2023年中考数学专项汇编 【数与式】题型精讲 整式及因式分解

这是一份2023年中考数学专项汇编 【数与式】题型精讲 整式及因式分解，共87页。试卷主要包含了整式，单项式，多项式，同类项，合并同类项，化简求值，观察以下等式等内容，欢迎下载使用。
整式及因式分解（精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：代数式、代数式的值
题型二：整式的有关概念
题型三：整式的运算（加减）
题型四：整式的运算（乘除）
题型五：乘法公式
角度1：平方差公式
角度2：完全平方公式
角度3：整式的混合运算
题型六：提公因式法与公式法
题型七：十字相乘法
题型八：分组分解法
题型九：因式分解的应用
第四部分：中考真题感悟







第一部分：知识点精准记忆
知识点一：代数式、代数式的值
（1）代数式的概念
用基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数与字母连接而成的式子叫做代数式.单独的一个数或者一个字母也是代数式．
（2）代数式的值
用具体数代替代数式中的字母,按运算顺序计算出的结果叫做代数式的值.求代数式的值分两步:第一步,代数;第二步,计算.要充分利用“整体”思想求代数式的值.
知识点二：整式的有关概念
1．整式：单项式与多项式统称为整式．
2．单项式：含有数或字母的积的代数式叫做单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．单项式中的数字因式叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
3．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．多项式中单项式的个数，就是这个多项式的项数．
4．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．几个常数项也是同类项．
5．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变．
知识点三：整式的运算
（1）整式的加减运算：整数的加减本质是合并同类项，如果有括号要先去括号，再合并同类项.
（2）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
（3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
知识点四：幂的运算
（1）（都是正整数）
（2）（，都是正整数）
（3）（都是正整数）
（4）（是正整数）
（5）（）
（6）（，是正整数）
知识点五：整式的乘除运算
（1）单项式单项式：
①将单项式系数相乘作为积的系数；
②相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为积的一个因式；
③单独出现的字母，连同它的指数，作为积的一个因式.
注：单项式乘单项式，积为单项式.
（2）单项式多项式：
①单项式分别乘多项式的每一项
②将所得的积相加；
一般地，单项式乘多项式，积为多项式，项数与原多项式的项数相同.
（3）多项式多项式：
先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
（4）单项式单项式：
①将单项式系数相除作为商的系数；
②相同字母的因式，利用同底数幂的除法，作为商的一个因式；
③只在被除式里含有的字母连同指数不变.
（5）多项式单项式
①用多项式的每一项除以单项式
②商相加
知识点六：乘法公式
(1)平方差公式：（注意公式逆应用）.
(2)完全平方公式：（注意公式逆应用）.
知识点七：因式分解
1．定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解．
2．方法
（1）提公因式法：．
（2）公式法：；　　
3．分解因式的基本步骤
（1）先看各项有没有公因式，若有，则先提公因式；
（2）再看余下的式子能否用公式法继续分解，直至不能再分解为止．
简记为一“提”、二“套”、三“检查．
知识点八：十字相乘法
1、如果二次三项式 中的常数项能分解成两个因数、的积，而且一次项系数又恰好是与的和，那么就可以进行如下的因式分解，即
=
2、利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法，
一般地，=可以用十字交叉线表示

3、二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
方法的特征是：“拆常数项，凑一次项”
当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；
当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
4、二次项系数不为1的二次三项式——
对于二次项系数不是1的二次三项式
它的特征是：“拆两头，凑中间”
当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；
常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；
常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同
注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．
条件：（1）
（2）
（3）
分解结果：=
知识点九：分组分解法
1. 分组分解定义：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。
2. 利用分组分解法分解因式的多项式特征：
（1）多项式的项数一般大于三项；
（2）分组后各组可利用提取公因式法或公式法或十字相乘法进行分解；
（3）各组分解后，整个式子又可继续进行因式分解。
分组分解法以四项为主，四项的分解可以组合成“一项+三项”其中的三项可以考虑完全平方公式，或“两项+两项”其中的两项通常要考虑提取公因式或平方差公式。
第二部分：课前自我评估测试
1．（2022·全国·七年级专题练习）单项式与的和是，则（    ）
A．﹣4 B．3 C．4 D．5
2．（2022·湖南·怀化市第四中学七年级期中）下列各式中，能用平方差分解因式的式子是（    ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东·深圳市明珠学校八年级期中）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ）．
A． B．
C． D．
4．（2022·湖北·华中师范大学第一附属中学光谷分校八年级阶段练习）计算：（1）___________；（2）___________；（3）___________．
5．（2022·湖南·株洲景炎学校七年级期中）多项式中各项的公因式是____________．
第三部分：典型例题剖析
题型一：代数式、代数式的值
典型例题
例题1．（2022·陕西省西安爱知中学七年级期中）将形状大小完全相同四个小正方形，按照如图所示的两种方式放置于两个边长不相等的大正方形中，根据两个图形中阴影部分的面积关系，得到的等式是（    ）

A． B．
C． D．
例题2．（2022·江苏·泰兴市济川初级中学七年级期中）已知：，则代数式的值为______．
例题3．（2022·河南·漯河市郾城区郾城初级中学九年级阶段练习）已知是关于的方程的一个根，则______．
例题4．（2022·安徽·阜南县文勤学校七年级阶段练习）某种植大户王大伯种植花生亩，玉米种植面积比花生种植面积的5倍还多4亩，而高粱种植面积比玉米种植面积的2倍少2亩．
(1)求王大伯种植花生、玉米和高粱共多少亩以及种植高粱的面积比玉米多多少亩？
(2)王大伯经过测量得到种植花生亩，那么种植花生、玉米和高粱一共多少亩以及种植高粱的面积比玉米多多少亩？







例题5．（2022·山东·滕州市东郭镇东郭中学七年级期中）某学校准备组织部分教师到杭州旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为400元/人，同时两旅行社都对10人以上的团体推出了优惠举措：甲旅行社对每位游客七五折优惠；而乙旅行社是免去一位带队老师的费用，其余游客八折优惠．
(1)如果设参加旅游的老师共有人，则甲旅行社的费用为 元，乙旅行社的费用为 元；（用含的代数式表示）
(2)假如某校组织17名教师到杭州旅游，该校选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由．



同类题型归类练
1．（2022·安徽·定远县第一初级中学八年级阶段练习）点在函数的图象上，则代数式的值等于 __．
2．（2022·湖北·华中科技大学附属中学九年级阶段练习）已知a是一元二次方程的根，则的值为______．
3．（2022·辽宁·金州区育才高级中学九年级阶段练习）抛物线经过点，则代数式的值为______．
4．（2022·福建泉州·七年级期中）当，时，求下列代数式的值．
(1)
(2)




5．（2022·上海市罗南中学七年级阶段练习）某市出租车收费标准是：起步价10元，3千米后每千米2元，某乘客乘坐了x千米（x＞5）
(1)请用含x的代数式表示出他应该支付的车费；
(2)若该乘客乘坐了20千米，那他应该支付多少钱？
(3)如果他支付了34元，你能算出他乘坐的里程吗？



