD

【解析】的圆心，半径，则，所以或，故A正确；

已知圆：的圆心，半径，

圆心到直线的距离，

当时，即此时不存在使直线与圆相切，因此B错误；

对于任意的，令，则，即对于任意的，总存在使直线与圆相切，故C正确.

，半径，圆心到直线的距离，即的最小值，由，所以，

四边形的面积最小值，

故D正确.故选：ACD.

4. 【答案】ACD

【分析】动圆圆心为，，故其轨迹是以（0,0）为圆心，2为半径的圆，结合形，求出圆心距，判断两圆位置关系可判断AB，求出圆心到直线的距离，由勾股定理求得弦长判断C，由两圆心距离可判断D．

【解析】由已知，，等于两圆半径之和，两圆始终相切，A正确，B错误；

时，，到已知直线的距离为，则弦长为，C正确；

由于，∴，共线时最大值．D正确．

故选：ACD．

5. 【答案】ABD

【解析】圆心坐标为，在直线上，A正确；

令，化简得，

∵，∴，无实数根，∴B正确；

由，化简得，

∵，有两不等实根，∴经过点的圆有两个，C错误；

由圆的半径为2，得圆的面积为，D正确．故选：ABD．

6. 【答案】4 

【解析】圆心到直线的距离为，所以圆的半径，且，所以圆上在直线的两侧各有两个点到直线的距离等于1.

7.【答案】

【解析】直线方程可化为

故点（1,1）到该直线的距离

∴直线是与以点（1,1）为圆心，4为半径的圆相切的直线系

故直线所围成的图形面积为. 

8.【答案】

【解析】∵，

∴、都在直线，

故经过两点、的直线是

∴点（0,0）到该直线的距离

故所求圆的方程为.

9.【答案】D

【分析】根据原点到直线的距离为1，结合题意可得点在单位圆内，即可求解.

【解析】因为原点到直线的距离为，

所以动直线所围成的图形为单位圆，

又动直线始终没有经过点，所以点在该单位圆内，

，，

即的取值范围为.

故选：D．