专题19二次函数与平移变换综合问题-挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（学生版）

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)专题19二次函数与平移变换综合问题【例1】．(2022•湖北)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3的顶点为A，与y轴交于点C，线段CB∥x轴，交该抛物线于另一点B．(1)求点B的坐标及直线AC的解析式；(2)当二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x满足m≤x≤m+2时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝2，求m的值；(3)平移抛物线y＝x2﹣2x﹣3，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．【例2】．(2022•常州)已知二次函数y＝ax2+bx+3的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：(1)求二次函数y＝ax2+bx+3的表达式；(2)将二次函数y＝ax2+bx+3的图象向右平移k(k＞0)个单位，得到二次函数y＝mx2+nx+q的图象，使得当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小．请写出一个符合条件的二次函数y＝mx2+nx+q的表达式y＝　 　，实数k的取值范围是 　 　；(3)A、B、C是二次函数y＝ax2+bx+3的图象上互不重合的三点．已知点A、B的横坐标分别是m、m+1，点C与点A关于该函数图象的对称轴对称，求∠ACB的度数．【例3】．(2022•连云港)已知二次函数y＝x2+(m﹣2)x+m﹣4，其中m＞2．(1)当该函数的图象经过原点O(0，0)，求此时函数图象的顶点A的坐标；(2)求证：二次函数y＝x2+(m﹣2)x+m﹣4的顶点在第三象限；(3)如图，在(1)的条件下，若平移该二次函数的图象，使其顶点在直线y＝﹣x﹣2上运动，平移后所得函数的图象与y轴的负半轴的交点为B，求△AOB面积的最大值．【例4】．(2022•聊城)如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，3)，对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D．(1)求二次函数的表达式；(2)连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO；(3)如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．【例5】．(2022•镇江)一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A、原点O和一次函数y＝x+1图象上的点B(m，)．(1)求这个二次函数的表达式；(2)如图1，一次函数y＝x+n(n＞﹣，n≠1)与二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象交于点C(x1，y1)、D(x2，y2)(x1＜x2)，过点C作直线l1⊥x轴于点E，过点D作直线l2⊥x轴，过点B作BF⊥l2于点F．①x1＝　 　，x2＝　 　(分别用含n的代数式表示)；②证明：AE＝BF；(3)如图2，二次函数y＝a(x﹣t)2+2的图象是由二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象平移后得到的，且与一次函数y＝x+1的图象交于点P、Q(点P在点Q的左侧)，过点P作直线l3⊥x轴，过点Q作直线l4⊥x轴，设平移后点A、B的对应点分别为A′、B′，过点A′作A′M⊥l3于点M，过点B′作B′N⊥l4于点N．①A′M与B′N相等吗？请说明你的理由；②若A′M+3B′N＝2，求t的值．一．解答题(共20题)1．(2022秋•临海市月考)如图，以A(3，0)，为顶点的抛物线交y轴于点B(0，4)(1)求此抛物线的函数解析式．(2)点C(7，4)是否也在这个抛物线上？(3)你能否通过左右平移该抛物线，使平移后的抛物线经过点C(7，4)？若能，请写出平移的方法．2．(2022秋•江夏区月考)已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A(﹣1，2)．(1)抛物线顶点位于y轴右侧且纵坐标为6．①求抛物线的解析式．②如图1，直线y＝﹣x+4与抛物线交于B、C两点，P为线段BC上一点，过P作PM∥y轴交抛物线于M点．若PM＝3，求P点的坐标．(2)将抛物线平移，使点A的对应点为A'(m+1，b+4)，其中m≠2．若平移后的抛物线经过点N(2，1)，平移后的抛物线顶点恰好落在直线y＝x+5上，求b的值．3．(2022•湖里区二模)抛物线y＝ax2+bx+1与x轴仅有一个交点A(m，0)，与y轴交于点B，过点B的直线BC⊥AB交x轴于点M，BC＝kAB．(1)用含b的式子表示m；(2)若四边形AMBE是平行四边形，且点E在抛物线上，求抛物线的解析式；(3)已知点C在抛物线上，且m＞0，k＝4，将抛物线y＝ax2+bx+1平移，若点M在平移后的抛物线上，判断平移后的抛物线是否经过点C？若经过，请说明抛物线平移的方式；若不经过，请说明理由．4．(2022•上海)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c过点A(﹣2，﹣1)，B(0，﹣3)．(1)求抛物线的解析式；(2)平移抛物线，平移后的顶点为P(m，n)(m＞0)．ⅰ．如果S△OBP＝3，设直线x＝k，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求k的取值范围；ⅱ．点P在原抛物线上，新抛物线交y轴于点Q，且∠BPQ＝120°，求点P的坐标．5．(2022•青浦区模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C．(1)求该抛物线的表达式及点C的坐标；(2)点P为抛物线上一点，且在x轴下方，联结PA．当∠PAB＝∠ACO时，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向平移，平移后点P的对应点为点Q，当AQ平分∠PAC时，求抛物线平移的距离．6．(2022•凉山州)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A(﹣1，0)和点B(0，3)，顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．(1)求抛物线的解析式；(2)求点P的坐标；(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．7．(2022•雁塔区校级模拟)已知抛物线L1：y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(﹣1，0)，点B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线L的表达式；(2)若点P是直线y＝x+1上的一个动点，将抛物线L进行平移得到抛物线L'，点B的对应点为点Q，是否存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出抛物线的平移方式；若不存在，请说明理由．