题型二：整式的有关概念
典型例题
例题1．（2022·福建·厦门市松柏中学七年级期中）单项式的系数、次数分别是（    ）
A．，4 B．，4 C．，4 D．，3
例题2．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第二十一中学校七年级期中）在、、、、0、、中，整式有（    ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
例题3．（2022·北京市西城外国语学校七年级期中）写一个含有字母，的三次二项式，其中常数项为，你写的三次二项式是_______．
例题4．（2022·全国·七年级专题练习）多项式中不含项，则______.
例题5．（2022·全国·七年级单元测试）代数式，，，，20，，中单项式的个数是（    ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
同类题型归类练
1．（2022·黑龙江·拜泉县第三中学七年级期中）下列说法中正确的是（　　）
A．的次数是3 B．的系数是
C．的系数是 D．的次数是2
2．（2022·福建·厦门市松柏中学七年级期中）在代数式，，，，，中，整式有（    ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．（2022·上海·七年级阶段练习）下列各式是多项式的是（    ）
A．2x+1 B．
C． D．
4．（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）单项式的系数是（　　）
A．2 B．3 C． D．5
5．（2022·四川·隆昌市知行中学七年级阶段练习）单项式的系数是______，次数是______．

题型三：整式的运算（加减）
典型例题
例题1．（2022·湖南·安化县思源实验学校七年级期中）等于（      ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·北京市通州区北关中学七年级期中）单项式与是同类项，则___________
例题3．（2022·北京十五中七年级期中）化简：
(1)；
(2)．

例题4．（2022·福建·浦城县教师进修学校七年级期中）先化简，再求值：，其中．




例题5．（2022·全国·七年级专题练习）关于x的两个多项式、，若、满足，则称与是关于的优美多项式．
如：，，
因为

．
所以多项式与是关于的优美多项式．
根据上述材料解决下列问题：
(1)若，，判断与是否是关于的优美多项式，并说明理由；
(2)已知（是正整数）， 与是关于的优美多项式，若当时，多项式的值是小于的整数，求满足条件的所有的值之和．





例题6．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第二十一中学校七年级期中）化简求值
(1)，其中，．
(2)已知，．若式子的值与的取值无关，求的值．



同类题型归类练
1．（2022·全国·七年级专题练习）下列式子正确的是（    ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·七年级单元测试）化简：_____．
3．（2022·全国·七年级专题练习）合并同类项：
(1)
(2)
(3)






4．（2022·全国·七年级专题练习）在某次作业中有这样一道题：已知代数式的值为，求代数式的值．
小明的解题过程如下：
原式，把式子两边同乘2，得，
故原代数式的值为，
仿照小明的解题方法，解答下面的问题：
(1)若，则 　　；
(2)已知，，求的值．






题型四：整式的运算（乘除）
典型例题
例题1．（2022·全国·八年级专题练习）如图，现有正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片（    ）

A．3张 B．4张 C．5张 D．6张
例题2．（2022·河南·商水县希望初级中学八年级阶段练习）小轩计算一道整式乘法的题：，由于小轩将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为．则的值为（    ）
A．4 B．5 C．6 D．7
例题3．（2022·陕西省西安爱知中学七年级期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．



例题4．（2022·陕西省西安爱知中学七年级期中）观察下列等式：
，
，
．
(1)根据上面各式的规律，请写出第5个等式： ；
(2)根据上面各式的规律可得 ；（为正整数，且）．
(3)求的值．





例题5．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级阶段练习）阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．图1给出了若干个边长为和边长为的小正方形纸片及若干个边长为、的长方形纸片．请解答下列问题：

(1)图2是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到 ；
(2)利用图1所给的纸片拼出一个长方形图形的面积为，解决下面的问题：若，，求的值．
(3)用图1中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个面积为长方形，求的值．




同类题型归类练
1．（2022·湖南·怀化市第四中学七年级期中）若，则的值为______．
2．（2022·辽宁·鞍山市育才中学八年级阶段练习）探究应用：
(1)计算______________；______________．
(2)上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式：______________（请用含a，b的字母表示）．
(3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是______．
A．    B．
C．    D．
(4)直接用公式计算：______．
3．（2022·北京·北师大实验中学八年级期中）计算：
(1) (2)
(3) (4)

4．（2022·全国·八年级专题练习）已知的展开式中不含项，常数项是-6．
(1)求m，n的值．
(2)求的值．





5．（2022·江苏·射阳县实验初级中学七年级期中）计算
(1)
(2)



题型五：乘法公式
角度1：平方差公式
典型例题
例题1．（2022·湖南·怀化市第四中学七年级期中）下列各式计算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
例题2．（2022·福建·福州市双安中学八年级阶段练习）先化简，再求值：，其中：

例题3．（2022·陕西·西安市西光中学八年级阶段练习）计算并观察下列式子，探索它们的规律，并解决问题．
(1)______．______．______．…
(2)试用正整数表示这个规律，并加以证明；
(3)求的值．
同类题型归类练
1．（2022·陕西省西安爱知中学七年级期中）化简：____．
2．（2022·河北·石家庄市第四十四中学三模）如图，图为边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，图是由图中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）以上两个图形反映了等式：______；
（2）运用（1）中的等式，计算______．

3．（2022·上海市罗南中学七年级阶段练习）先化简，再求值：，其中，．


角度2：完全平方公式
典型例题
例题1．（2022·北京·北师大实验中学八年级期中）已知，，则_________．
例题2．（2022·山东·峄城区荀子学校八年级阶段练习）把下列各式因式分解：
(1)；
(2)．



例题3．（2022·河南南阳·八年级阶段练习）已知，．求：
(1)的值；
(2)的值．



例题4．（2022·湖南·长沙市一中双语实验中学八年级阶段练习）利用图1中边长分别为，的正方形，以及长为，宽为的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释完全平方公式：．

请你解答下面的问题：
(1)填空：，则______；，则_______，_______；
(2)利用图1中的三种卡片若干张拼成图3，可以解释等式：_______；
(3)利用上述拼图的方法计算：______．






例题5．（2022·山西·太原师范学院附属中学八年级阶段练习）阅读材料：小明在学习实数后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
设，其中，，，均为正整数
则有，∴，．
请你仿照小明的方法．探索并解决下列问题：
(1)当，，，均为正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得： ___________，___________；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数，，，填空：___________＋___________；
(3)若，且，，，均为正整数，则的值=___________．

同类题型归类练
1．（2022·福建·福州十八中八年级期中）已知，，则的值为 _____．
2．（2022·全国·八年级专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．



3．（2022·吉林·长春市赫行实验学校八年级阶段练习）图1在一个长为2a，宽为2b的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成4块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)图2中阴影部分的正方形边长为         ；
(2)观察图2，请你用等式表示，，ab之间的数量关系：      ；
(3)根据（2）中的结论，如果x+y＝5，xy，求代数式的值．





4．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校八年级阶段练习）先化简，再求值：，其中．



5．（2022·湖南·株洲景炎学校七年级期中）阅读下列材料并解答后面的问题：
完全平方公式 ，通过配方可对进行适当的变形，如或，从而使某些问题得到解决．
例：已知，求的值．
解：
通过对例题的理解解决下列问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知，求的值．




角度3：整式的混合运算
典型例题
例题1．（2022·辽宁·鞍山市育才中学八年级阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
(3)．
(4)．


