2023高考数学二轮真题与模拟训练26讲 专题17 立体几何综合解析

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专题17 立体几何综合第一部分 真题分类（2020全国高考真题）如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE(A1∉平面ABCD)，若M、O分别为线段A1C、DE的中点，则在△ADE翻转过程中，下列说法错误的是(  )A. 与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直B. 异面直线BM与A1E所成角是定值C. 一定存在某个位置，使DE⊥MOD. 三棱锥A1-ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值【答案】C【解析】解：对于A，延长CB，DE交于H，连接A1H，由E为AB的中点，可得B为CH的中点，又M为A1C的中点，可得BM//A1H，又BM⊄平面A1DE，A1H⊂平面A1DE，则BM//平面A1DE，故与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直，则A正确；对于B，设AB=2AD=2a，过E作EG//BM，G∈平面A1DC，则∠A1EG=∠EA1H，在△EA1H中，EA1=a，EH=DE=2a，A1H=a2+2a2-2⋅a⋅2a⋅(-22)=5a，则∠EA1H为定值，即∠A1EG为定值，则B正确；对于C，连接A1O，可得DE⊥A1O，若DE⊥MO，因为A1O∩MO=O，A1O，MO⊂平面A1MO，即有DE⊥平面A1MO，即有DE⊥A1C，由A1C在平面ABCD中的射影为AC，可得AC与DE垂直，但AC与DE不垂直．则不存在某个位置，使DE⊥MO，则C不正确；对于D，连接OA，由直角三角形斜边的中线长为斜边的一半，可得三棱锥A1-ADE外接球球心为O，半径为22a，即有三棱锥A1-ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值，则D正确．故选：C．（2019全国高考真题）已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，点M在线段EF上．(Ⅰ)若M为EF的中点，求证：AM//平面BDE；(Ⅱ)求二面角A-BF-D的余弦值；(Ⅲ)证明：存在点M，使得AM⊥平面BDF，并求EMEF的值．【答案】(Ⅰ)证明：设AC∩BD=O，连结OE，因为 正方形ABCD，所以O为AC中点又  矩形ACEF，M为EF的中点所以  EM//OA，且EM=OA……………………………..(2分)所以OAME为平行四边形所以 AM//OE……………………………..(4分)又 AM⊄平面BDE，OE⊂平面BDE所以 AM//平面BDE……………………………(5分)(Ⅱ)解：以C为原点，分别以CD，CB，CE为x，y，z轴建立坐标系C-xyz则A(2,2，0)，B(0,2，0)，D(2,0，0)，F(2,2，1)DB=(-2,2,0),DF=(0,2,1)设平面BDF的法向量为n=(x,y,z)，由DB⋅n=0DF⋅n=0得-2x+2y=02y+z=0则n=(1,1,-2)……………(7分)易知 平面ABF的法向量m=(0,1,0)……………(8分)cos=n⋅m|n|⋅|m|=16=66由图可知 二面角A-BF-D为锐角所以 二面角A-BF-D的余弦值为66……………(10分)(Ⅲ)解：设M(x0,x0,1)，则 AM=(x0-2,x0-2,1)若AM⊥平面BDF则AM//n，即(x0-2,x0-2,1)//(1,1，-2)……………(12分)所以x0-2=1-2解得x0=32所以M(32,32,1)，所以  EMEF=32222=34……………(14分)【解析】(Ⅰ)证明：设AC∩BD=O，连结OE，证明OAME为平行四边形，推出AM//OE，即可证明 AM//平面BDE．(Ⅱ)以C为原点，分别以CD，CB，CE为x，y，z轴建立坐标系C-xyz，求出平面BDF的法向量平面ABF的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A-BF-D的余弦值．(Ⅲ)设M(x0,x0,1)，则AM=(x0-2,x0-2,1)，通过AM//n，求出M，然后求解比值即可．（2018全国高考真题）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD//BC，PA=AD=CD=2，BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且PFPC=13．(Ⅰ)求证：CD⊥平面PAD；(Ⅱ)求二面角F-AE-P的余弦值；(Ⅲ)设点G在PB上，且PGPB=23.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．【答案】解：(Ⅰ)证明：∵PA⊥平面ABCD，，∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD．(Ⅱ)以A为原点，在平面ABCD内过A作CD的平行线为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，A(0,0，0)，E(0,1，1)，F(23,23,43)，P(0,0，2)，B(2,-1,0)，AE=(0,1，1)，AF=(23,23,43)，平面AEP的一个法向量为n=(1,0，0)，设平面AEF的一个法向量为m=(x,y，z)，则m⋅AE=y+z=0m⋅AF=23x+23y+43z=0，取y=1，得m=(1,1，-1)，设二面角F-AE-P的平面角为θ，由图可知θ为锐角，则cosθ=|m⋅n||m|⋅|n|=13=33．∴二面角F-AE-P的余弦值为33．(Ⅲ)直线AG在平面AEF内，理由如下：∵点G在PB上，且PGPB=23.∴G(43,-23,23)，∴AG=(43,-23,23)，∵平面AEF的一个法向量为m=(1,1，-1)，m⋅AG=43-23-23=0，故直线AG在平面AEF内．（2017全国高考真题）如图，在平行四边形ABCD中，AB=1，AD=2，∠ABC=π3，四边形ACEF为矩形，平面ACEF⊥平面ABCD，AF=1，点M在线段EF上运动，且EM=λEF．(1)当λ=12时，求异面直线DB与BM所成角的大小；(2)设平面MBC与平面ECD所成二面角的大小为θ(0