8．(2022•渭滨区一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣+bx2+c经过点A(﹣1，0)和点B(0，)，顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．(1)求这条抛物线的表达式；(2)求线段CD的长；(3)将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．9．(2021秋•普兰店区期末)抛物线y＝ax2+4(a≠0)与x轴交于A，B两点(A点在B点的左侧)，AB＝4，点P(2，1)位于第一象限．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M在抛物线上，且使∠MAP＝45°，求点M的坐标；(3)将(1)中的抛物线平移，使它的顶点在直线y＝x+4上移动，当平移后的抛物线与线段AP只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围．10．(2022•碑林区校级四模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于点A，B(A在B的左侧)．(1)若抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，AB＝4．求抛物线的表达式；(2)平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x轴正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若△OCP是等腰直角三角形，求点P的坐标．11．(2022•静安区二模)在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标是(2，4)，点B在x轴上，OB＝AB(如图所示)，二次函数的图象经过点O、A、B三点，顶点为D．(1)求点B与点D的坐标；(2)求二次函数图象的对称轴与线段AB的交点E的坐标；(3)二次函数的图象经过平移后，点A落在原二次函数图象的对称轴上，点D落在线段AB上，求图象平移后得到的二次函数解析式．12．(2022•富阳区二模)设二次函数y＝(x﹣a)(x﹣a+2)，其中a为实数．(1)若二次函数的图象经过点P(2，﹣1)，求二次函数的表达式；(2)把二次函数的图象向上平移k个单位，使图象与x轴无交点，求k的取值范围；(3)若二次函数的图象经过点A(m，t)，点B(n，t)，设|m﹣n|＝d(d≥2)，求t的最小值．13．(2022•宁波模拟)已知二次函数y＝x2+x﹣m的部分图象如图所示．(1)求该二次函数图象的对称轴，并利用图象直接写出一元二次方程x2+x﹣m＝0的解．(2)向上平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．14．(2022•宁波模拟)已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1(m为常数)的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C．(1)若把二次函数图象向下平移3个单位恰好过原点，求m的值．(2)①若P(m﹣3，y1)，Q(m+2，y2)在已知的二次函数图象上，比较y1，y2的大小；②求△ABC的面积．15．(2022•吴兴区一模)如图已知二次函数y＝x2+bx+c(b，c为常数)的图象经过点A(3，﹣1)，点C(0，﹣4)，顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交二次函数y＝x2+bx+c的图象于点B，连接BC．(1)求该二次函数的表达式及点M的坐标：(2)若将该二次函数图象向上平移m(m＞0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界)，求m的取值范围；(3)若E为y轴上且位于点C下方的一点，P为直线AC上一点，在第四象限的抛物线上是否存在一点Q，使以C、E、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的横坐标：若不存在，请说明理由．16．(2022•南宁模拟)已知关于x的二次函数y＝ax2+2ax+c(a≠0)，且c＝﹣3a．(1)若a＝﹣1，求该二次函数的解析式和顶点坐标；(2)在(1)的条件下，求出下表中k、n的值，并在以下平面直角坐标系中，用描点法画出该二次函数的图象；根据图象回答：当0≤x≤2时，直接写出y的最小值．(3)当﹣3＜x＜0时，y有最小值﹣4，若将该二次函数的图象向右平移m(m＞1)个单位长度，平移后得到的图象所对应的函数y'在﹣3≤x≤0的范围内有最小值﹣3，求函数y＝ax+m的解析式．17．(2022•房山区二模)在平面直角坐标系xOy中，点A(2，﹣1)在二次函数y＝x2﹣(2m+1)x+m的图象上．(1)直接写出这个二次函数的解析式；(2)当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，求n的值；(3)将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝a(x﹣h)2+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．18．(2022•洞头区模拟)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与y轴交于点A(0，3)，交x轴于点B(3，0)．(1)求抛物线的解析式，并根据该图象直接写出y＞3时x的取值范围．(2)将线段OB向左平移m个单位，向上平移n个单位至O'B'(m，n均为正数)，若点O'，B'均落在此二次函数图象上，求m，n的值．19．(2022•桥西区校级模拟)如图，抛物线，点Q为顶点．(1)无论a为何值，抛物线L总过一个定点为 　 　；(2)若抛物线的对称轴为直线x＝1．①求该抛物线L的表达式和点Q的坐标；②将抛物线L向下平移k(k＞0)个单位长度，使点Q落在点A处，平移后的抛物线与y轴交于点B．若QA＝QB，求k的值；(3)当a＝2时，点M(m，n)为抛物线上一点，点M到y轴的距离不超过2，直接写出n的取值范围．20．(2022•宜宾)如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(3，0)、B(﹣1，0)两点，与y轴交于点C(0，3)，其顶点为点D，连结AC．(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；(2)在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；(3)在(2)的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PF+PM的最小值．x…﹣10123…y…430﹣5﹣12…x…﹣101…y…4kn…