例题2．（2022·河南·项城市第一初级中学七年级期末）（1）计算：        
（2）运用乘法公式简便运算：
（3）计算：
（4）先化简，再求值：，其中，

例题3．（2022·四川·仁寿县黑龙滩镇光相九年制学校八年级期末）（1）已知，求代数式的值．
（2）已知，求代数式的值．




同类题型归类练
1．（2022·重庆文德中学校八年级阶段练习）先化简，再求值： ，其中满足




2．（2022·陕西·西安市曲江第一中学八年级开学考试）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．



3．（2022·广东·揭西县宝塔实验学校七年级阶段练习）计算：
(1)简便计算：201×199
(2)
(3)
(4)先化简，再求值：，其中x＝﹣2．


题型六：提公因式法与公式法
典型例题
例题1．（2022·山东菏泽·七年级期末）把多项式因式分解，结果正确的是（    ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·湖南·怀化市第四中学七年级期中）把下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．






例题3．（2022·山东·济宁北湖省级旅游度假区石桥镇中学八年级阶段练习）因式分解
(1)；
(2)；





例题4．（2022·山东·兴安中学八年级阶段练习）因式分解：
(1)
(2)
(3)
(4)


同类题型归类练
1．（2022·宁夏·灵武市第二中学八年级期末）分解因式
(1)4a-2ab；
(2)
(3)





2．（2022·山东省泰安第十五中学八年级阶段练习）因式分解：
(1)
(2)





3．（2022·山东·聊城市东昌府区水城双语学校七年级阶段练习）把下列各式因式分解：
(1)
(2)
(3)
(4)





4．（2022·江苏·泰州中学附属初中七年级期末）分解因式：
(1)；
(2)．


题型七：十字相乘法
典型例题
例题1．（2022·浙江绍兴·七年级期末）不论为何值，等式都成立，则代数式的值为（    ）
A．-9 B．-3 C．3 D．9
例题2．（2022·江西抚州·八年级期中）分解因式：___________．
例题3．（2022·上海·八年级专题练习）在实数范围内分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．




例题4．（2022·广东·揭西县宝塔实验学校八年级期中）阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由，得
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解．
例如：将式子因式分解．
分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2
解：
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)因式分解：______________；
(2)填空：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值是______________
(3)利用因式解法解方程：；






例题5．（2022·全国·八年级专题练习）观察猜想：
如图，大长方形是由四个小长方形拼成的，请根据此图填空：

说理验证：
事实上，我们也可以用如下方法进行变形：

于是，我们可以利用上面的方法进行多项式的因式分解．
尝试运用：
例题把分解因式．
解：．
请利用上述方法将下列多项式分解因式：
（1）；
（2）．



同类题型归类练
1．（2022·湖南岳阳·七年级期中）已知方程的两个根分别是2和－3，则可分解为（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·河北·保定市第一中学分校九年级开学考试）如果二次三项式x2+px﹣6可以分解为（x+q）（x﹣2），那么p的值为 _____，q的值为 _____．
3．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：
4．（2022·四川·八年级期中）由整式的乘法运算法则可得由于我们道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．
通过观察可如可把中的着作是未知数．、、、在作常数的二次三项式：通过观察可知此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数．此分解过程可以用十字相乘的形式形象地表示成如图，此分解过程可形象地表述为“坚乘得首、尾，叉乘凑中项，这种分解的方法称为十字相乘法．如：将二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解，如图，则．

根据阅读材料解决下列问题：
(1)用十字相乘法因式分解：；
(2)用十字相乘法因式分解：；
(3)结合本题知识，因式分解：．





5．（2022·湖南常德·七年级期末）阅读下列解答过程：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为
则，，
∴，∴
∴另一个因式为，m的值为-21．
请依照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值．





题型八：分组分解法
典型例题
例题1．（2022·浙江·杭州市实验外国语学校七年级期中）因式分解
(1)
(2)



例题2．（2022·广东·龙岭初级中学八年级期中）因式分解中拆项法原理：在多项式乘法运算时，经过整理、化简通常将几个同类项合并为一项，或相互抵消为零，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项（拆项）．
例：分解因式：
解：把分成和，
原式就可以分成两组了
原式

继续提公因式
请类比上边方法分解因式：．



例题3．（2022·河南·郑州市第六十四中学八年级期末）观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解：
甲：
（分成两组）
（直接提公因式）
．
乙：
（分成两组）
（直接运用公式）
（再用平方差公式）
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
（1）
（2）．



同类题型归类练
1．（2022·广东茂名·八年级期中）阅读理解：把多项式分解因式．
解法：


观察上述因式分解的过程，回答下列问题：
(1)分解因式：．
(2)三边、、满足，判断的形状．




2．（2022·吉林吉林·八年级期末）阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：am+bm+an+bn
＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）．
(1)利用分组分解法分解因式：
①3m﹣3y+am﹣ay；
②a2x+a2y+b2x+b2y．
(2)因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝　 　（直接写出结果）．



3．（2022·内蒙古·呼和浩特市国飞中学八年级期末）先阅读下面的材料，再分解因式．
要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，把它的后两项分成组，并提出b，从而得
．
这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有



．
这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．
请用上面材料中提供的方法因式分解：

（请你完成分解因式下面的过程）
______
；
．















题型九：因式分解的应用
典型例题
例题1．（2022·湖南·怀化市第四中学七年级期中）设为正整数，如果二次三项式在整数范围内可因式分解为，那么可取值的个数是（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
例题2．（2022·河南·汝州市有道实验学校七年级阶段练习）若规定，则当时，__________．
例题3．（2022·全国·八年级课时练习）阅读下列解答过程，然后回答问题：
已知有一个因式，求的值．
解：设另一个因式为，则
．即
（对任意实数成立）
由此得：
∴
(1)已知有一个因式，则另一个因式为_______________；
(2)已知有一个因式，则的值为________________；
(3)已知多项式有一个因式，求的值．





例题4．（2022·山西临汾·九年级阶段练习）问题提出
若一元二次方程的两根为，，我们可以由一元二次方程根与系数的关系得，．
已知方程的两根为，，则　　，　　．
探究引申
若多项式中，存在，，则多项式可在实数范围内分解因式，分解结果为，而其中．即为一元二次方程的两根．例如：把多项式分解因式，可以令，解该方程得，，故多项式在实数范围内可分解为．
请利用上述方法在实数范围内把下列多项式分解因式．
（1）．
（2）．
应用拓展
已知二次函数与轴的两个交点坐标分别为和，请直接写出该抛物线的解析式．




同类题型归类练
1．（2022·河南·漯河市郾城区郾城初级中学九年级阶段练习）若则，有一根是（    ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东·佛山市顺德养正学校七年级阶段练习）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边（）．则①；②；③；④，错误的是（    ）

A．① B．② C．③ D．④
3．（2022·陕西省西咸新区秦汉中学七年级阶段练习）若，则的值为______ ．
4．（2022·湖南·怀化市第四中学七年级期中）【阅读理解】
对于二次三项式，能直接用公式法进行因式分解，得到，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了．
我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是：





像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
(1)【问题解决】请用上述方法将二次三项式分解因式．
(2)【拓展应用】二次三项式有最小值或最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由．
(3)运用材料中的添（拆）项法分解因式：．






第四部分：中考真题感悟
1．（2022·山东淄博·中考真题）若二次函数的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式的最小值为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2022·山东济宁·中考真题）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（  ）
A． B．
C． D．
3．（2022·广西·中考真题）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是________．
4．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）先化简，再求值：，其中．
5．（2022·湖北襄阳·中考真题）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+．


6．（2022·贵州六盘水·中考真题）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为，的正方形秧田，，其中不能使用的面积为．

(1)用含，的代数式表示中能使用的面积___________；
(2)若，，求比多出的使用面积．



7．（2022·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
(1)请用分组分解法将因式分解；
【挑战】
(2)请用分组分解法将因式分解；
【应用】
(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值．

8．（2022·安徽·中考真题）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律．解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
1．（2022·全国·七年级专题练习）单项式与的和是，则（    ）
A．﹣4 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【详解】解：解：单项式与的和是，
单项式与是同类项，
，，
解得，，
，
故选：D．
2．（2022·湖南·怀化市第四中学七年级期中）下列各式中，能用平方差分解因式的式子是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】A、，不能用平方差分解因式，不符合题意；
B、，不能用平方差分解因式，不符合题意；
C、，能用平方差分解因式，符合题意；
D、，不能用平方差分解因式，不符合题意；
故选C．
3．（2022·广东·深圳市明珠学校八年级期中）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：A、，属于整式的乘法运算，没有把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
B、，属于因式分解，已把一个多项式化为两个整式的积的形式，故此选项符合题意；
C、，属于整式的乘法运算，没有把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
D、，没有把一个多项式化为几个整式的积的形式，不属于因式分解，故此选项不符合题意．
故选：B．
4．（2022·湖北·华中师范大学第一附属中学光谷分校八年级阶段练习）计算：（1）___________；（2）___________；（3）___________．
【答案】              
【详解】解：，
，
，
故答案为：，，．
5．（2022·湖南·株洲景炎学校七年级期中）多项式中各项的公因式是____________．
【答案】
【详解】解：各项的公因式是．
故答案为：．
第三部分：典型例题剖析
题型一：代数式、代数式的值
典型例题
例题1．（2022·陕西省西安爱知中学七年级期中）将形状大小完全相同四个小正方形，按照如图所示的两种方式放置于两个边长不相等的大正方形中，根据两个图形中阴影部分的面积关系，得到的等式是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：第一个图形中“大正方形”的边长为，因此面积为，
第二个图形中阴影部分的面积为，
所以有，
故选：D．
例题2．（2022·江苏·泰兴市济川初级中学七年级期中）已知：，则代数式的值为______．
【答案】5
【详解】解：，
，


，
故答案为：5．
例题3．（2022·河南·漯河市郾城区郾城初级中学九年级阶段练习）已知是关于的方程的一个根，则______．
【答案】
【详解】解：∵是关于的方程的一个根，
∴，
即，
∴，
故答案为：．
例题4．（2022·安徽·阜南县文勤学校七年级阶段练习）某种植大户王大伯种植花生亩，玉米种植面积比花生种植面积的5倍还多4亩，而高粱种植面积比玉米种植面积的2倍少2亩．
(1)求王大伯种植花生、玉米和高粱共多少亩以及种植高粱的面积比玉米多多少亩？
(2)王大伯经过测量得到种植花生亩，那么种植花生、玉米和高粱一共多少亩以及种植高粱的面积比玉米多多少亩？
【答案】(1)亩，多亩．
(2)202亩，多62亩．
【详解】（1）易知种植玉米的面积为亩，种植高粱的面积为亩，所以总面积为亩，种植高粱的面积比玉米多亩．
（2）当时，种植总面积为，种植高粱的面积比玉米多．
答：种植花生、玉米和高粱一共202亩，种植高粱的面积比玉米多62亩．
例题5．（2022·山东·滕州市东郭镇东郭中学七年级期中）某学校准备组织部分教师到杭州旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为400元/人，同时两旅行社都对10人以上的团体推出了优惠举措：甲旅行社对每位游客七五折优惠；而乙旅行社是免去一位带队老师的费用，其余游客八折优惠．
(1)如果设参加旅游的老师共有人，则甲旅行社的费用为 元，乙旅行社的费用为 元；（用含的代数式表示）
(2)假如某校组织17名教师到杭州旅游，该校选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由．
【答案】(1)；；
(2)甲旅行社比较优惠，理由见解析.
【详解】（1）解：甲旅行社：，
乙旅行社：  
故答案为：；；
（2）当时，（元），
（元）， ，
所以，甲旅行社比较优惠．
同类题型归类练
1．（2022·安徽·定远县第一初级中学八年级阶段练习）点在函数的图象上，则代数式的值等于 __．
【答案】2022
【详解】解：点在函数的图象上，
，
．
故答案为：2022．
2．（2022·湖北·华中科技大学附属中学九年级阶段练习）已知a是一元二次方程的根，则的值为______．
【答案】2018
【详解】∵a是一元二次方程的根，
∴，即，
∴．
故答案为：2018．
3．（2022·辽宁·金州区育才高级中学九年级阶段练习）抛物线经过点，则代数式的值为______．
【答案】11
【详解】解：∵抛物线经过点，
∴，
∴，
．
故答案为：．
4．（2022·福建泉州·七年级期中）当，时，求下列代数式的值．
(1)
(2)
【答案】(1)16
(2)36
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴．
5．（2022·上海市罗南中学七年级阶段练习）某市出租车收费标准是：起步价10元，3千米后每千米2元，某乘客乘坐了x千米（x＞5）
(1)请用含x的代数式表示出他应该支付的车费；
(2)若该乘客乘坐了20千米，那他应该支付多少钱？
(3)如果他支付了34元，你能算出他乘坐的里程吗？
【答案】(1)
(2)他应该支付44元
(3)他乘坐的里程是15千米
（1）
支付车费：（元）；
（2）
当时，（元）；
答：他应该支付44元；
（3）
由题意得，
解得：
答：他乘坐的里程是15千米．
题型二：整式的有关概念
典型例题
例题1．（2022·福建·厦门市松柏中学七年级期中）单项式的系数、次数分别是（    ）
A．，4 B．，4 C．，4 D．，3
【答案】B
【详解】解：单项式的系数和次数分别是：，4．
故选：B．
例题2．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第二十一中学校七年级期中）在、、、、0、、中，整式有（    ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】B
【详解】解：整式有、、、0、，共5个．
故选：B．
例题3．（2022·北京市西城外国语学校七年级期中）写一个含有字母，的三次二项式，其中常数项为，你写的三次二项式是_______．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：由题意得，满足题意的三次二项式可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
例题4．（2022·全国·七年级专题练习）多项式中不含项，则______.
【答案】0
【详解】解：∵中不含，
∴，
故答案为：0．
例题5．（2022·全国·七年级单元测试）代数式，，，，20，，中单项式的个数是（    ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【详解】解：单项式有：4xy，a，20，，共有5个，
故选：C
同类题型归类练
1．（2022·黑龙江·拜泉县第三中学七年级期中）下列说法中正确的是（　　）
A．的次数是3 B．的系数是
C．的系数是 D．的次数是2
【答案】A
【详解】解：A、的次数是3，故本选项正确；
B、的系数是，故本选项错误；
C、的系数是，故本选项错误；
D、的次数是3，故本选项错误．
故选：A．
2．（2022·福建·厦门市松柏中学七年级期中）在代数式，，，，，中，整式有（    ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【详解】解：由题意可知：
，为多项式，-1，为单项式，，均不为整式；
而单项式和多项式统称为整式，
∴整式有4个．
故选：B
3．（2022·上海·七年级阶段练习）下列各式是多项式的是（    ）
A．2x+1 B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：A、2x+1是多项式，故此选项符合题意；
B、是分式，不是多项式，故此选项不符合题意；
C、是分式，不是多项式，故此选项不符合题意；
D、是等式，不是多项式，故此选项不符合题意；
故选：A．
4．（2022·重庆·巴川初级中学校七年级期中）单项式的系数是（　　）
A．2 B．3 C． D．5
【答案】C
【详解】解∶ 单项式的系数是．
故选：C
5．（2022·四川·隆昌市知行中学七年级阶段练习）单项式的系数是______，次数是______．
【答案】          3
【详解】单项式的系数是，次数是．
故答案为：，3．
题型三：整式的运算（加减）
典型例题
例题1．（2022·湖南·安化县思源实验学校七年级期中）等于（      ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：
故选：C．
例题2．（2022·北京市通州区北关中学七年级期中）单项式与是同类项，则___________
【答案】
【详解】解：∵单项式与是同类项，
∴，
解得
∴
故答案为：
例题3．（2022·北京十五中七年级期中）化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：

．
例题4．（2022·福建·浦城县教师进修学校七年级期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【详解】解：（1）
=
  =
当时
原式=
=
=．
例题5．（2022·全国·七年级专题练习）关于x的两个多项式、，若、满足，则称与是关于的优美多项式．
如：，，
因为

．
所以多项式与是关于的优美多项式．
根据上述材料解决下列问题：
(1)若，，判断与是否是关于的优美多项式，并说明理由；
(2)已知（是正整数）， 与是关于的优美多项式，若当时，多项式的值是小于的整数，求满足条件的所有的值之和．
【答案】(1)是，见解析
(2)12
【详解】（1）解：与是关于的优美多项式，
理由：，，


，
与是关于x的优美多项式；
（2）解：与是关于x的优美多项式，
，
，
（m是正整数），
，
，
，
∵当时，多项式的值是小于100的整数，
，
，
，
，
，
，，，
∴满足条件的所有m的值之和为12．
例题6．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第二十一中学校七年级期中）化简求值
(1)，其中，．
(2)已知，．若式子的值与的取值无关，求的值．
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）解：


；
当，时，
原式

；
（2）解：∵，
∴






∵的值与a的取值无关，
∴
解得
同类题型归类练
1．（2022·全国·七年级专题练习）下列式子正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：，故A不符合题意；
，故B符合题意；
故C不符合题意；
，故D不符合题意；
故选B
2．（2022·全国·七年级单元测试）化简：_____．
【答案】##
【详解】解：原式．
故答案为．
3．（2022·全国·七年级专题练习）合并同类项：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)；
(2)；
(3)
（1）
解：

；
（2）



；
（3）


．
4．（2022·全国·七年级专题练习）在某次作业中有这样一道题：已知代数式的值为，求代数式的值．
小明的解题过程如下：
原式，把式子两边同乘2，得，
故原代数式的值为，
仿照小明的解题方法，解答下面的问题：
(1)若，则 　　；
(2)已知，，求的值．
【答案】(1)2022
(2)5
【详解】（1）解：（1），
，
故答案为：2022；
（2）解：，
，
，
，
．
题型四：整式的运算（乘除）
典型例题
例题1．（2022·全国·八年级专题练习）如图，现有正方形卡片类，类和长方形卡片类若干张，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片（    ）

A．3张 B．4张 C．5张 D．6张
【答案】C
【详解】解：∵
∴需要A类卡片1张、B类卡片6张、C类卡片5张，
故选：C．
例题2．（2022·河南·商水县希望初级中学八年级阶段练习）小轩计算一道整式乘法的题：，由于小轩将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为．则的值为（    ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴12m=72，
∴m=6，
故选：C
例题3．（2022·陕西省西安爱知中学七年级期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）原式
；
（2）原式

；
（3）原式
；
（4）原式
．
例题4．（2022·陕西省西安爱知中学七年级期中）观察下列等式：
，
，
．
(1)根据上面各式的规律，请写出第5个等式： ；
(2)根据上面各式的规律可得 ；（为正整数，且）．
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：由所列举的式子的规律可得，第5个等式为：
，
故答案为：；
（2）解：由所列举的式子的规律可得，
，
故答案为：；
（3）解：，
，
，
答：的值为．
例题5．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级阶段练习）阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．图1给出了若干个边长为和边长为的小正方形纸片及若干个边长为、的长方形纸片．请解答下列问题：

(1)图2是由图1提供的几何图形拼接而得，可以得到 ；
(2)利用图1所给的纸片拼出一个长方形图形的面积为，解决下面的问题：若，，求的值．
(3)用图1中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片拼出一个面积为长方形，求的值．
【答案】(1)
(2)图见解析，的值为6；
(3)121
（1）
解：由题意可得，
故答案为：
（2）
解：拼成的图形如下：

∵，
∴，
∵，
∴，
即的值为6；
（3）
∵，
∴x＝24，y＝35，z＝62，
∴x＋y＋z＝24＋35＋62＝121，
即的值为121．
同类题型归类练
1．（2022·湖南·怀化市第四中学七年级期中）若，则的值为______．
【答案】
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
2．（2022·辽宁·鞍山市育才中学八年级阶段练习）探究应用：
(1)计算______________；______________．
(2)上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式：______________（请用含a，b的字母表示）．
(3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是______．
A．    B．
C．    D．
(4)直接用公式计算：______．
【答案】(1)；
(2)
(3)C
(4)
【详解】（1）解∶

；


；
故答案为：；；
（2）解∶ 根据（1）得：，
∴发现一个新的乘法公式：；
故答案为：；
（3）解∶A、，不符合（2）中公式，故本选项不符合题意；
B、，不符合（2）中公式，故本选项不符合题意；
C． ，符合（2）中公式，故本选项符合题意；
D．，不符合（2）中公式，故本选项不符合题意；
故选：C；
（4）解∶

．
3．（2022·北京·北师大实验中学八年级期中）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)

【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式

；
（4）解：原式
4．（2022·全国·八年级专题练习）已知的展开式中不含项，常数项是-6．
(1)求m，n的值．
(2)求的值．
【答案】(1)m=1，n=2
(2)7
【详解】（1）解：原式

，
由于展开式中不含项，常数项是-6，
则2m+n=0且-3n=6，
解得：m=1，n=2；
（2）解：由（1）可知：m=1，n=2，
∴原式，
=1+8
=7．
5．（2022·江苏·射阳县实验初级中学七年级期中）计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
（1）
解：原式=
=；
（2）
解：原式=1+-（-1）=．
题型五：乘法公式
角度1：平方差公式
典型例题
例题1．（2022·湖南·怀化市第四中学七年级期中）下列各式计算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：A．，故该选项错误；
B．，故该选项错误；
C．，故该选项错误；
D．，故该选项正确．
故选：D．
例题2．（2022·福建·福州市双安中学八年级阶段练习）先化简，再求值：，其中：
【答案】化简的结果，当，代数式的值为
【详解】解：


当
原式
例题3．（2022·陕西·西安市西光中学八年级阶段练习）计算并观察下列式子，探索它们的规律，并解决问题．
(1)______．______．______．…
(2)试用正整数表示这个规律，并加以证明；
(3)求的值．
【答案】(1)2，2，2
(2)，证明见解析
(3)
（1）
解：，
，
．
故答案为：2，2，2．
（2）
，证明如下：
左边==右边，
即命题得证．
（3）
∵
∴，
∴




同类题型归类练
1．（2022·陕西省西安爱知中学七年级期中）化简：____．
【答案】##
【详解】解：原式，
故答案为：．
2．（2022·河北·石家庄市第四十四中学三模）如图，图为边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，图是由图中阴影部分拼成的一个长方形．
（1）以上两个图形反映了等式：______；
（2）运用（1）中的等式，计算______．

【答案】          1
【详解】解：根据题意可得，
图中阴影部分的面积为：，
图中长方形的长为，宽为，
面积为：，
则两个图形阴影部分面积相等，；
故答案为：；
（2）



．
故答案为：．
3．（2022·上海市罗南中学七年级阶段练习）先化简，再求值：，其中，．
【答案】
【详解】原式
，
把，代入得：原式．
角度2：完全平方公式
典型例题
例题1．（2022·北京·北师大实验中学八年级期中）已知，，则_________．
【答案】37
【详解】解：∵，，
∴49−12＝37．
故答案为：37．
例题2．（2022·山东·峄城区荀子学校八年级阶段练习）把下列各式因式分解：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）

；
（2）

．
例题3．（2022·河南南阳·八年级阶段练习）已知，．求：
(1)的值；
(2)的值．
【答案】(1)14
(2)12
（1）
解：∵，
∴
=．
（2）
解：∵，
∴
=．
例题4．（2022·湖南·长沙市一中双语实验中学八年级阶段练习）利用图1中边长分别为，的正方形，以及长为，宽为的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释完全平方公式：．

请你解答下面的问题：
(1)填空：，则______；，则_______，_______；
(2)利用图1中的三种卡片若干张拼成图3，可以解释等式：_______；
(3)利用上述拼图的方法计算：______．
【答案】(1)12，1，1
(2)
(3)
（1）
解：∵
∴
∵
∴，解得：；
（2）
解：由题意得：
图3的面积，
图3的面积，
利用图1中的三种卡片若干张拼成图3，可以解释等式：；
（3）
如图：利用2个边长为的正方形和3个边长为的正方形和7个小矩形拼成一个长和宽分别为和的矩形，
则矩形的面积： ；，
即可得出：，
故答案为：．

例题5．（2022·山西·太原师范学院附属中学八年级阶段练习）阅读材料：小明在学习实数后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
设，其中，，，均为正整数
则有，∴，．
请你仿照小明的方法．探索并解决下列问题：
(1)当，，，均为正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得： ___________，___________；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数，，，填空：___________＋___________；
(3)若，且，，，均为正整数，则的值=___________．
【答案】(1)，；
(2)4，2，1，1（答案不唯一）；
(3)13或7．
（1）
解：，
，
，
故答案为：，．
（2）
解：令m=1，n=1，
由（1）知：，
故答案为：4，2，1，1（答案不唯一）．
（3）
解：，
∴，，
∴，
①，，；
②，，．
故答案为：13或7．
同类题型归类练
1．（2022·福建·福州十八中八年级期中）已知，，则的值为 _____．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴



．
故答案为：．
2．（2022·全国·八年级专题练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式

．
（3）解：原式=
．
（4）解：原式

．
3．（2022·吉林·长春市赫行实验学校八年级阶段练习）图1在一个长为2a，宽为2b的长方形图中，沿着虚线用剪刀均分成4块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)图2中阴影部分的正方形边长为         ；
(2)观察图2，请你用等式表示，，ab之间的数量关系：      ；
(3)根据（2）中的结论，如果x+y＝5，xy，求代数式的值．
【答案】(1)a-b
(2)
(3)16
（1）
由大、小正方形的边长与长方形边长之间的关系可得，
阴影部分的正方形边长为a-b，
故答案为：a-b；
（2）
∵图2中大正方形的面积=，阴影部分的正方形的面积=，4个小长方形的面积=4ab，
∵大正方形的面积等于中间阴影部分正方形的面积加上4个小长方形的面积，
∴，
故答案为：；
（3）
∵
∴将x+y＝5，xy代入得：，
解得：．
4．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校八年级阶段练习）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【详解】解：

，
当时，原式


．
5．（2022·湖南·株洲景炎学校七年级期中）阅读下列材料并解答后面的问题：
完全平方公式 ，通过配方可对进行适当的变形，如或，从而使某些问题得到解决．
例：已知，求的值．
解：
通过对例题的理解解决下列问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知，求的值．
【答案】(1)10
(2)34
（1）
解：∵，
∴；
（2）
解：∵，
∴．
角度3：整式的混合运算
典型例题
例题1．（2022·辽宁·鞍山市育才中学八年级阶段练习）计算：
(1)；
(2)．
(3)．
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)5
(4)
【详解】（1）解：

；
（2）解：


；
（3）解：

；
（4）解：


．
例题2．（2022·河南·项城市第一初级中学七年级期末）（1）计算：        
（2）运用乘法公式简便运算：
（3）计算：
（4）先化简，再求值：，其中，
【答案】（1）；（2）9996；（3）；（4）-4x+2y，4
【详解】解：（1）

；
（2）



；
（3）原式

；
（4）


，
当，时，原式．
例题3．（2022·四川·仁寿县黑龙滩镇光相九年制学校八年级期末）（1）已知，求代数式的值．
（2）已知，求代数式的值．
【答案】（1）0；（2）36
【详解】解：（1）



，
∵，
∴，
∴，
∴原式．
（2）


∵，
∴原式

同类题型归类练
1．（2022·重庆文德中学校八年级阶段练习）先化简，再求值： ，其中满足
【答案】，
【详解】




，
∵，
∴根据算术平方根的定义可知：，，
∴，
∴，
∴，
将，，代入中有：
原式，
即化简结果为：，值为．
2．（2022·陕西·西安市曲江第一中学八年级开学考试）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)2
(2)0
(3)
(4)
（1）
解：原式＝4﹣1﹣1
＝2
（2）
解：原式＝
＝
＝0
（3）
解：
＝
＝18xy2
（4）
解：
＝
＝
＝
3．（2022·广东·揭西县宝塔实验学校七年级阶段练习）计算：
(1)简便计算：201×199
(2)
(3)
(4)先化简，再求值：，其中x＝﹣2．
【答案】(1)39999
(2)
(3)
(4)，8
（1）
解：201×199


=39999
（2）
解：



（3）
解：


（4）
解：


当x＝﹣2时，原式
题型六：提公因式法与公式法
典型例题
例题1．（2022·山东菏泽·七年级期末）把多项式因式分解，结果正确的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：原式=-3a(-x+)
=，
故选：D．
例题2．（2022·湖南·怀化市第四中学七年级期中）把下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）；
（2）；
（3）
，
，
，
．
例题3．（2022·山东·济宁北湖省级旅游度假区石桥镇中学八年级阶段练习）因式分解
(1)；
(2)；
【答案】(1)；
(2)．
【详解】（1）解：原式

；
（2）解：原式

例题4．（2022·山东·兴安中学八年级阶段练习）因式分解：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
（1）
解：原式

；
（2）
原式

；
（3）
原式

（4）
原式

．
同类题型归类练
1．（2022·宁夏·灵武市第二中学八年级期末）分解因式
(1)4a-2ab；
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
（1）
解：4a-2ab
；
（2）
解：
；
（3）
解：

．
2．（2022·山东省泰安第十五中学八年级阶段练习）因式分解：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)

（1）
解：

；
（2）



．
3．（2022·山东·聊城市东昌府区水城双语学校七年级阶段练习）把下列各式因式分解：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)20(x+2)(x-2)
（1）
解：
=
=；
（2）
解：
=
=；
（3）
解：
=
=
（4）
解：
=
=10
=20
=20(x+2)(x-2)．
4．（2022·江苏·泰州中学附属初中七年级期末）分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
（1）
解：
=
=
（2）
解：
=
=
题型七：十字相乘法
典型例题
例题1．（2022·浙江绍兴·七年级期末）不论为何值，等式都成立，则代数式的值为（    ）
A．-9 B．-3 C．3 D．9
【答案】D
【详解】解：由题意可得，
=，
∴p=2，q=-3，
则=9．
故选D．
例题2．（2022·江西抚州·八年级期中）分解因式：___________．
【答案】##2x（x+1）（2x-1）
【详解】解：；
例题3．（2022·上海·八年级专题练习）在实数范围内分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
（1）
原式；
（2）
原式，令，
解得：，，即得；
（3）
原式；
（4）
原式．
例题4．（2022·广东·揭西县宝塔实验学校八年级期中）阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由，得
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解．
例如：将式子因式分解．
分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2
解：
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)因式分解：______________；
(2)填空：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值是______________
(3)利用因式解法解方程：；
【答案】(1)
(2)±2，±7
(3)
（1）
解：＋7x−18
＝＋（−2＋9）x＋（−2）×9
＝（x−2）（x＋9）
故答案为：（x−2）（x＋9）．
（2）
解：∵，
∴，
∴若＋px＋6可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是：±2，±7．
故答案为：±2，±7．
（3）
解：−6x+8＝0，
（x−2）（x-4）＝0，
（x−2）＝0或（x-4）＝0，
∴，＝4．
例题5．（2022·全国·八年级专题练习）观察猜想：
如图，大长方形是由四个小长方形拼成的，请根据此图填空：

说理验证：
事实上，我们也可以用如下方法进行变形：

于是，我们可以利用上面的方法进行多项式的因式分解．
尝试运用：
例题把分解因式．
解：．
请利用上述方法将下列多项式分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】x+p；x+q；x（x+p）+q（x+p）；x+p；x+q；（1）（x-3）（x-4）；（2）（y2+y+9）（y+2）（y-1）．
【详解】解：由矩形的面积公式得：（x+p）（x+q）；
故答案为：x+p；x+q；
根据分组分解法得：x（x+p）+q（x+p），（x+p）（x+q）；
故答案为：x（x+p）+q（x+p）；x+p；x+q；
（1）
=（x-3）（x-4）；
（2）
=（y2+y+9）（y2+y-2）
=（y2+y+9）（y+2）（y-1）．
故答案为：（x+p）（x+q）；x（x+p）+q（x+p），（x+p）（x+q）；
同类题型归类练
1．（2022·湖南岳阳·七年级期中）已知方程的两个根分别是2和－3，则可分解为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：据题意得
2+（-3）=-1=-p，2×（-3）=-6=q，
∴p=1，q=-6，
可知x2-px+q=x2-x-6，
∴x2-x-6=（x+2）（x-3）．
故选：D．
2．（2022·河北·保定市第一中学分校九年级开学考试）如果二次三项式x2+px﹣6可以分解为（x+q）（x﹣2），那么p的值为 _____，q的值为 _____．
【答案】     1     3
【详解】解：根据题意得：x2+px﹣6＝（x+q）（x﹣2）＝x2＋（q−2）x−2q，
∴p＝q−2，−2q＝−6，
解得：p＝1，q＝3．
故答案为：1，3．
3．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：
【答案】
【详解】解：

．
4．（2022·四川·八年级期中）由整式的乘法运算法则可得由于我们道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．
通过观察可如可把中的着作是未知数．、、、在作常数的二次三项式：通过观察可知此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数．此分解过程可以用十字相乘的形式形象地表示成如图，此分解过程可形象地表述为“坚乘得首、尾，叉乘凑中项，这种分解的方法称为十字相乘法．如：将二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解，如图，则．

根据阅读材料解决下列问题：
(1)用十字相乘法因式分解：；
(2)用十字相乘法因式分解：；
(3)结合本题知识，因式分解：．
【答案】(1)
(2)
(3)
（1）
解：；
（2）
解：；
（3）
解：



．
5．（2022·湖南常德·七年级期末）阅读下列解答过程：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为
则，，
∴，∴
∴另一个因式为，m的值为-21．
请依照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及k的值．
【答案】另一个因式为x＋7，k的值为﹣14．
【详解】解：设另一个因式为（x+m），由题意，得：
x2+5x+k＝（x﹣2）（x+m），
则x2+5x+k＝x2+（m﹣2）x﹣2m，
∴，
解得，
∴另一个因式为x＋7，k的值为﹣14．
题型八：分组分解法
典型例题
例题1．（2022·浙江·杭州市实验外国语学校七年级期中）因式分解
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
（1）
解：


（2）
解：



例题2．（2022·广东·龙岭初级中学八年级期中）因式分解中拆项法原理：在多项式乘法运算时，经过整理、化简通常将几个同类项合并为一项，或相互抵消为零，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项（拆项）．
例：分解因式：
解：把分成和，
原式就可以分成两组了
原式

继续提公因式
请类比上边方法分解因式：．
【答案】（x＋3）（x＋2）
【详解】解：把5x分成2x和3x，
原式就可以分成两组了
原式＝x2＋2x＋3x＋6
＝x(x＋2)＋3(x＋2)
继续提公因式＝(x＋3)(x＋2)
例题3．（2022·河南·郑州市第六十四中学八年级期末）观察“探究性学习”小组甲、乙两名同学进行的因式分解：
甲：
（分成两组）
（直接提公因式）
．
乙：
（分成两组）
（直接运用公式）
（再用平方差公式）
请你在他们解法的启发下，把下列各式分解因式：
（1）
（2）．
【答案】（1）；（2）
【详解】解：（1）原式；
（2）原式．
同类题型归类练
1．（2022·广东茂名·八年级期中）阅读理解：把多项式分解因式．
解法：


观察上述因式分解的过程，回答下列问题：
(1)分解因式：．
(2)三边、、满足，判断的形状．
【答案】(1)
(2)等腰三角形
(1)
解：



(2)
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴C的形状是等腰三角形．
2．（2022·吉林吉林·八年级期末）阅读下列材料：
一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如：
因式分解：am+bm+an+bn
＝（am+bm）+（an+bn）
＝m（a+b）+n（a+b）
＝（a+b）（m+n）．
(1)利用分组分解法分解因式：
①3m﹣3y+am﹣ay；
②a2x+a2y+b2x+b2y．
(2)因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝　 　（直接写出结果）．
【答案】(1)①（m−y）（3＋a）；②（x＋y）（a2＋b2）
(2)（a＋b＋1）（a＋b−1）
(1)
解：①原式＝（3m−3y）＋（am−ay）
＝3（m−y）＋a（m−y）
＝（m−y）（3＋a）；
②原式＝（a2x＋a2y）＋（b2x＋b2y）
＝a2（x＋y）＋b2（x＋y）
＝（x＋y）（a2＋b2）；
(2)
a2＋2ab＋b2−1
＝（a＋b）2−1
＝（a＋b＋1）（a＋b−1）．
故答案为：（a＋b＋1）（a＋b−1）．
3．（2022·内蒙古·呼和浩特市国飞中学八年级期末）先阅读下面的材料，再分解因式．
要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，把它的后两项分成组，并提出b，从而得
．
这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有



．
这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．
请用上面材料中提供的方法因式分解：

（请你完成分解因式下面的过程）
______
；
．
【答案】(1)；(2) （m+x）（m-n）；(3) （y-2）（x2y-4）．
【详解】解：（1）ab-ac+bc-b2
=a（b-c）-b（b-c）
=（a-b）（b-c）；
故答案为（a-b）（b-c）．
（2）m2-mn+mx-nx
=m（m-n）+x（m-n）
=（m+x）（m-n）；
（3）x2y2-2x2y-4y+8
=x2y（y-2）-4（y-2）
=（y-2）（x2y-4）．

题型九：因式分解的应用
典型例题
例题1．（2022·湖南·怀化市第四中学七年级期中）设为正整数，如果二次三项式在整数范围内可因式分解为，那么可取值的个数是（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：由题意得

，
∵二次三项式在整数范围内可因式分解为，
∴，
∵m为正整数，，
∴，，，
∴m可取7，8，13，
故选：C．
例题2．（2022·河南·汝州市有道实验学校七年级阶段练习）若规定，则当时，__________．
【答案】2
【详解】解：根据题意得：，
即，
解得：．
故答案为：2
例题3．（2022·全国·八年级课时练习）阅读下列解答过程，然后回答问题：
已知有一个因式，求的值．
解：设另一个因式为，则
．即
（对任意实数成立）
由此得：
∴
(1)已知有一个因式，则另一个因式为_______________；
(2)已知有一个因式，则的值为________________；
(3)已知多项式有一个因式，求的值．
【答案】(1)-17
(2)-2
(3)4
【详解】（1）解：设另一个因式为(x+a)，则
，即
（对任意实数x成立）
由此得，
∴a=-17，
故答案为：-17；
（2）设另一个因式为(x+b)，则
，即
（对任意实数x成立）
由此得，
解得：，
故答案为：-2；
（3）设另一个因式为(x+c)，则
，即
（对任意实数x成立）

由此得，
解得：，
∴k的值为4．
例题4．（2022·山西临汾·九年级阶段练习）问题提出
若一元二次方程的两根为，，我们可以由一元二次方程根与系数的关系得，．
已知方程的两根为，，则　　，　　．
探究引申
若多项式中，存在，，则多项式可在实数范围内分解因式，分解结果为，而其中．即为一元二次方程的两根．例如：把多项式分解因式，可以令，解该方程得，，故多项式在实数范围内可分解为．
请利用上述方法在实数范围内把下列多项式分解因式．
（1）．
（2）．
应用拓展
已知二次函数与轴的两个交点坐标分别为和，请直接写出该抛物线的解析式．
【答案】问题提出3，；探究引申（1）；（2）；应用拓展
【详解】问题提出
已知方程的两根为，，则，，
故答案为：3，．
探究引申
（1）令，
解得，，
则；
（2）令，
解得，，
则；
应用拓展∵二次函数与轴的两个交点坐标分别为和，
∴，
该抛物线的解析式为，
同类题型归类练
1．（2022·河南·漯河市郾城区郾城初级中学九年级阶段练习）若则，有一根是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵，
∴，
将代入中，
得：，
将方程左边因式分解得：，
∴当时，方程成立，
即方程的一个根为：，
故选：D．
2．（2022·广东·佛山市顺德养正学校七年级阶段练习）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边（）．则①；②；③；④，错误的是（    ）

A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【详解】解：①x-y等于小正方形的边长，即x-y=n，
∴①正确；
②∵x+y为大正方形的边长， ∴，
∴②正确；
③，
∴③正确；
④
∴④错误．
故选：D．
3．（2022·陕西省西咸新区秦汉中学七年级阶段练习）若，则的值为______ ．
【答案】-2
【详解】解：原式可化为，
∴，
解得：，
的值为．
故答案为：-2．
4．（2022·湖南·怀化市第四中学七年级期中）【阅读理解】
对于二次三项式，能直接用公式法进行因式分解，得到，但对于二次三项式，就不能直接用公式法了．
我们可以采用这样的方法：在二次三项式中先加上一项，使其成为完全平方式，再减去这项，使整个式子的值不变，于是：





像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
(1)【问题解决】请用上述方法将二次三项式分解因式．
(2)【拓展应用】二次三项式有最小值或最大值吗？如果有，请你求出来并说明理由．
(3)运用材料中的添（拆）项法分解因式：．
【答案】(1)
(2)二次三项式有最小值3，理由见解析
(3)
【详解】（1）解：




；
（2）解：

，
∵，
∴，
∴二次三项式有最小值3；
（3）解：



．
第四部分：中考真题感悟
1．（2022·山东淄博·中考真题）若二次函数的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式的最小值为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】解：∵二次函数的图象经过P（1，3），
∴，
∴a=1，
∴二次函数的解析式为，
∵二次函数的图象经过Q（m，n），
∴即，
∴


，
∵，
∴的最小值为1，
故选：A．
2．（2022·山东济宁·中考真题）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（  ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解．
A、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；
B、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意；
C、符合因式分解的形式，符合题意；
D、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；
故选C．
3．（2022·广西·中考真题）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是________．
【答案】
【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解，
∴，
∴


．
故答案为：14．
4．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【详解】解：原式




当时，原式，
故答案是： ．
5．（2022·湖北襄阳·中考真题）先化简，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a-2b）+2a（b-a），其中a＝-，b＝+．
【答案】
【详解】解：原式＝
；
a＝-，b＝+，
∴原式

6．（2022·贵州六盘水·中考真题）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为，的正方形秧田，，其中不能使用的面积为．

(1)用含，的代数式表示中能使用的面积___________；
(2)若，，求比多出的使用面积．
【答案】(1)
(2)50
【详解】（1）解：中能使用的面积为，
故答案为：．
（2）解：中能使用的面积为，
则比多出的使用面积为，
，，
，
答：比多出的使用面积为50．
7．（2022·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
(1)请用分组分解法将因式分解；
【挑战】
(2)请用分组分解法将因式分解；
【应用】
(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值．

【答案】(1)
(2)
(3)，9
（1）解：


；
（2）解：


；
（3）解：



，
∴根据题意得，，
∴原式．
8．（2022·安徽·中考真题）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律．解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
（1）解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：，
故答案为：；
（2）解：第n个等式为，
证明如下：
等式左边：，
等式右边：


，
故等式成立．